?中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講義+強(qiáng)化訓(xùn)練(全國通用)
第八講 平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)
考點(diǎn)一 點(diǎn)坐標(biāo)的特征 2
考點(diǎn)二 圖形在坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn) 5
考點(diǎn)三 圖形在坐標(biāo)系中的平移 12
考點(diǎn)四 坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問題 18
考點(diǎn)五 自變量的取值范圍 23
考點(diǎn)六 函數(shù)圖像的簡單應(yīng)用 24















考點(diǎn)一 點(diǎn)坐標(biāo)的特征

1．點(diǎn)M在第二象限，距離x軸5個(gè)單位長度，距離y軸3個(gè)單位長度，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(5，﹣3) B．(﹣5，3) C．(3，﹣5) D．(﹣3，5)
【解答】解：∵點(diǎn)P位于第二象限，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)，
∵點(diǎn)距離x軸5個(gè)單位長度，距離y軸3個(gè)單位長度，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，5)．
故選：D．
2．如果點(diǎn)A(3，m)在x軸上，那么點(diǎn)B(m+2，m﹣3)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵A(3，m)在x軸上，
∴m＝0，
∴m+2＝2，m﹣3＝﹣3，
∴B(m+2，m﹣3)所在的象限是第四象限．
故選：D．
3．若點(diǎn)A(2m，2﹣m)和點(diǎn)B(3+n，n)關(guān)于y軸對稱，則m、n的值為(　　)
A．m＝1，n＝﹣1 B．，
C．m＝﹣5，n＝7 D．，
【解答】解：∵點(diǎn)A(2m，2﹣m)和點(diǎn)B(3+n，n)關(guān)于y軸對稱，
∴2m+3+n＝0，2﹣m＝n，
解得：m＝﹣5，n＝7，
故選：C．
4．已知點(diǎn)P(a，3)、Q(﹣2，b)關(guān)于y軸對稱，則的值是(　　)
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【解答】解：∵點(diǎn)P(a，3)、Q(﹣2，b)關(guān)于y軸對稱，
∴a＝2，b＝3，
∴＝＝﹣5，
故選：A．
5．若點(diǎn)P(2a﹣1，3)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為Q(3，b)，則點(diǎn)M(a，b)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(﹣1，﹣3) D．(1，﹣3)
【解答】解：∵點(diǎn)P(2a﹣1，3)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為Q(3，b)，
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M(﹣1，3)，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(﹣1，﹣3)．
故選：C．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(m﹣1，2)與點(diǎn)B(3，n)關(guān)于y軸對稱，則(　　)
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣2，n＝3 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝2
【解答】解：∵點(diǎn)A(m﹣1，2)與點(diǎn)B(3，n)關(guān)于y軸對稱，
∴m﹣1＝﹣3，n＝2，
解得：m＝﹣2，
故選：D．
7．點(diǎn)A(3，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A．(3，2) B．(﹣3，﹣2) C．(﹣3，2) D．(3，﹣2)
【解答】解：∵點(diǎn)A(3，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，
∴B(3，﹣2)，
故選：D．
8．若點(diǎn)P(a，2)和點(diǎn)Q(﹣3，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么a，b的值分別為(　　)
A．3，2 B．3，﹣2 C．﹣2，3 D．2，﹣3
【解答】解：∵點(diǎn)P(a，2)和點(diǎn)Q(﹣3，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴a＝﹣(﹣3)＝3，b＝﹣2．
故選：B．
9．已知點(diǎn)P(m2+1，﹣1)與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)Q一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵點(diǎn)P(m2+1，﹣1)與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴Q(﹣m2﹣1，1)，
∵﹣m2﹣1＜0，1＞0，
∴點(diǎn)Q一定在第二象限，
故選：B．
10．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，則A、B兩點(diǎn)間的距離等于　2?。?br /> 【解答】解：∵直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn) A(﹣3，1)和B(3，﹣1)，
∴A、B兩點(diǎn)間的距離等于＝2，
故答案為2．
11．先閱讀下列一段文字，再回答后面的問題．
對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其兩點(diǎn)間的距離公式為P1P2＝，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)若A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，試求A、B兩點(diǎn)間的距離；
(2)若C、D都在平行于x軸的同一條直線上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，試求C、D兩點(diǎn)間的距離．
(3)若已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，你能判定此三角形的形狀嗎？請說明理由．
【解答】解：(1)∵A(2，4)、B(﹣3，﹣8)，
∴AB＝＝13；

