2022-2023學年遼寧省大連市第三十六中學高一下學期6月月考數(shù)學試題 一、單選題1．i是虛數(shù)單位，計算的結(jié)果為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用復數(shù)的除法化簡即可.【詳解】.故選：A2．已知θ是第四象限角，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，根據(jù)θ是第四象限角，，可計算出，然后利用正切的和差公式即可求解出.【詳解】由已知，θ是第四象限角，，所以，所以.故選：B.3．下列命題正確的是（    ）A．若，且，則B．若，則不共線C．若是平面內(nèi)不共線的向量，且存在實數(shù)y使得，則A，B，C三點共線D．若，則在上的投影向量為【答案】C【分析】利用向量垂直的坐標表示可判斷A，利用向量共線定理可判斷BC，利用投影向量的定義可判斷D.【詳解】若，且，則，所以A選項錯誤；若滿足，但不滿足不共線，所以B錯誤；由，可得，即，故A，B，C三點共線，所以C正確；若在上的投影向量為，所以D錯．故選：C．4．設、、為三個平面，l、m、n為三條直線，則下列說法正確的是（    ）A．若，，則；B．若l上有兩點到的距離相等，則；C．、、兩兩相交于三條直線l、m、n，若，則；D．若，，，，則【答案】C【分析】由直線與平面平行的判定定理判定A；由直線與平面的位置關系判定B；由直線與平面平行的判定與性質(zhì)判斷C；由平面與平面平行的判定判斷D．【詳解】解：若，，則或，故A錯誤；若上有兩點到的距離相等，則或或與相交，故B錯誤；，，兩兩相交于三條直線，，，不妨設，，，若，則，又，，，則，故C正確；若，，，，且與相交，則，當與不相交時，不一定有，故D錯誤．故選：C．5．在中，已知角所對的邊分別為，若.為線段的中點，且，，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角可化簡已知等式求得；根據(jù)，利用余弦定理可構造方程求得；在中，利用余弦定理可得，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，，，，，解得：；，，即，解得：；由余弦定理得：，解得：，.故選：D.6．圖1中的機械設備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為5，底面任意兩頂點之間的距離為20，則其側(cè)面積為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，結(jié)合已知可得半徑為20，由弧長公式求得底面周長，進而可求得結(jié)果.【詳解】萊洛三角形由三段半徑為20，圓心角為的圓弧構成，所以該零件底面周長為，故其側(cè)面積為．故選：A.7．已知函數(shù)，對任意，都有，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值是（    ）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】由題意，是函數(shù)的最大值，可得.由，可得.對進行賦值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即得答案.【詳解】由題意，是函數(shù)的最大值，，即．，．當時，，在上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，，符合題意.的最小值為7.故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.8．四棱錐的頂點都在球的表面上，是等邊三角形，底面是矩形，平面平面，若，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，在線段上取，由外接球性質(zhì)可知過分別作平面和平面的垂線，則兩垂線交點即為球的球心；由面面垂直性質(zhì)可知平面，得到；同理可得，可知四邊形為矩形，利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的表面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】連接，，取中點，連接；四邊形為矩形，為四邊形的外接圓圓心；在線段上取，為等邊三角形，為外接圓圓心，過分別作平面和平面的垂線，則兩垂線交點即為球的球心，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面，；同理可得：，四邊形為矩形；，，，即球的半徑，球的表面積.故選：B. 二、多選題9．設復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，原點為為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（    ）A．設，則B．若點的坐標為，則對應的點在第三象限C．若復數(shù)，則為純虛數(shù)的充要條件是D．若，則點的集合所構成的圖形的面積為【答案】ABD【分析】對A，先將復數(shù)化成標準形式，再求模即可；對B，結(jié)合復平面內(nèi)點與復數(shù)的關系，共軛復數(shù)的概念即可判斷；對C，為純虛數(shù)的充要條件是，，即可判斷；對D，結(jié)合復平面內(nèi)點與復數(shù)、復數(shù)的模的關系即可判斷.【詳解】對A，，故，A對；對B，點的坐標為，則，故，對應的點為，在第三象限，B對；對C，為純虛數(shù)的充要條件是，，故C錯；對D，，故點的集合所構成的圖形為半徑為1與的圓所組成的圓環(huán)，故面積為，D對，故選：ABD10．在棱長為1的正方體中，下列選項正確的有（    ）A．平面B．平面C．