2022-2023學(xué)年遼寧省六校協(xié)作體高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（    ）A．22 B．33 C．44 D．66【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，以及前項和公式，即可列式求值.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，所以.故選：B2．的展開式中的系數(shù)為（    ）A． B．32 C．8 D．【答案】A【分析】由題設(shè)寫出展開式通項，進而確定的值，即可求其系數(shù).【詳解】由題設(shè)，展開式通項為，∴時，的系數(shù)為.故選：A3．世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費馬猜想”?“四色猜想”?“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”.281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1+2"由我國數(shù)學(xué)家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為：任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和．在不超過10的質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出基本事件總數(shù)， 再求出和為奇數(shù)事件所包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】不超過10的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7共4個，隨機選取兩個不同的數(shù)，基本事件為：共6種，其和為奇數(shù)包含的基本事件有：，共3個，所以.故選：D.4．某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質(zhì)量（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種大束10000個，估計單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個數(shù)約為（    ）附：若，A．8400 B．8185 C．9974 D．9987【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，結(jié)合題中所給的公式進行求解即可.【詳解】由，數(shù)學(xué)期望，方差，由公式可知： ，，，所以單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個數(shù)約為，故選：B5．的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，，即排除B，D，結(jié)合特殊值即可得出答案.【詳解】由題知，根據(jù)，，，則，排除B，D，當(dāng)時，沒有意義，排除A.故選：C6．由組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（    ）個A．360 B．192 C．312 D．240【答案】D【分析】根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為和個位數(shù)數(shù)字為或，結(jié)合排列、組合數(shù)的公式，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可分為兩類：個位數(shù)字為和個位數(shù)數(shù)字為或，當(dāng)個位數(shù)字為時，小于的偶數(shù)有個；當(dāng)個位數(shù)字為或時，小于的偶數(shù)有個，所以小于的偶數(shù)共有個.故選：D.7．2023年3月24日是第28個“世界防治結(jié)核病日”，我國的宣傳主題是“你我共同努力，終結(jié)結(jié)核流行”，呼吁社會各界廣泛參與，共同終結(jié)結(jié)核流行，維護人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性的概率為（    ）A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068【答案】D【分析】應(yīng)用全概率公式求解即可. 【詳解】設(shè)隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結(jié)果為陽性為事件A,  設(shè)隨機抽取一人實際患病為事件B, 隨機抽取一人非患為事件， 則.故選:D.8．設(shè)，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較即可.【詳解】由，設(shè)，，∴，當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞減，∴，即所以；由設(shè)，則，所以，當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞減，又，所以，因為，所以，即，所以，故選：C. 二、多選題9．下列說法中，正確的有（    ）A．已知，則數(shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則C．已知正項等比數(shù)列，則有D．已知等差數(shù)列的前項和為，則【答案】AD【分析】由，可判定A正確；恒成立，可判定B錯誤；根據(jù)，，得到，可判定C錯誤；由構(gòu)成等差數(shù)列，列出方程求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以A正確；對于B中，若數(shù)列的通項，則恒成立，所以，所以B錯誤；對于C中，正項遞增的等比數(shù)列，若，可得，此時，所以C不正確；對于D中，等差數(shù)列的前項和為且，根據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，可得，解得，所以D正確.故選：AD.10．下列命題正確的是（    ）A．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.66和-0.85，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強B．已知樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的標(biāo)準(zhǔn)差是36C．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實數(shù)的值是D．在檢驗與是否有關(guān)的過程中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)算得，則有的把握認(rèn)為和有關(guān)附：0.0500.010.0050.0013.8416.6357.87910.828 【答案】AC【分析】根據(jù)兩個隨機變量的線性相關(guān)性，即可判斷A，根據(jù)方差與標(biāo)準(zhǔn)差，即可判斷B，根據(jù)線性回歸方程，即可判斷C，根據(jù)獨立性檢驗，即可判斷D.【詳解】兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；B中樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，故B錯誤；C中，，由，得，故C正確；D中由，沒有的把握判斷認(rèn)為和有關(guān)，故D不正確.故選：AC11．下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A選項，構(gòu)造函數(shù)，及，，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，證明出結(jié)論；BC選項，可舉出反例；D選項，放縮后，只需證明，構(gòu)造，，由隱零點結(jié)合基本不等式證明出結(jié)論.【詳解】A選項，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，A正確；B選項，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時，，故不滿足，B錯誤；C選項，令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C錯誤；D選項，由題意得，令，，，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為，，所以存在使得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，又，故等號取不到，所以，故，，D正確.故選：AD【點睛】隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.12．設(shè)一個正方體，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個相鄰頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由，可判定A正確；再由，得到，得出數(shù)列為等比數(shù)列，求得，可判定B、D不正確；結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可判定C正確.【詳解】解：由題意得，所以A正確；螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：①本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率為，如果爬上來，其概率應(yīng)為，所以，整理得，即，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以B、D不正確；因為數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以C正確.