第26講平移與旋轉(zhuǎn)（講義）（教師版含解析）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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第二十六講平移與旋轉(zhuǎn)
必備知識(shí)點(diǎn) 2
考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形 4
考點(diǎn)二運(yùn)用軸對(duì)稱求最小值 7
考點(diǎn)三圖形的平移 12
考點(diǎn)四圖形的旋轉(zhuǎn) 15

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)
一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱

軸對(duì)稱圖形
軸對(duì)稱
圖
形

定
義
如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸
如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸

性
質(zhì)
對(duì)應(yīng)線段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
對(duì)應(yīng)角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分

區(qū)
別
(1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言；
(2)對(duì)稱軸不一定只有一條
(1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；
(2)只有一條對(duì)稱軸

關(guān)
系
(1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合；
(2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱
(1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合；(2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形

1．常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓．
2．折疊的性質(zhì):折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
【注意】凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量．解決折疊問(wèn)題時(shí)，首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關(guān)系，借助勾股定理建立關(guān)系式求出答案，所求問(wèn)題具有不確定性時(shí)，常常采用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．
3．作某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的一般步驟
1)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線(對(duì)稱軸)的垂線，標(biāo)出垂足；2)在這條直線另一側(cè)從垂足除法截取與已知點(diǎn)到垂足的距離相等的線段，那么截點(diǎn)就是這點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)．
4．作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形的一般步驟
1)作出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；
2)把這些對(duì)稱點(diǎn)順次連接起來(lái)，就形成了一個(gè)符合條件的對(duì)稱圖形．
二、圖形的平移
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形由一個(gè)位置沿某個(gè)方向移動(dòng)到另一個(gè)位置，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大?。?br /> 2．三大要素：一是平移的起點(diǎn)，二是平移的方向，三是平移的距離．
3．性質(zhì)：
1)平移前后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等；2)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連接的線段平行(或在同一條直線上)且相等；3)平移前后的圖形全等．
4．作圖步驟：
1)根據(jù)題意，確定平移的方向和平移的距離；2)找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3)按平移方向和平移距離平移各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4)按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形．
三、圖形的旋轉(zhuǎn)
1．定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．
2．三大要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．
3．性質(zhì)：
1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；2)每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．
4．作圖步驟：1)根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；2)找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3)連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；4)按原圖形依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．
【注意】旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，旋轉(zhuǎn)改變的是圖形的位置，圖形的大小關(guān)系不發(fā)生改變，所以在解答有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質(zhì)的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)建立的邊角關(guān)系起著關(guān)鍵的作用．
四、中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱

中心對(duì)稱圖形
中心對(duì)稱
圖
形

定
義
如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心
如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱
性
質(zhì)
對(duì)應(yīng)點(diǎn)
點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D
點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′
對(duì)應(yīng)線段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
對(duì)應(yīng)角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
區(qū)
別
中心對(duì)稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形
中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系
聯(lián)
系
把中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)部分看成“兩個(gè)圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱
把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“整體”，則“整體”成為中心對(duì)稱圖形

常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等．
注意：圖形的“對(duì)稱”“平移”“旋轉(zhuǎn)”這些變化,是圖形運(yùn)動(dòng)及延伸的重要途徑,研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”.

考點(diǎn)一軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

1．下列圖形是軸對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B．C．D．
【解答】解：選項(xiàng)A、B、C不均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：D．
2．改革開(kāi)放以來(lái)，我國(guó)眾多科技實(shí)體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、鳳凰光學(xué)、太極股份和華為集團(tuán)等就是代表．上述四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B．C．D．
【解答】解：選項(xiàng)A、B、C不均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：D．
3．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B． C．D．
【解答】解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：A．
4．如圖，下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B． C．D．
【解答】解：選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：A．
5．下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B．C．D．
【解答】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義，故此選項(xiàng)不合題意；
B．是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
C．是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義，故此選項(xiàng)不合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對(duì)稱圖形的定義，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
6．下列四個(gè)交通標(biāo)志中，屬于中心對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B．C．D．
【解答】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
7．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是(　　)
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
8．下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(　　)
A．B．C．D．
【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．