三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐的體積為【答案】BD【分析】對A，根據(jù)，且與平面相交判斷即可；對B，證明， 即可；對C，根據(jù)三棱錐的外接球即正方體的外接球求解即可；對D，根據(jù)求解即可【詳解】對A，因為， 與平面相交于，故與平面相交，故A錯誤；對B，連接，，因為正方體，故，，，故平面，故，同理，又，故平面，故B正確；對C，三棱錐的外接球即正方體的外接球，易得其直徑為，故外接球的表面積，故C錯誤；對D，，故D正確故選：BD11．已知函數(shù)圖像的一條對稱軸和一個對稱中心的最小距離為，則（    ）A．函數(shù)的最小正周期為B．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后所得圖像關于原點對稱C．函數(shù)在上為增函數(shù)D．設，則在內(nèi)有20個零點【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得，則，所以選項A正確；將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，所以選項B正確；在上為減函數(shù)，所以選項C錯誤；函數(shù)共有個零點.所以選項D錯誤.【詳解】解：根據(jù)題意可得，則，即，所以選項A正確；，將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得，∵為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，所以選項B正確；∵，則，∴在上為減函數(shù)，所以選項C錯誤；，則∴為奇函數(shù)，當時，，令或,. 因為，所以，所以共有1+2個零點.所以選項D錯誤. 故選：AB．12．幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．底與腰之比為黃金分割比（）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形．例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的．如圖，將五角星的五個頂點相連，記正五邊形的邊長為，正五邊形的邊長為，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．C．D．對任意的，【答案】ACD【分析】依題意，即，再根據(jù)所給定義及三角恒等變換公式一一計算可得；【詳解】解：依題意，即，在中，由正弦定理可得，所以，因為，所以，所以，即，，，故A正確；又，，，、，所以，即，所以，即，所以，故C正確，B錯誤；因為，所以，則，所以，故D正確；故選：ACD 三、填空題13．已知是關于x的方程的根，則實數(shù)      .【答案】2【分析】由題意可知方程兩根分別為，，然后利用根與系數(shù)的關系可求出的值【詳解】因為是關于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案為：214．“中國天眼”是我國具有自主知識產(chǎn)權、世界最大單口徑、最靈故的球面射電望遠鏡（如圖），已知“天眼”的形狀為球冠（球面被平面所載后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高），設球冠底的直徑，球冠的高，則球的半徑      ．（精確到整百）．【答案】800【分析】作出圖形，可知球心到截面圓的距離為，利用勾股定理列等式可求得.【詳解】如下圖所示：球心到截面圓的距離為，由勾股定理可得，化簡得，解得.又，所以故答案為：.15．在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為        ．【答案】【解析】以A為原點，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標，設，可得的坐標，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達式，即可求得答案.【詳解】以A為原點，AC所在直線為x軸，建立坐標系，如圖所示：因為，，，所以，設，則，所以=，當時，有最小值，且為，故答案為：【點睛】解題的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?，求得點坐標，利用數(shù)量積公式的坐標公式求解，考查分析理解，計算化簡的能力，屬基礎題.16．如圖，在中，已知，D是斜邊AB上任意一點（不含端點）沿直線CD將折成直二面角，當           時，折疊后A?B兩點間的距離最小.【答案】/【分析】根據(jù)題意作出圖形，作A作于E，作點B作于F，然后，進而求出，進而用勾股定理得到，最后通過三角變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.【詳解】如圖，設翻折后點B位于點處，即求最小時AD的長度.設，作A作于E，作點B作于F，根據(jù)題意，平面平面，且交于，所以平面.，，所以.易得，所以.于是，當時，即當CD為的角平分線時，最小.此時，又，解得：.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式，差的余弦公式，輔助角公式將化為正弦型，即可求出最小正周期；（2）由條件可求出，繼而求出，利用展開即可求解.【詳解】（1），，函數(shù)的最小正周期為；（2）由可得，，，，又，，，.【點睛】本題考查利用二倍角公式，差的余弦公式，輔助角公式進行化簡，屬于中檔題.18．如圖，在中，，，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓，圓心在邊上，半圓與分別相切于點，與交于另一點，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體.