?2022-2023學(xué)年北師大版四年級(jí)下冊(cè)同步重難點(diǎn)講義精講精練
第二單元 認(rèn)識(shí)三角形和四邊形






知識(shí)點(diǎn)一：圖形分類

知識(shí)點(diǎn)二：四邊形和三角形的性質(zhì)
1.三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性。
2.加固物體時(shí)，可以利用三角形的穩(wěn)定性。
知識(shí)點(diǎn)三：三角形分類
1.根據(jù)角的特征，三角形可以分為直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。
2.根據(jù)邊的特征，三角形可以分為不等邊三角形和等腰三角形。
3. 等腰三角形是兩條邊相等的三角形，等邊三角形是三條邊都相等的三角形，所以可以說所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不能說所有的等腰三角形都是等邊三角形。
知識(shí)點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和
1. 所有三角形的內(nèi)角和都是180°。每個(gè)三角形的所有內(nèi)角都能拼成一個(gè)平角。
2. 已知三角形兩個(gè)角的度數(shù)可以求出另外一個(gè)角的度數(shù)，進(jìn)而確定三角形的形狀。
3.已知三角形中一個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可以求出另外兩個(gè)角的度數(shù)和，并根據(jù)每個(gè)角的大小來判斷這個(gè)三角形可能是什么三角形。
知識(shí)點(diǎn)五：三角形三邊的關(guān)系
1.三角形邊的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。
2.判斷三條線段能否圍成三角形最簡(jiǎn)捷的方法：只要把較短的兩條線段的和與最長(zhǎng)的線段進(jìn)行比較即可。
知識(shí)點(diǎn)六：四邊形的分類
1.四邊形的分類：平行四邊形、梯形和一般的四邊形。
2.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形。
3. 正方形、長(zhǎng)方形都是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

考點(diǎn)1：三角形的分類
【典例分析01】（2022春?仁化縣期末）如果一個(gè)三角形中，一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，那么這個(gè)三角形一定不是（　?。┤切?。
A．等邊 B．等腰 C．等腰直角
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)三角形中，一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，說明三角形中有2個(gè)角是不相等的，那么就一定不是等邊三角形，因?yàn)榈冗吶切蔚娜齻€(gè)角都是60度，據(jù)此選擇。
【規(guī)范解答】解：如果一個(gè)三角形中，一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，說明三角形中有2個(gè)角是不相等的，那么就一定不是等邊三角形，那么這個(gè)三角形一定不是等邊三角形。
故選：A。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形按角分類的方法。
【典例分析02】（2022春?渝北區(qū)期末）一個(gè)三角形3個(gè)內(nèi)角的大小都不相等，其中最小的角是45°，這是一個(gè)（　?。?br /> A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
【思路點(diǎn)撥】最小的角是45°，則另外兩角都應(yīng)大于45°，由三角形的內(nèi)角和可知，這兩個(gè)角還都應(yīng)小于90°，所以問題得解。
【規(guī)范解答】解：另外兩角的和＝180°﹣45°＝135°，假設(shè)一個(gè)角是90°，則另一個(gè)角就是45°，不符合題意。
所以另外兩個(gè)角都應(yīng)小于90°，這個(gè)三角形是銳角三角形。
故選：A。
【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和是180度和三角形分類的掌握。
【隨堂演練01】（2022春?青縣期末）在如圖格子圖上。
（1）畫出一個(gè)直角三角形并畫出斜邊上的高。
（2）畫一個(gè)鈍角三角形，這個(gè)三角形也是等腰三角形。

【思路點(diǎn)撥】（1）有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對(duì)邊叫做三角形的底，依此畫圖；
（2）有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；等腰三角形的兩腰相等，兩個(gè)底角也相等，依此畫圖。
【規(guī)范解答】解：（1）、（2）畫圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的是畫三角形以及畫三角形的高，應(yīng)熟練掌握直角三角形、鈍角三角形和等腰三角形的特點(diǎn)，以及三角形的高的畫法。
【隨堂演練02】（2022春?黃梅縣期末）觀察右圖三角形，完成下列問題。

（1）畫出三角形ABC向右平移5格后的圖形。
（2）按角分，三角形ABC是一個(gè) 　直角　三角形。
（3）三角形ABC有 　3　條高，在平移后的三角形中，畫出以BC為底的高。
【思路點(diǎn)撥】解：（1）根據(jù)平移的特征，把三角形ABC的各頂點(diǎn)分別向右平移5格，依次連接即可得到平移后的圖形。
（2）按角分，三角形ABC是一個(gè)直角三角形。
（3）三角形ABC有3條高，過平移后的點(diǎn)A作平移后的BC所在直線的垂線，即為三角形平移后以BC為底的高。
【規(guī)范解答】解：（1）作圖如下：