考點(diǎn)二運(yùn)用軸對(duì)稱求最小值

9．如圖，若∠AOB＝44°，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為(　　)

A．82° B．84° C．88° D．92°
【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P''，連接P'P''交OA于M'，OB與N'，

∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此時(shí)P'P''的長(zhǎng)即為△PMN的周長(zhǎng)的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠MPP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣(∠P'+∠P'')＝136°﹣44°＝92°，
故選：D．
10．如圖，點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC＝8，B到MN的距離BD＝5，已知CD＝4，P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PA+PB的最小值為a，|PA﹣PB|的最大值為b，則a2﹣b2的值為(　　)

A．160 B．150 C．140 D．130
【解答】解：如圖，

作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線MN于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)A′作直線A′E⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段A′B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B＝＝，
即PA+PB的最小值是a＝．
如圖，

延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝5．
∴|PA﹣PB|＝5為最大，
即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．
故選：A．
11．如圖，OE為∠AOB的角平分線，∠AOB＝30°，OB＝6，點(diǎn)P，C分別為射線OE，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PB的最小值是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA交于D點(diǎn)，交OE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OB交于C點(diǎn)，
∵OE為∠AOB的角平分線，
∴DP＝CP，
∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此時(shí)PC+PB的值最小，
∵∠AOB＝30°，OB＝6，
∴BD＝3，
故選：A．

12．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為(　　)

A．80° B．90° C．100° D．130°
【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EF交CD于N，交BC于M，連接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∵∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故選：C．

13．如圖，A、B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線l的距離AC＝4，點(diǎn)B到直線l的距離BD＝2，且CD＝6，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA﹣PB|的最大值是(　　)

A．6 B．2 C．2 D．6
【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連AB′并延長(zhǎng)交直線l于P．
∴B′D＝BD＝2，
∵AC∥B′D，
∴，
即，
解得：PD＝6，
PC＝6+6＝12，
∴PA＝，PB′＝，
∴|PA﹣PB|的最大值＝2．
故選：C．

考點(diǎn)三圖形的平移

14．如圖，線段CD可以看成由線段AB先向下平移　2　個(gè)單位，再向右平移　2　個(gè)單位得到．

【解答】解：線段CD可以看成由線段AB先向下平移2個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到．
故答案為：2，2．
15．如果將點(diǎn)A(﹣3，﹣1)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是　(﹣1，﹣4)　．
【解答】解：將點(diǎn)A(﹣3，﹣1)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B(﹣3+2，﹣1﹣3)
即(﹣1，﹣4)，
故答案為：(﹣1，﹣4)．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB平移至線段CD，連接AC，BD．若點(diǎn)B(﹣2，﹣2)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D(1，2)，則點(diǎn)A(﹣3，0)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是　(0，4)?。?br />
【解答】解：∵點(diǎn)B(﹣2，﹣2)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D(1，2)，
∴平移規(guī)律為向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，
∴點(diǎn)A(﹣3，0)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．
故答案為：(0，4)．
17．如圖：A(1，0)，B(0，2)，若將線段AB平移至A1B1，則2a﹣b的值為　2?。?br />
【解答】解：∵A(1，0)，A1(3，b)，B(0，2)，B1(a，4)，
∴平移規(guī)律為向右3﹣1＝2個(gè)單位，向上4﹣2＝2個(gè)單位，
∴a＝0+2＝2，b＝0+2＝2，
∴2a﹣b＝2×2﹣2＝2．
故答案為：2．
18．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，當(dāng)BP＝　4　時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小．

【解答】解：如圖，在AD上截取線段AF＝PQ＝2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
設(shè)BP＝x，則CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故答案為4．

19．如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ＝4，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ＝　16　．

