2022-2023學(xué)年北師大版五年級下冊同步重難點講義精講精練第四單元 長方體（二）  知識點一：體積與容積1.物體所占空間的大小，是物體的體積。2.容器所能容納物體的體積，是容器的容積。3.體積和容積的區(qū)別：（1）意義不同：體積是指物體所占空間的大小，容積是指容器所能容納物體的體積。（2）測量方法不同：體積是從物體的外部測量，容積是從物體的內(nèi)部測量。（3）大小不同：同一個容器，因為容器壁有一定的厚度，體積大于容積；當容器壁很薄時，體積近似等于容積；當容器壁忽略不計時，體積等于容積。知識點二：體積單位1. 常見的體積單位有立方厘米、立方分米、立方米，分別記作立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。體積約是1cm3的有學(xué)生的大拇指指尖、一粒蠶豆、計算機鍵盤的方形按鍵、骰子……體積約是1dm3的有罐頭盒、魔方…體積約是1m3的有洗衣機、冰箱……2. 常見的容積單位有升（L）和毫升（mL）。3.棱長為1dm的正方體的容積是1L；棱長為1cm的正方體的容積是1mL。知識點三：長方體的體積1. 長方體的體積=長×寬×高，用字母表示為V=abh2. 正方體的體積=棱長×棱長×棱長，用字母表示為V=a33. 長方體（正方體）的體積=底面積×高，用字母表示為V=Sh4. 已知長方體的體積、底面積、高三個量中的任意兩個量，可以求出第三個量。知識點四：體積單位的換算1.相鄰兩個體積單位之間的進率是1000。1m3=1000dm3     1dm3=1000cm32. 在解決體積、容積的實際問題時，要注意單位的統(tǒng)一。知識點五：測量問題1.在測量不規(guī)則物體的體積時，一般把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為可測量的水的體積。水面升高部分的水的體積（或水滿時溢出的水的體積）就是不規(guī)則物體的體積。2. 向盛有水的長方體或正方體容器里面放入物體，且物體完全浸入水中，若有水溢出，則放入的物體和原來水的體積之和減去容器的容積就等于溢出水的體積。考點1：體積、容積及其單位【典例分析01】（2022秋?錫山區(qū)期末）一個冷水壺裝滿橙汁，把它倒入甲杯，能正好倒?jié)M4杯；如果倒入乙杯，能正好倒?jié)M5杯．比較兩個杯子的容量，（　　）A．甲杯大 B．乙杯大 C．一樣大 D．無法確定【思路點撥】根據(jù)倒入甲杯和乙杯的杯數(shù)，結(jié)合水的總量不變可得：甲杯的容量×4＝乙杯的容量×5，即可得到結(jié)論。【規(guī)范解答】解：分析可知，甲杯的容量×4＝乙杯的容量×5所以甲杯的容量大。故選：A。【考點評析】知道水的總量不變，是解答此題的關(guān)鍵。【典例分析02】（2023?海淀區(qū)模擬）如圖容器中裝有400毫升的水，估計一下這個容器的容量大約是（　　） A．400ml B．600ml C．800ml【思路點撥】已知400毫升占這個容器容量的，也就是這個容器容量的等于400毫升，根據(jù)除法的意義，列式解答即可．【規(guī)范解答】解：400÷＝400×＝600（毫升）答：這個容器的容量大約600毫升．故選：B．【考點評析】解答此題，只要確定標準量，然后根據(jù)分數(shù)除法的意義列式解答即可．【變式訓(xùn)練01】（2022春?城陽區(qū)期末）本學(xué)期我們用（　?。┑姆椒▽W(xué)習(xí)了體積單位。A．轉(zhuǎn)化 B．數(shù)形結(jié)合 C．類推【變式訓(xùn)練02】（2022秋?上思縣期中）一個油箱能裝60升油，是指這個油箱的（　?。┦?0升。A．表面積 B．體積 C．容積考點2：體積、容積進率及單位換算【典例分析03】（2022?汶上縣）0.07升＝　0.07　立方分米＝　70　毫升45分＝　0.75　時7噸860千克＝　7.86　噸5.6公頃＝　56000　平方米【思路點撥】名數(shù)的換算：把高級單位的名數(shù)換算成低級單位的名數(shù)，就乘單位間的進率；把低級單位的名數(shù)換算成高級單位的名數(shù)，就除以單位間的進率。