故答案為：直角，3。
【考點(diǎn)評(píng)析】圖形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距離。作圖形的高要標(biāo)出垂足。
考點(diǎn)2：三角形的內(nèi)角和
【典例分析03】（2022春?晉安區(qū)期末）兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形拼成了一個(gè)大三角形。

【思路點(diǎn)撥】三角形的內(nèi)角和是180°，兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形拼成了一個(gè)大三角形。拼成的大三角形也是一個(gè)三角形。內(nèi)角和不變還是180°。
【規(guī)范解答】解：濤濤的想法不對(duì)；
兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形拼成了一個(gè)大三角形，原來一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，拼成大三角形后，兩個(gè)直角不再是大三角形的內(nèi)角，所以不是180°+180°＝360°，所以濤濤的想法錯(cuò)誤。
【考點(diǎn)評(píng)析】任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，與三角形的形狀和大小無關(guān)。
【典例分析04】（2022春?晉安區(qū)期末）（1）畫出下面等腰三角形底邊上的高。
（2）已知一個(gè)底角是37度，這個(gè)三角形的頂角是 　106°　。

【思路點(diǎn)撥】（1）從三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€段，頂點(diǎn)到垂足間的垂線段就是等腰三角形底邊上的高。據(jù)此作高即可。
（2）根據(jù)等腰三角形的底角相等，三角形的內(nèi)角和是180°，用三角形的內(nèi)角和減去37度的2倍，就是頂角的度數(shù)。
【規(guī)范解答】解：（1）

（2）180°﹣37°×2
＝180°﹣74°
＝106°
答：這個(gè)三角形的頂角是106°。
故答案為：106°。
【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握三角形高的意義以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵。
【隨堂演練03】（2022春?湛江期中）求各角的度數(shù)。

【思路點(diǎn)撥】（1）因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，用180°分別減去40°和65°即可解答。
（2）△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C，所以用180°減去116°，求出相等兩個(gè)銳角的度數(shù)和，再除以2即可解答。
【規(guī)范解答】解：（1）180°﹣40°﹣65°
＝140°﹣65°
＝75°
答：∠C＝75°。
（2）（180°116°）÷2
＝64°÷2
＝32°
答：∠B＝32°。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形的內(nèi)角和是180°和等腰三角形的兩個(gè)底角相等。
【隨堂演練04】（2022春?孟津縣期末）有一塊等腰三角形的菜地，其中一個(gè)角是90°。另外兩個(gè)角分別是多少度？
【思路點(diǎn)撥】因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和是180°，等腰三角形的一個(gè)角是90°，所以90°是頂角，用三角形的內(nèi)角和減去90°，再除以2即可求解。
【規(guī)范解答】解：（180°﹣90°）÷2
＝90°÷2
＝45°
答：另外兩個(gè)角分別是45度，45度。
【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
考點(diǎn)3：等腰三角形與等邊三角形
【典例分析05】（2022春?陽(yáng)春市期末）一個(gè)等腰三角形的一條邊是4cm，另一條邊是9cm，則第三條邊是（　　）
A．4cm B．9cm C．4cm或9cm D．6cm或12cm
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的兩腰相等和三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，解答此題即可。
【規(guī)范解答】解：因?yàn)?+4＜9，不符合三角形的三邊關(guān)系，所以4cm長(zhǎng)的邊只能是底，所以第三條邊是9cm。
故選：B。
【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的特征，是解答此題的關(guān)鍵。
【典例分析06】（2022秋?宜陽(yáng)縣期末）如圖是一個(gè)等腰三角形，它是用一根1米長(zhǎng)的鐵絲圍成的．x＝　31　厘米．


【思路點(diǎn)撥】先將1米換算成100厘米，再據(jù)三角形的周長(zhǎng)的意義，即可列方程求解．
【規(guī)范解答】解：1米＝100厘米，
這個(gè)等腰三角形的腰為x厘米，
則2x+38＝100，
2x＝62，
x＝31；
答：這個(gè)等腰三角形的腰為31厘米．
故答案為：31．
【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查等腰三角形的特點(diǎn)以及三角形的周長(zhǎng)的意義．
【隨堂演練05】（2022春?青島期末）看圖填一填。