【解答】解：作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC＝8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝4，PD＝18，
∴DQ＝＝，CD＝PD﹣PC＝18﹣8＝10，
∵AB＝PC＝8，AB∥PC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∴PA＝BC，
∴PA+BQ＝CB+BQ＝QC＝＝＝16．
故答案為16．

考點(diǎn)四圖形的旋轉(zhuǎn)

20．如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，將CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CD，連接AD，E為直線CD上一點(diǎn)，連接AE．
(1)如圖1，若∠BAC＝60°，∠ACD＝90°，E為CD中點(diǎn)，AB＝2，求△BCE的面積；
(2)如圖2，若∠ACD＝90°，點(diǎn)E在線段CD上且∠DAE+∠ABC＝90°，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接DF，求證：BC＝DF．

【解答】(1)解：如圖1，作EN⊥BC于N，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC＝CD＝AB＝2，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴CE＝CD＝，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECN＝30°，
∴EN＝EC＝，
∴S△BCE＝×BC×EN＝×2×＝；
(2)證明：如圖2，作AG⊥BC于G，作DH⊥BF于H，

∴∠AGC＝∠H＝90°，
∴∠GAC+∠ACG＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACG+∠DCH＝90°，
∴∠GAC＝∠DCH，
在△ACG和△CDH中，
，
∴△ACG≌△CDH(AAS)，
∴DH＝CG，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BC＝2CG，
∴BC＝2DH，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴∠DAE+∠ACB＝90°，
∵∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠GAC＝∠DAE，
∴∠DCH＝∠DAE，
∴點(diǎn)A、C、F、D共圓，
∴∠DFH＝∠CAD＝45°，
∴DH＝DF，
∴BC＝2DH＝DF．
21．如圖，在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°．△FDE中，∠DFE＝60°，將△FDE的頂點(diǎn)F與△ABC的頂點(diǎn)A重合，邊FD從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中FD與直線BC的交點(diǎn)為N，F(xiàn)E與直線BC的交點(diǎn)為M．
(1)點(diǎn)P在線段BC上，連接AP．如圖(1)，△FDE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)FD平分∠BAP時(shí)，求證：FE平分∠CAP；
(2)△FDE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖(2)，當(dāng)∠BAN＝45°時(shí)，探究線段BN，MN，MC之間的數(shù)量關(guān)系，并用你所學(xué)的知識(shí)證明你的結(jié)論．

【解答】(1)證明：∵FD平分∠BAP，
∴∠PFN＝∠BFN，
∵∠BAC＝120°，∠DFE＝60°，
∴∠CFE+∠BFN＝60°，∠PFN+∠PFM＝60°，
∴∠CFM＝∠PFM，
∴FE平分∠CAP；
(2)解：BN2＝CE2+MN2，理由如下：
如圖，將△ACM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ABH，連接NH，

∴△ACM≌△ABH，
∴AH＝AM，CM＝BH，∠ACB＝∠ABC，∠MAH＝120°，
∴∠HAN＝∠MAH﹣∠MAN＝60°，
∴∠MAN＝∠NAH＝60°，
在△ANM和△ANH中，
，
∴△ANM≌△ANH(SAS)，
∴MN＝NH，∠MNA＝∠ANH，
∵∠CAB＝120°，AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°＝∠ABH，
∴∠NBH＝60°，
∵∠ANM＝∠BAN+∠ABC＝75°，
∴∠ANM＝∠ANH＝75°，
∴∠BNH＝30°，
∴∠BHN＝90°，
∴BN2＝BH2+NH2，
∴BN2＝CM2+MN2．
22．旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題．
如圖1，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，連接BD，請(qǐng)利用旋轉(zhuǎn)變換求出四邊形ABCD的面積；
如圖2，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，求出四邊形ABCD的面積；
如圖3，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，AB＝4，BD＝4，若B、C兩點(diǎn)落在直線AD的同側(cè)，求BC的最小值．