據(jù)此即可解答。【規(guī)范解答】解：0.07×1＝0.07（立方分米）0.07×1000＝70（毫升）45÷60＝0.75（時）860÷1000＝0.86（噸）7+0.86＝7.86（噸）5.6×10000＝56000（平方米）0.07升＝0.07立方分米＝70毫升45分＝0.75時7噸860千克＝7.86噸5.6公頃＝56000平方米故答案為：0.07，70；0.75；7.86；56000。【考點評析】此題主要考查單位間的換算。【典例分析04】（2022春?甘井子區(qū)期末）14L＝　14000　mL35分＝　　時2800dm3＝　2　m3　800　dm3【思路點撥】1升＝1000毫升，1時＝60分，1立方米＝1000立方分米，據(jù)此單位之間的換算的方法，大單位換算成小單位要乘它們之間的進率；小單位換算成大單位要除以它們之間的進率，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：14L＝14000mL35分＝時2800dm3＝2m3800dm3故答案為：14000，，2，800。【考點評析】此題考查名數(shù)的換算，把高級單位的名數(shù)換算成低級單位的名數(shù)，就乘單位間的進率；把低級單位的名數(shù)換算成高級單位的名數(shù)，就除以單位間的進率。【變式訓(xùn)練03】（2022?陽城縣）在橫線上填上“＞”“＜”或“＝”。時 　 　75分3噸40千克 　 3.4噸5200立方厘米 　 　5.2升4.5公頃 　 　450平方米【變式訓(xùn)練04】（2022春?成華區(qū)期末）5.6立方分米＝　       　升35dm3＝　         　m3考點3：長方體和正方體的體積【典例分析05】（2022秋?宜陽縣期末）在一個長是6dm，寬是3dm，高是2dm的長方體中割一個最大的正方體，這個正方體的體積是（　　）A．216dm3 B．27dm3 C．8dm3【思路點撥】根據(jù)題意可知：在這個長方體中割一個最大的正方體，這個正方體的棱長等于長方體的高，根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：2×2×2＝4×2＝8（立方分米）答：這個正方體的體積是8立方分米。故選：C。【考點評析】此題主要考查正方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。【典例分析06】．（2022秋?太原期末）小桐用1立方厘米的小正方體擺滿這個長方體框架，一共需要 　24　個這樣的正方體才能擺滿.擺成的長方體的體積是 　24　立方厘米。【思路點撥】通過觀察圖形可知，沿長方體的長擺了4個，沿長方體的寬擺3個，沿長方體高擺了2層，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。【規(guī)范解答】解：4×3×2＝12×2＝24（個）1×24＝24（立方厘米）答：一共需要24個這樣的正方體才能擺滿，擺成的長方體的體積是24立方厘米。故答案為：24，24。【考點評析】此題考查的目的是理解掌握長方體體積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。【變式訓(xùn)練05】（2022秋?漣水縣期末）一個長方體蓄水池長10米、寬4米、深2米。這個蓄水池的占地面積是 　   平方米，最多能蓄水 　     　立方米。【變式訓(xùn)練06】（2022秋?萊山區(qū)期末）毛叔叔用五塊玻璃制作了一個長方體魚缸，五塊玻璃的大小如圖所示，這個魚缸的容積是多少升？（玻璃厚度忽略不計）（單位：厘米）    考點4：探索某些實物體積的測量方法【典例分析07】（2021秋?相城區(qū)期末）將圖中的礦泉水瓶完全浸沒在長方體容器中，容器中上升的水的體積可能是（　?。┖辽?/span>A．