樹高 　8.3　米。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示可知，這是一個(gè)等腰直角三角形，結(jié)合等腰直角三角形的特征可知，兩條腰長(zhǎng)度相等，據(jù)此解答即可。
【規(guī)范解答】解：這是一個(gè)等腰直角三角形，結(jié)合等腰直角三角形的特征可知，兩條腰長(zhǎng)度相等，所以樹高8.3米。
故答案為：8.3。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了等腰直角三角形的特征，結(jié)合圖示分析解答即可。
【隨堂演練06】（2022春?成武縣期末）用一根長(zhǎng)是24厘米的鐵絲，圍成一個(gè)底是1厘米的等腰三角形，這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是多少厘米？
【思路點(diǎn)撥】由題意可知，等腰三角形的周長(zhǎng)是24厘米，用周長(zhǎng)減去底邊的長(zhǎng)度再除以2就是等腰三角形的腰長(zhǎng)。
【規(guī)范解答】解：（24﹣1）÷2
＝23÷2
＝11.5（厘米）
答：這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是11.5厘米。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是等腰三角形的特征的應(yīng)用。
考點(diǎn)4：平行四邊形的特征及性質(zhì)
【典例分析07】（2022春?濱城區(qū)期末）課堂上，老師讓每人準(zhǔn)備兩根長(zhǎng)5厘米，兩根長(zhǎng)7厘米的小棒，然后拼成一個(gè)平行四邊形。妙妙說：“我們組拼成了形狀各異的平行四邊形?！倍《⊥饷蠲畹囊庖?。原因是（　　）
A．平行四邊形容易變形
B．平行四邊形的兩組對(duì)邊相等
C．平行四邊形的兩組對(duì)邊平行
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形不具有穩(wěn)定性，解答此題即可。
【規(guī)范解答】解：拼成了形狀各異的平行四邊形，是因?yàn)槠叫兴倪呅稳菀鬃冃巍?br /> 故選：A。
【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握四邊形的特性，是解答此題的關(guān)鍵。
【典例分析08】（2022秋?澠池縣期末）平行四邊形有　D　條高，三角形有　C　高。
A、2
B、2
C、3
D、無數(shù)
【思路點(diǎn)撥】平行四邊形的高只要從任意底上一點(diǎn)做對(duì)邊的垂直線段，都是平行四邊形的高，因此有無數(shù)條；三角形的高也是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑龃怪本€段即可，有3條。
【規(guī)范解答】解：平行四邊形有無數(shù)條高，三角形有3條高。
故答案為：D，C。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行四邊形及三角形高的定義。
【隨堂演練07】（2022春?滕州市期末）從數(shù)學(xué)的角度觀察方格中的兩個(gè)圖形，它們有哪些共同的特點(diǎn)？請(qǐng)至少寫出2條。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的特征；對(duì)邊平行且相等；梯形的特征：有一組對(duì)邊平行的四邊形，由此解答即可。
【規(guī)范解答】解：平行四邊形和梯形的共同點(diǎn)：1、它們都是四邊形；2、它們內(nèi)角和都是都是360度。
【考點(diǎn)評(píng)析】明確梯形和平行四邊形的特點(diǎn)，是解答此題的關(guān)鍵。
【隨堂演練08】（2022春?普寧市期末）（1）圖1是平行四邊形的兩條邊，請(qǐng)將這個(gè)平行四邊形補(bǔ)充完整。
（2）在點(diǎn)子圖畫一個(gè)直角梯形，并用一條線段把這個(gè)梯形分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形。

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，畫出平行四邊形即可；
（2）先畫出直角梯形，再用一條線段把這個(gè)梯形分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形即可。
【規(guī)范解答】解：

【考點(diǎn)評(píng)析】熟練掌握平行四邊形、直角梯形、直角三角形、鈍角三角形的特征，是解答此題的關(guān)鍵。
考點(diǎn)5：作三角形的高
【典例分析09】（2022春?靈臺(tái)縣期末）直角三角形中有（　　）條高。
A．1 B．2 C．3
【思路點(diǎn)撥】直角三角形有三條高，兩條直角邊分別是它的兩條高，過直角頂點(diǎn)向斜邊也可做一條高，共三條高。
【規(guī)范解答】解：由分析知：一個(gè)直角三角形有3條高。
故選：C。
【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查三角形的高，任意三角形都有三條高。
【典例分析10】（2021春?恩平市期末）畫出三角形指定底邊上的高。

【思路點(diǎn)撥】過三角形指定底的對(duì)角頂點(diǎn)向指定底（或指定底所在的直線）作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的線段，就是三角形指定底上的高。用三角板即可畫出三角形的高。
【規(guī)范解答】解：作圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】本題是考查作三角形的高。注意作高通常用虛線，并標(biāo)出垂足。
【隨堂演練09】（2022春?安新縣期末）畫出下面三角形指定底上的高。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形高的意義，在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高，再根據(jù)過直線外一點(diǎn)畫已知條直線的垂線的方法，由此作圖即可。注意作高要畫垂直的虛線，標(biāo)出直角符號(hào)。
【規(guī)范解答】解：作圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查三角形高的意義和高的畫法，根據(jù)過直線外一點(diǎn)畫已知條直線的垂線的方法，畫出已知底邊上的高即可。
【隨堂演練10】（2022春?城陽(yáng)區(qū)期末）按要求在下面的點(diǎn)子圖中畫一畫。（每小格代表1cm）