(2)∵C、D都在平行于x軸的同一條直線上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，
∴CD＝|3﹣(﹣2)|＝5；

(3)△EFG為等腰直角三角形，理由為：
∵E(0，1)、F(2，﹣1)、G(﹣2，﹣1)，
∴EF＝＝2，
EG＝＝2，
FG＝|2﹣(2)|＝4，
∵(2)2+(2)2＝42，
則△EFG為等腰直角三角形．
12．先閱讀下列一段文字，再回答后面的問題：已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點(diǎn)間的距離P1P2＝，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A(1，3)，B(﹣3，﹣5)，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；
(2)已知線段MN∥y軸，MN＝4，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，﹣1)，試求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(0，6)，E(﹣3，2)，F(xiàn)(3，2)，你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．
【解答】解：(1)A，B兩點(diǎn)間的距離＝＝4；
(2)∵線段MN∥y軸，
∴M、N的橫坐標(biāo)相同，
設(shè)N(2，t)，
∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)或(2，﹣5)；
(3)△DEF為等腰三角形．
理由如下：
∵D(0，6)，E(﹣3，2)，F(xiàn)(3，2)，
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF為等腰三角形．


考點(diǎn)二 圖形在坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)

1．如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O(0，0)，A(﹣3，4)，B(3，4)．將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)

A．(10，3) B．(﹣3，10) C．(10，﹣3) D．(3，﹣10)
【解答】解：∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB＝3+3＝6，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB＝6，
∴D(﹣3，10)，
∵每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴4次一個(gè)循環(huán)，
∵2022＝4×505+2，
∴每4次一個(gè)循環(huán)，第2020次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，﹣10)．
故選：D．
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(1，0)，AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，然后再向下平移2個(gè)單位，則A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(　　)

A．(﹣4，﹣2﹣) B．(﹣4，﹣2+) C．(﹣2，﹣2+) D．(﹣2，﹣2﹣)
【解答】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后所得△A1BC1，如圖所示，
∵AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝4
∴AB＝2，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝＝＝3，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(1，0)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，)，
∵BD＝3，
∴BD1＝3，
∴D1坐標(biāo)為(﹣2，0)
∴A1坐標(biāo)為(﹣2，﹣)，
∵再向下平移2個(gè)單位，
∴A′的坐標(biāo)為(﹣2，﹣﹣2)，
故選：D．

3．如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O(0，0)，∠AOB＝90°，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，OC是△OAB的中線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　)

A．(4，﹣4) B．(2，﹣4) C．(3，﹣3) D．(3，﹣3)
【解答】解：∵AC＝CB，C(2，3)，
∴A(0，6)，B(4，0)，
∴OA＝6，
第1次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，3)，
第2次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6，0)，
第3次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，﹣3)，
第4次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，6)，
第5次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，﹣3)，
第6次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，0)，
第7次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，3)，
第8次點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，6)，
8次應(yīng)該循環(huán)，
∵2021÷8＝252???5，
∴第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，﹣3)，
故選：C．
4．如圖，等邊△OAB的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB∥x軸，OA＝2，將等邊△OAB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△OCD的位置，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)

A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，﹣)
【解答】解：過D作DE⊥y軸于E，
∴∠DEO＝90°，
∵△OAB是等邊三角形，
∴OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，
∵AB∥x軸，
∴AB⊥y軸于F，
∴∠BOF＝30°，
∵將等邊△OAB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△OCD的位置，
∴∠BOD＝105°，OD＝OB＝2，
∴∠DOE＝45°，
∴OE＝DE＝OD＝，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，﹣)，
故選：D．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，那么點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為(　　)

A．(﹣1，1) B． C．(﹣1，﹣1) D．
【解答】解：∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B(1，1)，
連接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋轉(zhuǎn)得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，
相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1(0，)，B2(﹣1，1)，B3(﹣，0)，B4(﹣1，﹣1)，…，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2020÷8＝252…4，
∴點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為(﹣1，﹣1)
故選：C．

