5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.2　函數(shù)的極值與最大(小)值
極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．
想一想：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？提示：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)，因此可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0只是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0且該點(diǎn)附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)．
練一練：若函數(shù)y＝f(x)可導(dǎo)，則“f ′(x)＝0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的(　　)A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
一般地，求函數(shù)y＝f(x)的極值的步驟是：(1)求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)f ′(x)；(2)解方程 f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一個(gè))；(3)用方程 f ′(x)＝0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，可將x，f ′(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個(gè)表格中；
(4)由 f ′(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f(x)在f ′(x)＝0的各個(gè)根處的極值情況：①如果在x0附近的左側(cè) f ′(x)>0，右側(cè) f ′(x)0，所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值．
(1)(多選題)下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為f(x)的極小值，若f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)的極大值B．若f(x0)為f(x)的極大值，f(a)是函數(shù)的最大值，則f(x0)＝f(a)C．可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0，但導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn)D．極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在定義區(qū)間的內(nèi)部E．若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，則f(x)在(a，b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)
[規(guī)律方法]　有關(guān)給出圖象研究函數(shù)性質(zhì)的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象，若給的是 f(x)的圖象，應(yīng)先找出 f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn)，如果給的是 f′(x)的圖象，應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?(1)下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若f ′(x0)＝0，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極值B．若f(x0)是函數(shù)f(x)的極值，則f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)C．函數(shù)f(x)至多有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值D．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若方程f ′(0)＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，則f(x)無(wú)極值
(2)(2022·北京八中高二檢測(cè))如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖象，給出下列結(jié)論：①－2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；②1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；③f(x)在x＝0處切線的斜率小于零；④f(x)在區(qū)間(－2，2)上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______．(寫出所有正確命題的序號(hào))
[解析]　(1)若f ′(x0)＝0，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極值，不正確，反例y＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故A不正確；對(duì)于B，例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的極小值，但f(x)＝|x|在x＝0處不可導(dǎo)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)f(x)可有多個(gè)極大值和極小值，所以錯(cuò)誤．對(duì)于D，根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)判斷是否存在極值的條件，可得若方程f ′(x)＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，則定義在R上的函數(shù)f(x)無(wú)極值，所以正確．
(2)對(duì)于①，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f ′(x)0，f(x)單調(diào)遞增，－2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，當(dāng)x∈(－2，1)時(shí)，f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故1不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由題中圖象可知f ′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于零，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由題中圖象可知當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f ′(x)≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，④正確，故正確的序號(hào)是①④.
求函數(shù)y＝3x3－x＋1的極值．[分析]　首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求方程y′＝0的根，再檢查y′在方程根左、右兩側(cè)的值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么y在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么y在這個(gè)根處取得極小值．
[規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．(4)利用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)小開(kāi)區(qū)間的符號(hào)．(5)確定函數(shù)的極值，如果f′(x)的符號(hào)在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?求下列函數(shù)的極值．(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝x2e－x.[解析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
當(dāng)x變化時(shí)， f′(x), f(x)變化情況如下表：從表中可以看出，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有極大值16.當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極小值－16.
(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表：
(1)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___________．(2)函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上無(wú)極值點(diǎn)，則m的取值范圍是_____________．
[規(guī)律方法]　解決與極值相關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)極值條件列出不等式(組)．
(－∞，－3)∪(6，＋∞)　
已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，極小值為0，試確定a，b，c的值．[分析]　本題的關(guān)鍵是理解“f(x)在x＝±1處的極大值為4，極小值為0”的含義．即x＝±1是方程f′(x)＝0的兩個(gè)根且在根x＝±1處f′(x)取值左、右異號(hào)．[解析]　f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)當(dāng)a＞0時(shí)，x變化時(shí)，y、y′的變化情況如下表：
[規(guī)律方法]　已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．
忽視極值存在的條件致誤已知函數(shù)f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2處取得極值，且極值為0，求m＋4n的值．[誤區(qū)警示]　可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)．在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)．
當(dāng)m＝2，n＝9時(shí)，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，當(dāng)－6

相關(guān)課件

人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用教案配套課件ppt：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用教案配套課件ppt，共32頁(yè)。PPT課件主要包含了新知初探·課前預(yù)習(xí)，題型探究·課堂解透，f′x0，極大值，極小值，答案A，答案AB，答案C，答案B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用授課ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用授課ppt課件，共45頁(yè)。PPT課件主要包含了素養(yǎng)目標(biāo)?定方向，必備知識(shí)?探新知，f′x0，極大值，極小值，關(guān)鍵能力?攻重難，課堂檢測(cè)?固雙基，－19等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用評(píng)課ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用評(píng)課ppt課件，共26頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)課件 更多

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用集體備課ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用集體備課ppt課件
高中5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用教課內(nèi)容ppt課件

高中5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用教課內(nèi)容ppt課件
高中人教A版 (2019)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用圖文課件ppt

高中人教A版 (2019)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用圖文課件ppt
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課堂教學(xué)ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課堂教學(xué)ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部