（1）畫一個(gè)直角三角形，并做出斜邊上的高。
（2）畫一個(gè)上底是3cm，下底是6厘米，高3厘米的梯形，并把它分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形的特征，畫一個(gè)直角三角形，并做出斜邊上的高即可；
（2）只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形，據(jù)此畫一個(gè)上底是3cm，下底是6厘米，高3厘米的梯形，然后把它分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形即可。
【規(guī)范解答】解：作圖如下：
（畫法不唯一）
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形、梯形和平行四邊形的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合題意分析解答即可。
考點(diǎn)6：作平行四邊形的高
【典例分析11】（2022春?豐縣期末）畫出下面各個(gè)圖形底邊上的高。

【思路點(diǎn)撥】經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)（與底相對(duì)的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的一條高，用三角板的直角可以畫出三角形的高；
在平行四邊形中，從一條邊上的任意一點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，這點(diǎn)與垂足間的距離叫做以這條邊為底的平行四邊形的高，平行四邊形有無數(shù)條高，習(xí)慣上作平行四邊形的高時(shí)都從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作一邊的垂線，用三角板的直角可以畫出平行四形的高；
梯形兩底間的距離叫做梯形的高，梯形也有無數(shù)條高，通常過上底的一個(gè)頂點(diǎn)作下底的垂線用三角板的直角可以畫出梯形的一條高。
【規(guī)范解答】解：作圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】本題是考查作三角形、平行四邊形、梯形的高，注意作高用虛線，并標(biāo)出垂足。
【典例分析12】（2022春?邳州市期末）畫出下面圖形底邊上的高。

【思路點(diǎn)撥】經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)（與底相對(duì)的點(diǎn)）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的一條高，用三角板的直角可以畫出三角形的高；梯形兩底間的距離叫做梯形的高，梯形也有無數(shù)條高，通常過上底的一個(gè)頂點(diǎn)作下底的垂線用三角板的直角可以畫出梯形的一條高。
【規(guī)范解答】解：
【考點(diǎn)評(píng)析】本題是考查作三角形、梯形的高，注意作高用虛線，并標(biāo)出垂足。
【隨堂演練11】（2022春?侯馬市期末）按要求畫圖。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形的高的意義，從任一頂點(diǎn)作它對(duì)邊的垂線段，這條垂線就叫高，據(jù)此畫出平行四邊形的高。
根據(jù)鈍角三角形要有一個(gè)角是鈍角；平行四邊形有兩組對(duì)邊平行并且相等，直角梯形只有一組對(duì)邊平行，還有兩個(gè)直角，據(jù)此按照要求畫圖即可。
【規(guī)范解答】解：作圖如下：
（答案不唯一）。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了畫平行四邊形的高、鈍角三角形、平行四邊形和直角梯形的特征。
【隨堂演練12】（2022春?福鼎市期末）畫一畫，量一量。
（1）畫出下面平行四邊形指定底邊上的一條高，把它分一個(gè)三角形和一個(gè)梯形。
（2）這條底邊上的高長(zhǎng)是 　20　毫米。

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形的高的意義，從任一頂點(diǎn)作它對(duì)邊的垂線段，這條垂線就叫高，據(jù)此畫出即可；在底上任取一個(gè)點(diǎn)，連接與底邊上任意一個(gè)端點(diǎn)即可分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形。
（2）量出高的長(zhǎng)度即可。
【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)要求作圖如下：

（2）這條底邊上的高長(zhǎng)是20毫米。
故答案為：20。
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了平行四邊形高的畫法及圖形的劃分、長(zhǎng)度的測(cè)量，根據(jù)題意解答即可。
考點(diǎn)7：梯形的特征及分類
【典例分析13】．（2022春?邵陽(yáng)縣期末）圖中梯形的高（　　）