【解答】解：如圖1，
將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DAB′，

∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，
∴△BDB′是等邊三角形；
∵△BCD≌△B′AD，
∴四邊形ABCD的面積＝△BDB′的面積，
∴BB′＝AB+AB′＝AB+BC＝4+2＝6，
∴S△BDB′＝×BB′×BB′＝×36＝9，
故四邊形ABCD的面積為9．
如圖2，
連接 BD，由于AD＝CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DAB′，

連接BB′，延長(zhǎng)BA，作B′E⊥BE，
在△BCD和△B′AD中，

∴△BCD≌△B′AD(SAS)，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A，
∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，
∴∠BAB′＝135°
∴∠B′AE＝45°，
∵B′A＝BC＝2，
∴B′E＝AE＝2，
∴BE＝AB+AE＝4+2＝6，
∴BB′＝2，等邊△DBB′，BB′上的高＝2×＝，
∴S△ABB′＝?AB?B′E＝×4×2＝4，
S△BDB′＝×2×＝10，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′＝10﹣4．
如圖3，由于AD＝CD，∠ADC＝90°，所以可將△ABD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△DCB′，連接BB′．

∴△ABD≌△CB′D，
∴B′D＝BD＝4，CB′＝AB＝4，
∵∠BDB′＝90°，
∴△BDB′為等腰直角三角形，
∴BB′＝BD＝×4＝4，
在△BB′C中，
BC≥BB′﹣CB′＝4﹣4，
∴BC的最小值為4﹣4．
23．(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．
①的值為　1　；
②∠AMB的度數(shù)為　40°　．
(2)【類(lèi)比探究】如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．計(jì)算的值及∠AMB的度數(shù)；
(3)【實(shí)際應(yīng)用】在(2)的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．

【解答】解：(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
①如圖1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB(SAS)，
∴AC＝BD，
∴＝1；
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠ABO＝140°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣(∠CAO+∠OAB+∠ABD)＝180°﹣(∠DBO+∠OAB+∠ABD)＝180°﹣140°＝40°，
故答案為：①1；②40°；
(2)【類(lèi)比探究】
如圖2，＝，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，
∴＝tan30°＝，
同理得：＝tan30°＝，
∴＝，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣(∠MAB+∠ABM)＝180°﹣(∠OAB+∠ABM+∠DBO)＝90°；
(3)【實(shí)際應(yīng)用】
①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°，＝，
設(shè)BD＝x，則AC＝x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，BC＝x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，
∴AB＝2OB＝2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴(x)2+(x﹣2)2＝(2)2，
x2﹣x﹣6＝0，
∴(x﹣3)(x+2)＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3；
②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，同理得：∠AMB＝90°，＝，
設(shè)BD＝x，則AC＝x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴(x)2+(x+2)2＝(2)2，
∴x2+x﹣6＝0，
∴(x+3)(x﹣2)＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2；
綜上所述，AC的長(zhǎng)為3或2．

24．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．
(1)證明：EF＝DF；
(2)如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．
(3)如圖3，在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，若CD⊥AD，GD＝4，請(qǐng)問(wèn)在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到△ACD三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出距離之和的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由．

【解答】(1)證明：如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB，
∠ACB＝60°，
∴∠CAF+∠DAB＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠DAB+∠ABD＝60°，
∴∠CAF＝∠ABD，
∵AF＝BD，
∴△ACF≌△BAD(SAS)，
∴EF＝DF；
(2)證明：如圖2，

由(1)知，
EF＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴∠DEF＝60°，
在EF上截取EN＝EM，連接MN，
∴CN＝CE+EN＝CE+EM＝EG，
∴△EMN是等邊三角形，
∴∠CNM＝60°，
∵∠GMC＝∠GEC，∠α＝∠β，
∴∠NCM＝∠EGM，
∵CM＝GM，
∴△NCM≌△EGM(SAS)，
∴∠MEG＝∠CNM＝60°，
∴∠CEG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°，
∴∠GME＝∠GEC＝60°，
∵CM＝GM，
∴△CMG是等邊三角形，
∴CG＝CM；
(3)解：如圖3，