(1)求該旋轉(zhuǎn)體中間空心球的表面積的大小；(2)求圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）連接，設，由可求得，代入球的表面積公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體特征可知所得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐里面挖去一個內(nèi)切球，由圓錐和球的體積公式可計算得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，為半圓的切線，，設，則，，解得：，.（2），，，，將陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，里面挖去一個內(nèi)切球，所求體積.19．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，. 【分析】（1）連接與，兩線交于點，連接，利用三角形中位線性質(zhì)得到，再利用線面平行的判定即可證.（2）應用線面垂直的性質(zhì)、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和得到，再利用線面垂直的判定即可證.（3）當點為的中點，設的中點為，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，進而有平面，再利用面面垂直的判定即可證.【詳解】（1）連接與，兩線交于點，連接，在中，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為底面，平面，所以.又為棱的中點，，所以.因為，，平面，所以平面，平面，所以.因為，所以.又，在和中，，所以，即，所以，又，，平面，所以平面.（3）當點為的中點，即時，平面平面.證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20．如圖在中，，，，點在邊上，點在的延長線上，交于，設，.（1）若，求的最小值；（2）若與面積相等，求的最大值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）在中由余弦定理求得，結(jié)合已知條件得，根據(jù)二次函數(shù)求最值即可求出結(jié)果;（2）由題意知與面積相等等價于與面積相等，然后借助于三角形的面積公式可得，再利用均值不等式即可求解.【詳解】（1）在中由余弦定理可知：，注意到，，當時，有最小值.（2）與面積相等知：與面積相等，的面積，，，當且僅當，即時等號成立，的最大值為1.21．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在線段FG上確定一點M使得平面平面PFG，并說明理由；(2)若二面角的余弦值為，求PG與平面PEM所成角的正切值．【答案】(1)為中點，理由見解析(2) 【分析】（1）為中點，連接，，過作于，由線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由線面角與二面角的定義求解即可【詳解】（1）為中點，證明如下：連接，，過作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，為等腰三角形又平面，所以，為等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．（2）由（1）的結(jié)果可知，為二面角的平面角，在中，，，，，所以，由（1）中證明可知平面故與平面所成角為在中，，又與平面所成角的正切值為22．某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按方向釋放機器人乙，設機器人乙在處成功攔截機器人甲，兩機器人停止運動．若點在矩形區(qū)域內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗．已知米，為中點，比賽中兩機器人均勻速直線運動方式行進，記與的夾角為（），與的夾角為．(1)若兩機器人運動方向的夾角為，足夠長，機器人乙挑戰(zhàn)成功，求兩機器人運動路程和的最大值；(2)已知機器人甲的速度是機器人乙的速度的．（i）若，足夠長，機器人乙挑戰(zhàn)成功，求．（ii）如何設計矩形區(qū)域的寬的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人乙挑戰(zhàn)成功？【答案】(1)8(2)（i）；（ii）答案見解析 【分析】（1）用余弦定理列方程，結(jié)合基本不等式求得，也即兩機器人運動路程和的最大值.（2）（i）利用正弦定理求得；（ii）設，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值.【詳解】（1）如圖，在中，由余弦定理得，，所以．所以，（當且僅當時等號成立）．故兩機器人運動路程的和的最大值為8．（2）（i）在中，由于機器人乙的速度是機器人甲的速度的3倍，故，由正弦定理可得，所以．（ii）設，則，．由余弦定理可得，所以，所以．由題意得，，當且僅當時取到等號．所以矩形區(qū)域的寬至少為米，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使機器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機器人甲． 

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