A．小于5厘米 B．等于5厘米
C．等于7厘米 D．在5厘米和7厘米之間
【思路點(diǎn)撥】高是指梯形上下底的距離，在梯形的上底的任取一個(gè)端點(diǎn)作垂直于下底的線段，稱為作高，據(jù)此選擇即可。
【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖示可知，梯形最短的腰是5厘米，并且不是直角梯形，根據(jù)平行線之間垂線段最短，所以梯形的高小于5厘米。
故選：A。
【考點(diǎn)評(píng)析】解答本題關(guān)鍵是明確梯形高的意義，結(jié)合題意分析解答即可。
【典例分析14】（2022?南京模擬）平行四邊形的高有無數(shù)條，而梯形的高只有一條。 　×?。ㄅ袛鄬?duì)錯(cuò)）
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行四邊形高的含義和梯形高的含義，平行四邊形的高是指對(duì)邊之間的距離，那么兩組對(duì)邊之間可以畫無數(shù)條垂直線段，所以有無數(shù)條高；梯形雖然只有一組對(duì)邊平行，但是在這組對(duì)邊里，也可以畫無數(shù)條垂直線段，所以也有無數(shù)條高。
【規(guī)范解答】解：由分析可知，平行四邊形、梯形的高都有無數(shù)條，題目說法錯(cuò)誤。
故答案為：×。
【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了平行四邊形高的含義和梯形高的含義。
【隨堂演練13】（2022春?沈丘縣期中）畫一個(gè)高3厘米，上底與下底的和是8厘米的梯形。（圖中每格代表長(zhǎng)度是1厘米）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)梯形的性質(zhì)：上下底互相平行，于是即可畫出高3厘米，上底3厘米、下底5厘米的梯形.（畫法不唯一）
【規(guī)范解答】解：作圖如下：
（畫法不唯一）
【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了梯形的畫法，結(jié)合題意分析解答即可。
【隨堂演練14】（2022春?太子河區(qū)期末）在方格上按要求畫一畫。

（1）畫一個(gè)等腰三角形。
（2）畫一個(gè)直角梯形。
（3）畫一個(gè)平行四邊形，并在其中畫一條線段，把它分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形。
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的特點(diǎn)：兩條腰相等，兩底角相等；由此畫等腰三角；
（2）只有一組對(duì)邊平行，且有一個(gè)叫是直角的梯形是直角梯形；
（3）從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞲呒纯砂哑叫兴倪呅畏殖梢粋€(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形．
【規(guī)范解答】解：（此題畫法不唯一）
【考點(diǎn)評(píng)析】靈活掌握等腰三角形、直角梯形、平行四邊形的含義，是解答此題的關(guān)鍵。
考點(diǎn)8：作梯形的高
【典例分析15】（2022春?濱城區(qū)期末）畫出三角形、平行四邊形指定底邊上的高，再畫出梯形的高。

【思路點(diǎn)撥】過三角形底邊所對(duì)的頂點(diǎn)作底的垂線段，這點(diǎn)與垂足間的距離叫做以這條邊為底的三角形的高。在平行四邊形中，從一條邊上的任意一點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，這點(diǎn)與垂足間的距離叫做以這條邊為底的平行四邊形的高。習(xí)慣上作平行四邊形的高時(shí)都從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作一邊的垂線；同樣在梯形中，從一底的任一點(diǎn)作另一底的垂線，這點(diǎn)與垂足間的距離叫做梯形的高。習(xí)慣上作梯形的高時(shí)都從上底（較短的底）一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作下底的垂線。
【規(guī)范解答】解：

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要是考查作平行四邊形和梯形的高，高一般用虛線來表示，要標(biāo)出垂足。
【典例分析16】．（2022春?壽光市期末）

（1）先畫出圖中梯形的一條高。
（2）再在梯形旁邊補(bǔ)畫一個(gè)三角形，與圖中梯形恰好拼成一個(gè)平行四邊形。
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)梯形高的意義，從梯形一底的任一點(diǎn)作另一底的垂線，這點(diǎn)與垂足間的距離叫做梯形的高，據(jù)此畫出梯形的高。
（2）根據(jù)梯形、平行四邊形的特征，梯形只有一組對(duì)邊平行，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，由題意可知，畫一個(gè)三角形的底等于梯形的上下底之差，三角形的高等于梯形的高。據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】解：根據(jù)要求，作圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查的目的是理解掌握梯形、平行四邊形的特征，梯形高的畫法及應(yīng)用。
【隨堂演練15】（2020秋?莫旗期末）在如圖所示的方格里畫一個(gè)平行四邊形和一個(gè)梯形，并分別畫出它們的高．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，從平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，這點(diǎn)到垂足之間的線段是平行四邊形的高，
（2）只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形，從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，這點(diǎn)到垂足之間的線段是梯形的高．據(jù)此畫圖解答．
【規(guī)范解答】解：畫圖如下：

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了學(xué)生根據(jù)平行四邊形和梯形的定義在方格圖上畫圖的能力．
【隨堂演練16】（2017春?惠州期末）（1）在空白處把梯形畫完整（大小自定），并作出梯形的高．
（2）畫一條線段，把這個(gè)梯形分成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形．
（3）在圖中找出一個(gè)鈍角，量出度數(shù)并標(biāo)明．

【思路點(diǎn)撥】（1）只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形，只要過其中的一個(gè)點(diǎn)作一條平行線即可，
（2）因平行四邊形的兩組對(duì)邊都平行，所以要過梯形的頂點(diǎn)，作腰的平行線即可，
（3）用量角器量出鈍角的度數(shù)即可．
【規(guī)范解答】解：答案如圖，