500 B．480 C．540 D．400【思路點撥】由題目和圖可知，礦泉水瓶中的水的體積為500毫升，因為礦泉水瓶中水并未裝滿，則當?shù)V泉水完全浸沒在長方體容器時，上升的水的體積一定大于500毫升。【規(guī)范解答】解：由分析可知，礦泉水瓶中的水的體積為500毫升，因為礦泉水瓶中水并未裝滿，則當?shù)V泉水完全浸沒在長方體容器時，上升的水的體積一定大于500毫升。故選：C。【考點評析】此題主要考查某些實物體積的測量方法。解答本題要注意到礦泉水瓶中水并未裝滿。【典例分析08】（2022春?羅山縣期末）一個長40厘米，寬20厘米，高20厘米的長方體魚缸中水深15厘米，放入幾條金魚后，水面上升了3厘米，這幾條金魚的體積是 　2400立方厘米　。【思路點撥】這幾條金魚的體積等于上升的水的體積，用底面積乘上升的厘米數(shù)即可。【規(guī)范解答】解：40×20×3＝800×3＝2400（立方厘米）答：這幾條金魚的體積是2400立方厘米。故答案為：2400立方厘米。【考點評析】此題主要考查某些實物體積的測量方法。【變式訓(xùn)練07】（2022秋?寧鄉(xiāng)市期末）一個棱長15dm的正方體水槽中裝有水，水深8dm?，F(xiàn)將一塊長12dm，寬10dm的長方體石塊浸沒在水中，水面上升了4dm，石塊的高是多少分米？  【變式訓(xùn)練08】（2022春?云和縣期中）一個盛水的圓柱形容器，底面直徑為20cm，水深40cm，放入一塊石頭完全浸沒（水未溢出），水面升到45cm。這塊石頭的體積是多少？   基礎(chǔ)練一．選擇題（共4小題）1．一個正方體容器里面盛滿水，往該容器里放入兩根體積相同的香蕉，容器里溢出了268cm3的水，一根香蕉的體積是（　?。?/span>A．268cm3 B．134cm3 C．536cm32．（2022春?關(guān)嶺縣期末）一個玻璃杯最多能裝300mL水，它的（　?。┦?00mLA．容積 B．體積 C．表面積 D．占地面積3．（2022春?臨高縣期末）一個從里面量長6dm，寬5dm，高4dm的油箱和一個容積是100L的油桶，裝油多的是（　?。?/span>A．油箱 B．油桶 C．一樣多4．（2022春?龍川縣期末）工人正在為民二小學(xué)修建一個長方體游泳池，游泳池的長、寬、深分別為50m，12m，1.3m，工人挖出的土和石頭至少有（　?。?/span>m3。A．600 B．780 C．900二．填空題（共3小題）5．（2022秋?忠縣期末）一個長方體的棱長總和是80米，長、寬、高的比是5：4：1，這個長方體的體積是 　   　立方米。6．（2022秋?隆回縣期末）在橫線里填“＞”、“＜”或“＝”。 5升5毫升 　   　5050毫升180÷18 　   　180÷3÷6540÷3+9 　   　540÷（3+9）300﹣168﹣32 　   　300﹣（168+32）7．（2022秋?錫山區(qū)期末）圖中土豆的體積是 　   　立方厘米，也就是 　   　立方分米，如果把該土豆完全浸沒到一個底面積是0.4平方分米，高1分米的裝有適量水的長方體容器中，水面會上升 　   　分米。三．判斷題（共3小題）8．（2022秋?浮山縣期末）如果將一個長方體的長，寬，高分別減少1dm，那么它的體積就減少1dm3。 　   　（判斷對錯）9．（2022秋?汝陽縣期中）一瓶可樂的容量是2升，雪雪和爸爸、媽媽、哥哥每人喝450毫升就把這瓶可樂喝完了。 　   　（判斷對錯）10．（2022秋?上思縣期中）把3升水倒入500毫升的量杯，可以倒?jié)M6杯。 　   　（判斷對錯）四．計算題（共1小題）11．（2021?固始縣）求組合圖形的表面積和體積．（單位：dm）  五．應(yīng)用題（共4小題）12．（2022秋?浮山縣期末）一個長方體容器（如圖，單位厘米），長30厘米，寬20厘米，高10厘米，現(xiàn)在容器內(nèi)的水深6厘米。如果把這個容器裝滿水，還需要多少毫升的水？13．（2022秋?錫山區(qū)期末）一輛貨車，車廂從里面量長4米，寬2.5米，高1.5米．