6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，0)，B(4，0)，P為y軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為Q，則線段BQ的最小值是(　　)

A．3 B．5 C． D．2
【解答】解：∵A(2，0)，
∴OA＝2，
設(shè)P(0，m)，則OP＝m，
作QM⊥y軸于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝∠APO+∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ(AAS)，
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q(m，m+2)，
∵B(4，0)，
∴BQ＝＝，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，BQ有最小值3，
故選：A．

二．填空題(共1小題)
7．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 　(5，2)　．

【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x+3＝3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)；
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，
則OA＝2，OB＝3，
∵△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′，
∴∠OAO′＝90°，∠AO′B′＝∠AOB＝90°，AO′＝AO＝2，O′B′＝OB＝3，
即AO′⊥x軸，O′B′∥x軸，
∴點(diǎn)B′坐標(biāo)為(5，2)．
故答案為(5，2)．




考點(diǎn)三 圖形在坐標(biāo)系中的平移

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1，0)，AC＝2．將Rt△ABC先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移3個(gè)單位長度，則變換后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)

A．(﹣1，2) B．(﹣4，2) C．(3，2) D．(2，2)
【解答】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1，0)，AC＝2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，0)，
如圖所示，將Rt△ABC先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(﹣1，2)，
再向右平移3個(gè)單位長度，則變換后點(diǎn)A′的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，
故選：D．

2．如圖，Rt△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且AC＝3，將△ABC先繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向左平移2個(gè)單位，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(　　)

A．(1，3) B．(﹣1，3) C．(1，﹣3) D．(﹣1，﹣3)
【解答】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，0)，AC＝3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，
將Rt△ABC先繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1，﹣3)，
再向左平移2個(gè)單位長度，
則變換后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，﹣3)．
故選：D．
二．填空題(共4小題)
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(﹣1，0)，(3，0)，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C，D，則D的坐標(biāo)為　(4，2)　，連接AC，BD．在y軸上存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使S△PAB＝S四邊形ABDC．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　(0，4)或(0，﹣4)?。?br />
【解答】解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，將點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D，
∴D(4，2)；
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，
S△PAB＝×AB×h＝2h，
由S△PAB＝S四邊形ABDC，得2h＝8，
解得h＝4，
∴P(0，4)或(0，﹣4)．
故答案為：(4，2)；(0，4)或(0，﹣4)．
4．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)B在x軸上，把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　(4，3)?。?br />
【解答】解：∵把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC＝BD，A和C的縱坐標(biāo)相同，
∵四邊形ABDC的面積為9，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3)，
∴3AC＝9，
∴AC＝3，
∴C(4，3)，
故答案為(4，3)．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB在x軸上，將線段AB向上平移2個(gè)單位．再向右平移1個(gè)單位，得到線段CD，連接AC，BD，在y軸上存在點(diǎn)P，使△PCD的面積為四邊形ABDC面積的一半，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　(0，0)或(0，4)?。?br />
【解答】解：由平移可得，C(0，2)，D(4，2)，
∴CD＝AB＝4，CD∥AB，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD面積＝4×2＝8，
又∵△PCD的面積為四邊形ABCD面積的一半，
∴△PCD的面積為4，
即×CD×CP＝4，
∴CP＝2，
∴當(dāng)點(diǎn)P在CD下方時(shí)，P(0，0)；當(dāng)點(diǎn)P在CD上方時(shí)，P(0，4)，
故答案為：(0，0)或(0，4)．
6．如圖，已知A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，將AB向右平移到CD的位置，S四邊形ABDC＝a(a＞30)，若E(m，n)為四邊形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，且S△ABE＝5，則m與n的數(shù)量關(guān)系為　n＝4m﹣8　，m的取值范圍是　1.5＜m＜2.5　．