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了學(xué)生梯形、平行四邊形的定義，及平行線的作法

基礎(chǔ)練
一、選擇題
1．（2022四下·朝陽(yáng)期末）一個(gè)三角形被遮住了兩個(gè)角（如圖），被遮住的三角形一定是（　?。?。

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】C
【規(guī)范解答】解：被遮住的三角形一定是鈍角三角形。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】露出來的角是鈍角，剩下的兩個(gè)角一定是銳角，則這個(gè)三角形是鈍角三角形。
2．（2022四下·杭州期末）如圖所示，三角形的周長(zhǎng)可能是（　?。├迕住?br />
A．16 B．21 C．28 D．36
【答案】B
【規(guī)范解答】解：目測(cè)第三邊的長(zhǎng)度大約是7厘米，
7+6+8=21（厘米），
三角形的周長(zhǎng)可能是21厘米。
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】三角形三邊的長(zhǎng)度之和，就是三角形的周長(zhǎng)。
3．（2022四下·龍華期末）下面四個(gè)三角形都是（　?。?。

A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【規(guī)范解答】解：觀察這個(gè)圖形，四個(gè)三角形都是等腰三角形。
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】這四個(gè)三角形都是有兩條邊相等，所以它們都是等腰三角形。
二、判斷題
4．（2022四下·澗西期末）中國(guó)籃球運(yùn)動(dòng)員姚明腿長(zhǎng)1.3米，他一步能走3米。（ ）
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：1.3+1.3＜3，他一步不能走3米。原題說法錯(cuò)誤。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路點(diǎn)撥】三角形的兩邊之和大于第三邊。所以，他一步走的不可能大于2.6米 。
5．（2022四下·云夢(mèng)期末）斜拉橋用很多鋼管組成三角形，主要是為了增加橋的穩(wěn)定性。（　?。?br /> 【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：斜拉橋用很多鋼管組成三角形，主要是為了增加橋的穩(wěn)定性，原題干說法正確。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】三角形具有穩(wěn)定性，不容易變形。
6．（2022四下·李滄期末）有兩個(gè)內(nèi)角都是60°的三角形一定是等邊三角形。（　?。?br /> 【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：180°-60°×2
=180°-120°
=60°，這個(gè)三角形一定是等邊三角形。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】三角形另外一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)=三角形的內(nèi)角和-其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；三個(gè)內(nèi)角都是60°的三角形是等邊三角形。
三、填空題
7．（2022四下·朝陽(yáng)期末）一個(gè)等腰三角形，頂角是120°，它的一個(gè)底角是　 　°。
【答案】30
【規(guī)范解答】解：（180°-120°）÷2
=60°÷2
=30°。
故答案為：30。
【思路點(diǎn)撥】等腰三角形的底角=（三角形的內(nèi)角和-頂角的度數(shù)）÷2。
8．（2022四下·花都期末）把一重物固定在墻壁上時(shí)，習(xí)慣用一個(gè)三腳架支撐，這是應(yīng)用了三角形的　 　。
【答案】穩(wěn)定性
【規(guī)范解答】解：這是應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性。
故答案為：穩(wěn)定性。
【思路點(diǎn)撥】三角形穩(wěn)定性在生活中的運(yùn)用有自行車架、籃球架、 斜拉索橋、小別墅的屋頂?shù)取?br /> 9．（2022四下·銅山期末）如圖，一塊三角形紙片被撕去了一個(gè)角。這個(gè)角是　 　°，原來這塊紙片的形狀是　 　三角形。

【答案】67；銳角
【規(guī)范解答】解：180°-67°-46°
=113°-46°
=67°，原來這塊紙片的形狀是銳角三角形。
故答案為：67；銳角。
【思路點(diǎn)撥】被撕去角的度數(shù)=三角形的內(nèi)角和-其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形。
10．（2022四下·府谷期末）在甲三角形中，最大的角是70°，這是一個(gè)　 　角三角形。乙三角形的一個(gè)角是100°，這是一個(gè)　 　角三角形。
【答案】銳；鈍
【規(guī)范解答】解：甲三角形最大的角是70°，這是一個(gè)銳角三角形；
乙三角形的一個(gè)角是100°，這是一個(gè)鈍角三角形。
故答案為：銳；鈍。
【思路點(diǎn)撥】三角形甲中最大的角是70°，是銳角，說明其余兩個(gè)角也是銳角，則這個(gè)三角形是銳角三角形；乙三角形的一個(gè)角是100°，100°是鈍角，則這是一個(gè)鈍角三角形。
四、作圖題
11．（2022四下·金東期末）按要求在點(diǎn)子圖上畫圖。