故選：AC. 三、填空題13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則__________．【答案】【分析】由，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，可得，可得，所以故答案為：.14．某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．從中選出3人參加學(xué)校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為__________．【答案】【分析】設(shè)事件表示“男生甲被選中”，事件表示“女生乙被選中”，分別求得，結(jié)合條件概率的計算公式求解即可.【詳解】設(shè)事件表示“男生甲被選中”，事件表示“女生乙被選中”，則，所以，即男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.故答案為：.15．?dāng)?shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，得出數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列，求得，結(jié)合，再求出數(shù)列的通項公式.【詳解】由，可得，即，又由，可得，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時,不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.16．函數(shù)（e為自然常數(shù)），方程恰有1個不等實根，則取值范圍是__________．【答案】或【分析】求導(dǎo)得，分析的單調(diào)性，進而可得極大值、極小值與最值，方程恰有1個不等實根，可轉(zhuǎn)化為與的交點有1個，結(jié)合圖像即可判斷.【詳解】，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為， 當(dāng)時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖像為：由圖像可得當(dāng)或時，有1個實數(shù)根，故答案為:或 四、解答題17．某校從學(xué)生會宣傳部6名成員（其中女生4人，男生2人）中，任選3人參加某省舉辦的演講比賽活動．(1)選拔前6個人站成一排拍照，其中2個男生不能相鄰，共有多少種不同的站法(2)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)480(2)的概率分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為：2. 【分析】（1）要使男生不相鄰，先排女生，再讓男生排在女生之間的空隙中；（2）根據(jù)題意可得的所有可能取值為1,2,3，再求出取每一個值的概率,可得的分布.【詳解】（1）先4個女生站成一排有種站法，這4個女生之間共有5個“空檔”，在這5個“空檔”中選取2個排男生，共有種，所以6個人站成一排拍照，其中2個男生不能相鄰，共有種不同的站法.（2）的所有可能取值為1,2,3，依題意得: ，，.∴的分布列為:123P的概率分布及數(shù)學(xué)期望為：.18．已知數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，且成等差數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式(2)求數(shù)列的前項和【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由，求得，進而得到，再由，，得到是從第二項起，以3為公差的等差數(shù)列求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯位相減法求解.【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列的公比為q，因為，且成等差數(shù)列，所以，，解得，則，即，即，解得或（舍去），此時，所以；所以，，又，所以是從第二項起，，3為公差的等差數(shù)列，所以，綜上：；（2）由（1）知：，則 ，所以，兩式相減得：   ，所以 .19．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）求得，根據(jù)題意得到，求得，結(jié)合函數(shù)極值點的定義進行驗證，即可求解；（2）求得，求得函數(shù)的單調(diào)性，再分、和，三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的極值和的值的比較大小，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得因為函數(shù)在處取得極值，可得，解得或（舍去），當(dāng)時，可得，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，符合題意；（2）解：由，其中，令，解得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，①當(dāng)時，可得且，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，可得，所以；②當(dāng)時，可得且，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，當(dāng)時，可得取得最小值，最小值為，所以，即，所以；③當(dāng)時，可得且，此時函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，函數(shù).20．第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦亞運會．為迎接這場體育盛會，浙江某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知社區(qū)甲?乙?丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．(1)求這3人中至少有1人通過市知識競賽的概率(2)某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎勵方案：方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎勵600元：方案二：只參加了初賽的選手獎勵100元，參加了決賽的選手獎勵400元．若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】(1)(2)從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好 【分析】（1）計算出人都沒有通過初賽的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用二項分布及期望的性質(zhì)求出方案一獎金總額的期望，對方案二，列出獎金總額為隨機變量的所有可能取值，并求出對應(yīng)的概率，求出其期望，比較大小作答.【詳解】（1）人都沒有通過初賽的概率為，所以，這3人中至少有1人通過市知識競賽的概率為.（2）方案一：設(shè)三人中獎人數(shù)為，所獲獎金總額為元，則，且，所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為元，則的所有可能取值為、、、，則，，，，所以，.所以，，所以從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．21．已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前3項的和為是公比大于0的等比數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量，列方程，即可求解；（2）由（1）可知，，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差，等比數(shù)列的首項，公比為，則，得，即；，，解得：或（舍），所以；（2），，22．已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后證得在區(qū)間上，，再分與討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，且，所以切線方程為.（2）由已知在區(qū)間上恒成立，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，而，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，，即在區(qū)間上，，設(shè)函數(shù)，則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，即在區(qū)間上，所以在區(qū)間上，，即，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故在區(qū)間上函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故，即函數(shù)在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時，，故在區(qū)間上函數(shù)存在零點，即，又在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上函數(shù)，所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減，由，所以在區(qū)間上，與題設(shè)矛盾.綜上，的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于借助不等關(guān)系，當(dāng)，，然后以導(dǎo)數(shù)作為工具研究函數(shù)的單調(diào)性與極值. 

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