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作AB的平行線，交x軸于K，設(shè)K(a，0)，AB交x軸于G，
∵S△ABE＝5，
∴點(diǎn)E在平行于AB的直線EK上．
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b．
∵A(0，2)，B(﹣1，﹣2)，
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝4x+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，4x+2＝0，解得x＝﹣，
∴G(﹣，0)，
∵AB∥EK，
∴S△ABE＝S△ABK＝×(a+)×4＝5，
解得a＝2，
∴K(2，0)，
∴點(diǎn)E在直線y＝4x﹣8上，
∵E(m，n)，
∴n＝4m﹣8(1.5＜m＜2.5)．
故答案為n＝4m﹣8，1.5＜m＜2.5．

三．解答題(共2小題)
7．如圖，在△ABC中；
(1)畫△ABC向右平移4個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的△A′B′C′；
(2)寫出平移后A′、B′、C′三點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)求三角形ABC的面積．

【解答】解：(1)如圖所示，△A′B′C′即為所求；

(2)由圖可知，A′(3，1)、B′(5，﹣2)、C′(0，﹣4)；
(3)三角形ABC的面積為：5×5﹣3×5﹣2×3﹣2×5＝．
8．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，
(1)請寫出△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若把△ABC向上平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到△A'B'C'，寫出A'、B'、C'的坐標(biāo)，并在圖中畫出平移后圖形；
(3)求出三角形ABC的面積．
(4)若線段AB交y軸與點(diǎn)P，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【解答】解：(1)A(﹣2，﹣2)，B(3，1)，C(0，2)；
(2)如圖，△A'B'C'即為所求；

A'(0，1)，B'(5，4)，C'(2，5)；
(3)三角形ABC的面積為：
5×4﹣1×3﹣2×4﹣3×5＝7．
(4)P(0，﹣)．

考點(diǎn)四 坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)問題

1．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1，4)和(3，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BC﹣AC|最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是　(0，6)?。?br />
【解答】解：∵A(1，4)，B(3，0)，
∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|BC﹣AC|的值最大，
此時(shí)C(0，6)
故答案為(0，6)
2．如圖，已知A(1，2)、B(﹣3，1)，點(diǎn)P在x軸上，則當(dāng)AP+BP最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　(﹣，0)?。?br />
【解答】解：作點(diǎn)B(﹣3，1)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)B'，
則B'(﹣3，﹣1)，
連接AB'交x軸于P，
則AB'＝PA+PB的最小值，
設(shè)直線解析式為y＝kx+b，把A(1，2)、B'(﹣3，﹣1)分別代入解析式得，
解得，
∴y＝，
當(dāng)y＝0時(shí)＝0
解得x＝﹣，
P(﹣，
故答案為(﹣，0)．

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1，4)和(3，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，當(dāng)△ABC的周長最小值時(shí)，△ABC的面積為　3?。?br />
【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C′，
此時(shí)△ABC′的周長最小，

設(shè)直線A′B 的解析式為y＝kx+b，
∵A′(﹣1，4)，B(3，0)，
∴，
∴k＝﹣1，b＝3，
∴直線A′B 的解析式為y＝﹣x+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴C′(0，3)，
∴S△ABC＝S△AA′B﹣S△AA′C′
＝2×4﹣2×1
＝4﹣1＝3．
所以△ABC′的面積為3．
故答案為：3．
4．∠AOB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P(4，3)，M，N分別是OA，OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN，MN，則△PMN周長的最小值是　5?。?br />
【解答】解：分別作P關(guān)于射線OA、射線OB的對稱點(diǎn)P′與點(diǎn)P″，連接P′P″，與OA、OB分別交于M、N兩點(diǎn)，
此時(shí)△PMN周長最小，最小值為P′P″的長，
連接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分別為PP′，PP″的垂直平分線，P(4，3)，
∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
過O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，
∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，
則△PMN周長的最小值是5．
故答案為：5．

二．解答題(共1小題)
5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1，4)和(3，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上．
(1)求出AB的長．
(2)求出△ABC的周長的最小值？

【解答】解：(1)作AD⊥OB于D，如圖1所示：
則∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，
∴BD＝3﹣1＝2，
∴AB＝＝2；
(2)要使△ABC的周長最小，AB一定，
則AC+BC最小，
作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交y軸于點(diǎn)C，
點(diǎn)C即為使AC+BC最小的點(diǎn)，
作A′E⊥x軸于E，
由對稱的性質(zhì)得：AC＝A′C，
則AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，
∴BE＝4，
由勾股定理得：A′B＝＝4，
∴△ABC的周長的最小值為2+4．