【答案】
【思路點(diǎn)撥】直角三角形有一個(gè)角是直角；平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等；梯形只有一組對(duì)邊平行。根據(jù)這些圖形的特征畫圖即可。
五、解答題
12．分一分，填一填。

【答案】
【規(guī)范解答】解：如圖所示：

【思路點(diǎn)撥】三角形按角分，分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分，分為：等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形。
13．找一找，填一填。（填序號(hào)）


【答案】解：直角三角形：③⑧，銳角三角形：①⑤⑦
鈍角三角形：②④⑥，等腰三角形：①③⑦，等邊三角形：⑦
【規(guī)范解答】解：如圖所示：

【思路點(diǎn)撥】三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；兩腰相等的三角形是等腰三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
14．對(duì)照相要求比較高的時(shí)候，攝影師一般用一個(gè)三腳支架，為什么不用兩腳的或者四腳的呢？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋這一現(xiàn)象嗎？生活中還有哪些類似的應(yīng)用呢？

【答案】解：三角形具有穩(wěn)定性。例如：三角形屋架、三角形框架、起重機(jī)、三角形吊臂等。
【思路點(diǎn)撥】三角形具有穩(wěn)定性的特征，也就是三角形不容易變形。為了穩(wěn)定，好多設(shè)計(jì)都是利用了三角形的穩(wěn)定性。
15．（2020四下·隴西期末）求出每個(gè)三角形中未知的角度。
（1）
∠C=　 　
（2）
∠C=　 　
（3）
∠B=　 　
【答案】（1）137°
（2）54°
（3）100°
【規(guī)范解答】解：（1）∠C=180°-25°-18°
=155°-18°
=137°；
（2）∠C=180°-90°-36°
=90°-36°
=54°；
（3）∠B=180°-40°-40°
=180°-（40°+40°）
=180°-80°
=100°。
故答案為：（1）137°；（2）54°；（3）100°。
【思路點(diǎn)撥】三角形的內(nèi)角和等于180°，本題中所求的角=180°-已知的兩個(gè)角，代入數(shù)值計(jì)算即可。
提高練
一、選擇題
1．（2022四下·渝中期末）小李按某種標(biāo)準(zhǔn)將三角形分類后畫在格子圖上（如圖所示）。圖中三角形的共同點(diǎn)是（　?。?。

A．三條邊一樣長(zhǎng) B．兩條邊一樣長(zhǎng)
C．一個(gè)角是直角 D．一個(gè)角是鈍角
【答案】B
【規(guī)范解答】解：三角形的共同點(diǎn)是兩條邊一樣長(zhǎng)。
故答案為：B。
【思路點(diǎn)撥】這幾個(gè)三角形都是等腰三角形，其中兩條邊一樣長(zhǎng)。
2．（2022四下·南鄭期末）三角形中，兩條邊長(zhǎng)分別是1.6厘米和1.2厘米，第三條邊長(zhǎng)可能是（　?。?。
A．5厘米 B．2.8厘米 C．2厘米
【答案】C
【規(guī)范解答】解：1.6-1.2=0.4（厘米），1.6+1.2=2.8（厘米），所以第三邊的長(zhǎng)度可能是2厘米。
故答案為：C。
【思路點(diǎn)撥】三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。所以三角形第三條邊的長(zhǎng)度一定大于這兩條邊的長(zhǎng)度差，小于這兩條邊的長(zhǎng)度和。
3．（2022四下·渝中期末）如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠6=74°，那么∠5=（　?。?br />
A．74° B．106° C．117° D．127°
【答案】D
【規(guī)范解答】解：（180°-74°）÷2
=106°÷2
=53°
180°-53°=127°。
故答案為：D。
【思路點(diǎn)撥】∠5=180°-（∠2＋∠4） ；其中，∠2＋∠4=（三角形的內(nèi)角和-∠6）÷2。
二、判斷題
4．（2022四下·沙坪壩期末）一個(gè)三角形它最大的角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角三角形。（　?。?br /> 【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：一個(gè)三角形它最大的角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角三角形。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】銳角三角形中最大的角是銳角；直角三角形中最大的角是直角；鈍角三角形中最大的角是鈍角。
5．（2022四下·番禺期末）三角形至少有2個(gè)銳角，最多只有1個(gè)直角。（ ）
【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：三角形至少有2個(gè)銳角，最多只有1個(gè)直角，原題干說法正確。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)三角形中最多有1個(gè)直角、1個(gè)鈍角、3個(gè)銳角，至少有2個(gè)銳角。
6．（2022四下·龍陵期末）銳角三角形的兩個(gè)銳角的和大于90°。（　?。?br /> 【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：銳角三形的三個(gè)角都是銳角，所以任意兩個(gè)角的和都大于90°。
故答案為：正確。
【思路點(diǎn)撥】銳角三形的三個(gè)角都是銳角，如果兩個(gè)角的和等于或小于90°，則另一個(gè)角就等于或大于90°，這個(gè)三角形就不是銳角三角形了。
三、填空題
7．（2022四下·沙坪壩期末）下圖種一共有　 　梯形，　 　個(gè)平行四邊。