貨物堆放的高度是1.2米，已知每立方米貨物重1.6噸，那么這輛貨車裝的貨物重多少噸？   14．（2022春?城陽區(qū)期末）小東想測量一個石塊的體積，他把石塊放進一個棱長是3分米的正方體水缸內(nèi)。石塊完全沒入水中，水面升高到12厘米，水缸內(nèi)原有10升水。請你幫小東算一下，這個石塊的體積是多少立方分米？   15．（2022春?湛江期中）一個長方體容器，底面長4厘米、寬2厘米，高1.5厘米，放入一個土豆后水面提升了0.2厘米，求這個土豆的體積是多少？    提高練一．選擇題（共3小題）1．（2022春?清遠月考）一個車廂的體積是30m3，底面是一個6m2的長方形。這個車廂的高是（　?。┟?。A．180 B．36 C．24 D．52．（2022春?長壽區(qū)期末）一盒酸奶，外包裝是長方體形狀，包裝紙上標注“凈含量650ml“。實際量得外包裝長8cm，寬5cm，高15cm。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為標注的凈含量是（　?。?/span>A．無法確定真假 B．真實的 C．虛假的3．（2022春?汝城縣期末）如果一個正方體的棱長擴大到原來的3倍，那么它的體積擴大到原來的（　　）倍。A．6 B．27 C．9二．填空題（共3小題）4．（2022秋?南京期末）一個正方體玻璃容器，棱長是10分米。如果在這個玻璃容器內(nèi)倒入600升水，水面高度是 　   　分米。（玻璃厚度不計）5．（2022春?樂清市校級月考）把50L水倒入一個從里面量棱長為5dm的正方體玻璃缸中，水深 　   　dm。6．（2022春?虞城縣月考）一個長方體的長12cm，寬是長的，高是長的，這個長方體的體積是 　   　cm3，表面積是 　   　cm2。三．計算題（共1小題）7．（2022春?當陽市期末）計算下面長方體的表面積和正方體的體積。  四．應(yīng)用題（共8小題）8．（2022秋?寧鄉(xiāng)市期末）一個棱長15dm的正方體水槽中裝有水，水深8dm。現(xiàn)將一塊長12dm，寬10dm的長方體石塊浸沒在水中，水面上升了4dm，石塊的高是多少分米？  9．（2022秋?萊山區(qū)期末）毛叔叔用五塊玻璃制作了一個長方體魚缸，五塊玻璃的大小如圖所示，這個魚缸的容積是多少升？（玻璃厚度忽略不計）（單位：厘米）  10．（2022秋?漣水縣期末）一塊正方體石料，它的棱長是5dm，如果1dm3的石料重2.5kg，這塊石料重多少千克？   11．（2022春?梁平區(qū)期末）一個長方體牙膏盒的表面積是408cm2，它的底面積是24cm2，它的底面周長是20cm。這個長方體的體積是多少？   12．（2022?日照模擬）要修建一個長方體泳池，長25米，寬10米，高1.6米。要在這個泳池中注入的水，那么裝入的水有多少立方米？    13．（2022?坪山區(qū)）有大、小兩種玻璃球，放入盛有同樣多水的圓柱形容器中，用“排水法”測量玻璃球的體積。請仔細觀察、思考后解答。 （1）一個大玻璃球和一個小玻璃球的體積比是 　   　：　   　。（2）圖4水面的高度是 　   　厘米。（3）一個大玻璃球的體積是多少立方厘米？（請列式計算）14．（2021秋?閻良區(qū)期末）一個棱長20厘米的正方體玻璃缸，里面裝滿水，現(xiàn)在將水倒入一個長20厘米，寬16厘米，深30厘米的空長方體玻璃缸中，水面離缸口有多少厘米？     15．（2022春?盂縣期中）如圖是一個長方體容器的一部分數(shù)據(jù)，長、寬、高分別是2米、1.5米、8分米，發(fā)揮你的想象，回答下列問題：（1）想象長方體的上面，長是多少，寬是多少，并求出它的面積。（2）長方體左面的面積是多少平方米？（3）這個長方體容器里面水深是7.8分米，把一塊石頭放入容器中（完全浸沒），容器中的水溢出了15升，石頭的體積是多少立方分米？

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