考點(diǎn)五 自變量的取值范圍

1．函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是(　　)
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠﹣3 D．x≥﹣2且x≠﹣3
【解答】解：∵x+2≥0，
解得x≥﹣2．
∵3+x≠0，
∴x≠﹣3．
∴自變量x的取值范圍是x≥﹣2．
故選：B．
2．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是(　　)
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【解答】解：由題意得，x+1≥0，1+x≠0，
解得，x＞﹣1，
故選：B．
3．在函數(shù)中，自變量的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
【解答】解：要使函數(shù)意義，則6x﹣2≥0，
解得x，
故選：C．
4．函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是(　　)
A．x≥2且x≠1 B．x≥2 C．x≠1 D．﹣2≤x＜1
【解答】解：由題意得，x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2且x≠1，
∴x≥2．
故選：B．
5．在函數(shù)y＝+(x﹣3)0中自變量x的取值范圍是　x＞﹣3，且x≠3?。?br /> 【解答】解：由題意得：，
解得：x＞﹣3，且x≠3．
故答案為：x＞﹣3，且x≠3．

考點(diǎn)六 函數(shù)圖像的簡單應(yīng)用

1．某班同學(xué)在研究彈簧的長度跟外力的變化關(guān)系時(shí)，實(shí)驗(yàn)記錄得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)如下表：
砝碼的質(zhì)量x/g
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指針位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：
由表格得點(diǎn)(0，2)，(250，7)，
設(shè)直線的解析式為y＝kx+b
得，，解得
即直線的解析式為：，
將點(diǎn)(200，7.5)，(275，7.5)，(300，7.5)，(350，7.5)分別代入得，
僅點(diǎn)(275，7.5)滿足上述解析式．
故選：B．
2．新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠(yuǎn)遠(yuǎn)甩在后頭．驕傲自滿的兔子覺得自己遙遙領(lǐng)先，就躺在路邊呼呼大睡起來．當(dāng)它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追，最后同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．用S1、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：A．此函數(shù)圖象中，S2先達(dá)到最大值，即兔子先到終點(diǎn)，不符合題意；
B．此函數(shù)圖象中，S2第2段隨時(shí)間增加其路程一直保持不變，與“當(dāng)它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追”不符，不符合題意；
C．此函數(shù)圖象中，烏龜和兔子同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，符合題意；
D．此函數(shù)圖象中，S1先達(dá)到最大值，即烏龜先到終點(diǎn)，不符合題意．
故選：C．
3．如圖所示的圖象(折線ABCDE)描述了一輛汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s(千米)與行駛時(shí)間t(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中提供的信息，給出下列說法：
①汽車共行駛了140千米；②汽車在行駛途中停留了1小時(shí)；③汽車在整個(gè)行駛過程中的平均速度為30千米/時(shí)；④汽車出發(fā)后6小時(shí)至9小時(shí)之間行駛的速度在逐漸減?。渲姓_的說法共有(　　)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【解答】解：汽車從出發(fā)地到目的地走了140千米，又回到出發(fā)地因而共行駛了280千米，故①錯(cuò)誤；
汽車在行駛途中停留了4﹣3＝1小時(shí)，故②正確；
汽車在整個(gè)行駛過程中的平均速度為：280÷9＝(千米/時(shí))，故③錯(cuò)誤；
汽車出發(fā)后6小時(shí)至9小時(shí)之間行駛的速度不變，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的只有②．
故選：A．
4．一輛客車從酒泉出發(fā)開往蘭州，設(shè)客車出發(fā)t小時(shí)后與蘭州的距離為s千米，下列圖象能大致反映s與t之間的函數(shù)關(guān)系的是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：根據(jù)出發(fā)時(shí)與終點(diǎn)這兩個(gè)特殊點(diǎn)的意義，圖象能大致反映s與t之間的函數(shù)關(guān)系的是應(yīng)選A．
故選：A．
5．小明步行從家出發(fā)去學(xué)校，步行了5分鐘時(shí)，發(fā)現(xiàn)作業(yè)忘在家，馬上以同樣的速度回家取作業(yè)，然后騎共享單車趕往學(xué)校，小明離家距離S(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖，則小明騎車比步行的速度每分鐘快(　　)