【答案】3；3
【規(guī)范解答】解：圖中一共有3個(gè)梯形，3個(gè)平行四邊形。
故答案為：3；3。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)梯形和平行四邊形的特征作答即可。
8．（2022四下·沙坪壩期末）如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角是90°，那么它的一個(gè)底角是　 ??；這個(gè)三角形按角分是　 　三角形。
【答案】45°；直角
【規(guī)范解答】解：90°÷2=45°，所以它的一個(gè)底角是45°；這個(gè)三角形按角分是直角三角形。
故答案為：45°；直角。
【思路點(diǎn)撥】等腰三角形的一個(gè)角是90°，那么這個(gè)三角形是等腰直角三角形，而且兩個(gè)底角相等，它們的和是90°。
9．（2022四下·龍華期末）李老師家有4根木料，長(zhǎng)度分別為12米、10米、8米、4米。任選其中三根木料，將它們首尾相接，搭成三角形框架，有　 　種不同的搭法。
【答案】3
【規(guī)范解答】解：能搭成的三角形有：12米、10米、8米；12米、10米、4米；10米、8米、4米；共3種不同的搭法。
故答案為：3。
【思路點(diǎn)撥】三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。因此三角形兩條較短邊的長(zhǎng)度一定大于較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度。根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系確定不同的搭法即可。
四、作圖題
10．（2022四下·微山期末）畫一個(gè)以AB為底的等腰三角形，并畫出它的高。

【答案】
【思路點(diǎn)撥】有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；三角形高的畫法：由三角形底邊的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)處，向底邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的高。
11．（2022四下·東陽(yáng)期末）按要求把下面的圖補(bǔ)充完整。

【答案】解：
【思路點(diǎn)撥】?jī)山M對(duì)邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩腰相等的三角形是等腰三角形；據(jù)此畫出圖形。
12．李阿姨買了一張方桌，她找到如圖所示的兩塊同樣大小的正方形花布，但都比桌面小了一些。李阿姨想了想，在兩塊花布上各剪了幾刀，然后拼成了一塊稍大于桌面的正方形桌布。你知道李阿姨是怎樣剪拼的嗎？請(qǐng)畫出示意圖。

【答案】
【思路點(diǎn)撥】先把兩塊正方形桌布沿對(duì)角線剪開，然后把4塊小三角形桌布的直角邊對(duì)齊，拼成一個(gè)大正方形桌布即可。
五、解答題
13．（2022四下·沙坪壩期末）畫一畫，說一說。
（1）一個(gè)梯形沿對(duì)角畫一條線可以將這個(gè)梯形分成兩個(gè)等腰直角三角形。請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嫵鲞@個(gè)梯形？

（2）請(qǐng)用語(yǔ)言簡(jiǎn)要描述出這個(gè)梯形的特征。
【答案】（1）
（2）這是一個(gè)直角梯形，梯形的上底等于梯形的高，梯形的下底是上底的2倍。
【思路點(diǎn)撥】題中可以把梯形分成兩個(gè)等腰直角三角形，那么這個(gè)圖形是直角梯形，而且梯形的上底等于梯形的高，梯形的下底是上底的2倍。
14．（2022四下·花都期末）樂樂有一根30cm長(zhǎng)的木條，要把木條截成三段拼成一個(gè)三角形，并且每段的長(zhǎng)度為整厘米數(shù)，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一下，如何才可以拼成三角形？（請(qǐng)你列舉三個(gè)例子）
【答案】解：①可以截成10厘米、10厘米、10厘米的三段；
②可以截成9厘米、10厘米、11厘米的三段；
③可以截成8厘米、10厘米、12厘米的三段。
【思路點(diǎn)撥】判斷能不能圍成三角形的方法：三角形兩條短邊之和必須大于第三邊。
15．（2022四下·泉山期末）
（1）從數(shù)學(xué)的角度描述圖形1的兩個(gè)特征。
（2）從數(shù)學(xué)的角度描述圖形1與圖形2的一個(gè)相同特征和兩個(gè)不同特征。
【答案】（1）解：圖1時(shí)等腰三角形，也是銳角三角形。
（2）答：相同特征：都是軸對(duì)稱圖形；
不同特征：三角形內(nèi)角和是180度，梯形內(nèi)角和是360度；三角形由3條邊組成，梯形由4條邊組成。
【思路點(diǎn)撥】如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸；三邊形的內(nèi)角和都是180度，四邊形的內(nèi)角和都是360度。

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