第24講圓（強(qiáng)化訓(xùn)練）（教師版含解析）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練(全國通用)
第二十四講圓
考點一圓相關(guān)角計算 2
考點二垂徑定理與切線長定理 6
考點三弧長與扇形面積 6
考點四圓綜合計算 13

考點一圓相關(guān)角計算

1．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD＝150°，則∠BCD的度數(shù)是(　　)

A．30° B．60° C．105° D．120°
【解答】解：∵弧BCD對的圓周角是∠A，圓心角是∠BOD，∠BOD＝150°，
∴∠A＝∠BOD＝75°，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝105°，
故選：C．
2．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，若∠AOC＝120°，則∠BDC的度數(shù)是(　　)

A．20° B．30° C．40° D．45°
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠ADC＝∠AOC＝60°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝30°．
故選：B．
3．如圖，BD為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點在圓上，AC平分∠BAD且交BD于F點．若∠ADE＝19°，則∠AFB的度數(shù)為何？(　　)

A．97° B．104° C．116° D．142°
【解答】解：∵BD是圓O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直線ED為圓O的切線，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故選：C．
4．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，點C在⊙O上，且∠ACB＝58°，則∠APB等于(　　)

A．54° B．58° C．64° D．68°
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
由圓周角定理：∠AOB＝2∠ACB＝2×58°＝116°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝64°，
故選：C．

5．如圖，AB是圓O的直徑，C、D在圓上，連接AD、CD、AC、BC．若∠CAB＝35°，則∠ADC的度數(shù)為(　　)

A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°，
故選：C．
6．如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點，點C在⊙O上，且∠ACB＝55°，則∠APB等于(　　)

A．55° B．70° C．110° D．125°
【解答】解：連接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
故選：B．

7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是(　　)

A．125° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：連接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故選：B．

考點二垂徑定理與切線長定理

8．如圖，⊙O的半徑為6，將劣弧沿弦AB翻折，恰好經(jīng)過圓心O，點C為優(yōu)弧AB上的一個動點，則△ABC面積的最大值是(　　)

A． B． C． D．
【解答】解：如圖，過點C作CT⊥AB于點T，過點O作OH⊥AB于點H，交⊙O于點K，連接AO，AK．

由題意AB垂直平分線段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA?sin60°＝6×＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝6，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤6+3＝9，
∴CT的最大值為9，
∴△ABC的面積的最大值為＝27，
故選：C．
9．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，連接OB，點P是半徑OB上任意一點，連接AP，若OB＝5，OC＝3，則AP的長不可能是(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：連接OA，
∵OC⊥AB于點C，OB＝5，OC＝3，
∴BC＝＝4，
∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，
∴5≤AP≤8，
∴AP的長度不可能是：9(答案不唯一)．
故選：D．
10．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為(　　)

A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周長＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周長＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周長＝10，
故選：D．
11．如圖，在等腰三角形ABC中，O為底邊BC的中點，以O(shè)為圓心作半圓與AB，AC相切，切點分別為D，E．過半圓上一點F作半圓的切線，分別交AB，AC于M，N．那么的值等于(　　)

A． B． C． D．1
【解答】解：連OM，ON，如圖，
∵M(jìn)D，MF與⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM?CN＝BC2，
∴＝．
故選：B．

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過點A(6，0)、B(0，6)，⊙O的半徑為2(O為坐標(biāo)原點)，點P是直線AB上的一動點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為(　　)

A． B．3 C．3 D．
【解答】解：連接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵當(dāng)PO⊥AB時，線段PQ最短；
又∵A(﹣6，0)、B(0，6)，
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OP＝AB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ＝＝，
故選：D．

考點三弧長與扇形面積

13．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分別以點A、B為圓心，AO、BO長為半徑畫弧，與相交，則圖中陰影部分的周長為　π+2　．

【解答】解：如圖，連接AC，OC，
則AC＝OA＝OC，
∴∠OAC＝∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COB＝30°，
∴圖中陰影部分的周長為2(++OA)＝2×(+1)＝π+2，
故答案為：π+2．

14．如圖，已知半圓O的直徑AB＝6，將半圓O繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點B′處，AB′與半圓O交于點C，若弧BC的長為，則圖中陰影部分的面積是　π?。?br />
【解答】解：連接OC，如圖，設(shè)∠BOC＝n°，
∵弧BC的長為，
∴＝π，
解得n＝90°，
∴∠BAC＝BOC＝45°，
∵S陰影部分+S半圓AB＝S半圓+S扇形BAB′，
∴S陰影部分＝S扇形BAB′＝＝π．
故答案為：π．