A．200 B．80 C．140 D．120
【解答】解：由題意，得小明步行的速度為400÷5＝80(米/分鐘)，
小明從家騎共享單車趕往學(xué)校所需時(shí)間為：16﹣5×2＝6(分鐘)，
小明騎車速度為：1200÷6＝200(米/分鐘)，
小明騎車比步行的速度每分鐘快：200﹣80＝120(米/分鐘)．
故選：D．
6．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一個(gè)豎直放置的玻璃杯(如圖1所示，桶子和玻璃杯的形狀都是圓柱形)．小亮決定做個(gè)試驗(yàn)：把塑料桶和玻璃杯看作一個(gè)容器，對準(zhǔn)杯口勻速注水，注水過程中杯子始終豎直放置，圖2是容器最高水位h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的圖象，那么，桶口的半徑是杯口半徑的(　　)倍

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：一注水管向小玻璃杯內(nèi)注水，水面在逐漸升高，當(dāng)小杯中水滿時(shí)，開始向大桶內(nèi)流，這時(shí)水位高度不變，
當(dāng)t＝1時(shí)，h＝2，此時(shí)杯子剛好注滿；當(dāng)t＝4時(shí)，h＝2，說明此時(shí)塑料桶內(nèi)水的高度剛好與杯子高度相同，
所以塑料桶的底面積是杯子底面積的4倍，
所以桶口的半徑是杯口半徑的2倍．
故選：B．
7．船工小王駕駛一艘小艇勻速從甲港向乙港航行，離開甲港后不久便發(fā)現(xiàn)有重要物品落在甲港，小王馬上駕駛小艇以相同的速度馳回甲港，到達(dá)甲港后，因找重要物品耽誤了一段時(shí)間，為了按時(shí)到達(dá)乙港，小王回乙港時(shí)，加快了航行速度．則小艇離乙港的距離y與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是(　　)
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y表示的是小艇離乙港的距離，小艇從甲港出發(fā)，
∴圖像第一段為從左向右下降趨勢，
∵離開甲港不久又原速返回乙港，
∴圖像第二段從左向右上升趨勢且傾斜程度與第一段相同，
∵到達(dá)甲港后找東西耽誤了一段時(shí)間，
∴圖像第三段從左向右是平線，
∵為了按時(shí)到達(dá)，小艇重新往乙港走加快了速度，
∴最后一段圖像是從左向右下降的趨勢且傾斜程度比第一段和第二段陡．
故選：B．
8．有這樣一個(gè)問題：求函數(shù)y＝x+(x＞0)的最小值．
下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完成：
x
…


1
2
3
…
y
…


2


…
(1)表是y與x的幾組對應(yīng)值，請根據(jù)表格畫出y＝x+(＞0)的圖象；
(2)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想：x＝　1　時(shí)，y取最小值為 　2??；
(3)對(2)中的結(jié)論進(jìn)行證明；
(4)不等式2x+≥(x＞)的解集為 　x≥或＜x≤　．

【解答】解：(1)函數(shù)圖象如圖所示：

(2)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想：x＝1時(shí)，y取最小值為2，
故答案為：1，2；
(3)y＝x+＝(+)2﹣2＝()2+()2+2﹣2＝(﹣)2+2，
∵(﹣)2≥0，
∴(﹣)2+2的最小值為2，
此時(shí)，﹣＝0，解得：x＝1，
∴x＝1時(shí)，y取最小值為2，；
(4)2x+≥(x＞)兩邊減3得2x﹣3+≥﹣3，
∴2x﹣3+≥，
∵x＞，
∴2x﹣3＞0，
由表格中的數(shù)據(jù)及圖象得：2x﹣3＞2或0＜2x﹣3＜時(shí)，y＝x+＞，
2x﹣3≥2時(shí)，解得：x≥，
0＜2x﹣3≤時(shí)，解得：＜x≤，
∴不等式2x+≥(x＞)的解集為x≥或＜x≤，
故答案為：x≥或＜x≤．


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