由(1)(2)知，
△DEF和△CDG是等邊三角形，
∴∠CFD＝60°，CD＝GD＝4，
∵CD⊥AD，
∴∠CDF＝90°，
∴AD＝CF＝＝，
將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，
∴AD＝DQ，CP＝QG，
∴△PDQ是等邊三角形，
∴PD＝PQ，
∴AP+PD+CP＝AP+PQ+QG，
∴當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP最?。紸G，
作GH⊥AD于H，
在Rt△DGH中，
GH＝DG＝2，
DH＝DG＝2，
∴AH＝AD+DH＝+2＝，
∴AG＝
＝
＝，
∴AP+PD+CP的最小值是．
25．【問(wèn)題情境】
如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為　5　．
【問(wèn)題解決】
如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【問(wèn)題解決】
如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門(mén)，點(diǎn)E在邊BC上，CE＝cm，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．(保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25)．

【解答】解：(1)如圖1，作△ABC的外接圓O，作直徑AD，連接OB，

∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OBA是等邊三角形，
∴AB＝OA＝OB，
設(shè)AD與BC交于點(diǎn)E，BE＝BC＝，
在直角三角形ABE中，
∵sin∠BAO＝，
∴sin60°＝＝，
∴AB＝5，
∴OA＝5，
故答案為：5；

(2 )如圖2，

∵∠BPC＝90°，
∴點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)O，
則OP＝BC＝2，
∴O，P，A三點(diǎn)線時(shí)AP最小，
在直角三角形ABO中，
AO＝＝2，
∵PO＝2，
∴AP的最小值為：AO﹣PO＝2﹣2；

(3)如圖3，設(shè)∠BPE所在圓的圓心為點(diǎn)O，根據(jù)(1)可得∠BPE所在圓的半徑為＝2，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△DQA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DFN，當(dāng)N，F(xiàn)，Q，P，O共線時(shí)，QA+QD+QP最小，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AN，則△AND是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥GN于M交BC于點(diǎn)H，連接OB，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC∥GN，
∴OH⊥BC，
∵BE＝2，
∴BH＝，
∴OH＝＝1，
∵AD＝DN，∠ADN＝60°，
∴△AND是等邊三形，且AN＝3，∠NAD＝60°，
∴∠GAN＝30°，
∴GN＝ANsin30°＝，AG＝ANcos30°＝，
∴OM＝OH+AB+AG＝+1+3＝+3，MN＝GN﹣BH＝﹣＝，
∴ON＝＝≈11，
∴QA+QD+QP最小值為：11﹣2＝9(cm)．
26．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對(duì)稱軸為x＝1，與y交于點(diǎn)A，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長(zhǎng)；
(3)若點(diǎn)P為△AOC內(nèi)一點(diǎn)，直接寫(xiě)出PA+PC+PO的最小值(結(jié)果可以不化簡(jiǎn))以及直線CP的解析式．

【解答】解：(1)由已知得，x＝﹣＝1，則b＝1，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，
∴A(0，4)，令y＝0，得﹣x2+x+4＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4．
(2)在?ABCD中，∠OAB＝∠AOC＝90°，則AB∥CO，
∴OB＝＝2，OC′＝OC＝2，
∴∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，
∴＝＝＝，
∵△AOB的周長(zhǎng)為6+2，
∴△C′OD的周長(zhǎng)為(6+2)×＝2+；
(3)此點(diǎn)位費(fèi)馬點(diǎn)，設(shè)三角形AOB的三邊為a，b，c，
∵OC＝2，OA＝4，AC＝＝2，
PA+PO+PC＝
＝2．
直線CP解析式為y＝(﹣1)x+2﹣2．

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