15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB'C'．則圖中陰影部分的面積為　?。?br />
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴圖中陰影部分面積＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝，
故答案為：；

16．如圖，等邊△ABC的邊長為1，以A為圓心，AC為半徑畫弧，交BA的延長線于D，再以B為圓心，BD為半徑畫弧，交CB的延長線于E，再以C為圓心，CE為半徑畫弧，交AC的延長線于F，則由弧CD，弧DE，優(yōu)弧EF及線段CF圍成的圖形(CDEFC)的周長為　6π+3?。?br />
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝AB＝1，∠CAB＝∠BCA＝∠ABC＝60°．
∴AD＝1，∠CAD＝120°，∠DBE＝120°，∠FCE＝120°．
∴BD＝AB+AD＝2，CE＝CF＝CB+BE＝1+2＝3，
∴的長＝＝π，
的長＝＝π，
優(yōu)弧EF的長＝＝4π，
∴弧CD，弧DE，優(yōu)弧EF及線段CF圍成的圖形(CDEFC)的周長為π+π+4π+3＝6π+3．
故答案為：6π+3．

考點四圓綜合計算

17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC交BA的延長線于點E，交AC于點F．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若AC＝6，tanE＝，求AF的長．

【解答】證明：(1)如圖，連接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
(2)∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．
18．如圖1，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．
(1)若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的長；
(2)若F是OA的中點，F(xiàn)G⊥OA交直線DE于點G，如圖2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半徑．

【解答】解：(1)如圖1，連接BC，OD交于點N，

∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∴∠NDE＝90°，
∵∠BCE＝∠E＝90°，
∴四邊形DECN是矩形，
∴∠CND＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∴DE＝BN＝CN＝8，
∵O是AB的中點，
∴ON是△ABC的中位線，
∴ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
∴BD＝＝＝4；
(2)如圖2，設(shè)FG與AD交于點H，過點G作GM⊥HD，垂足為M，

tan∠BAD＝＝
設(shè)BD＝3x，AD＝4x，則AB＝5x，
∵F為OA的中點，
∴AF＝x，
∵GF⊥AB
∴∠AFH＝90°
∵tan∠BAD＝
∴FH＝AF?tan∠BAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由(1)知：∠HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝DG，MH＝MD，
∴HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
∵FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
∴⊙O的半徑為＝8．
19．如圖已知⊙O經(jīng)過A、B兩點，AB＝6，C是的中點，聯(lián)結(jié)OC交弦AB與點D，CD＝1．
(1)求圓⊙O的半徑；
(2)過點B、點O分別作點AO、AB的平行線，交于點G，E是⊙O上一點，聯(lián)結(jié)EG交⊙O于點F，當(dāng)EF＝AB，求sin∠OGE的值．

【解答】解：(1)∵AB＝6，C是的中點，CD＝1，
∴OC⊥AB且OC平分AB，
∴AD＝3，∠ODA＝90°，
設(shè)OA＝r，則OD＝r﹣1，
∴r2＝32+(r﹣1)2，
解得，r＝5，
即圓⊙O的半徑為5；
(2)作OH⊥EF于點H，
∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，
∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，
∵OA∥BG，OG∥AB，
∴四邊形OABG是平行四邊形，
∴OG＝AB，
∵AB＝6，
∴OG＝6，
∴sin∠OGH＝＝＝，
即sin∠OGE＝．

20．如圖，直線PO交⊙O于點E、F，PB為⊙O的切線，B為切點，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF，PA．
(1)試探究線段OF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；
(2)若BC＝18，sin∠F＝，求線段PF的長．

【解答】(1)OF2＝OD×OP．
證明：連接OB，

∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于D，
∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠PDA＝90°，
∴∠OAD+∠AOP＝90°，∠OPA+∠AOP＝90°，
∴∠OAD＝∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴，
即OA2＝OD×OP，
∵OF＝OA，
∴OF2＝OD?OP．
(2)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝18，
∴OD＝BC＝9，
設(shè)AD＝x，
∵sin∠F＝，
∴tan∠F＝＝，
∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣9，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
得(2x﹣9)2＝x2+92，
解得x1＝12，x2＝0(不合題意，舍去)，
∴AD＝12，OA＝2x﹣9＝15，
∵OA2＝OD×OP，
∴9OP＝225，
∴OP＝25，
∴PF＝40．

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