2022-2023學年四川省綿陽南山中學高一下期3月月考數(shù)學試題 一、單選題1．關于向量，下列說法中，正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共線向量等相關概念進行判斷.【詳解】對于A，若，則，的模長相等，但方向不一定相同，故A錯誤；對于B，向量模長可以比較大小，但向量不能比較大小，故B錯誤；對于C，若，則向量，互為相反向量，則，則C正確；對于D，若，則向量，方向相同或相反，故D錯誤.故選：C.2．已知點在第二象限，則為（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】點在第二象限，根據(jù)坐標特征得的符號，即可得所在象限.【詳解】因為點在第二象限，所以，，即為第三象限角．故選：C3．下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出每個選項中的函數(shù)的周期，然后判斷出單調性可得答案.【詳解】對于A，的最小正周期是，不滿足題意，對于B，的最小正周期是，當時，為減函數(shù)，滿足題意，對于C，的最小正周期是，不滿足題意，對于D，的最小正周期是，在區(qū)間上為增函數(shù)，不滿足題意，故選：B4．蕩秋千是中華大地上很多民族共有的游藝競技項目.據(jù)現(xiàn)有文獻記載，它源自先秦.位于廣東清遠的天子山懸崖秋千建在高198米的懸崖邊上，該秋千的纜索長8米，蕩起來最大擺角為120°，則該秋千最大擺角所對的弧長為（    ）A．米 B．米 C．13.6米 D．198米【答案】A【分析】根據(jù)題意，求得秋千的最大擺角為，結合弧長公式，即可求解.【詳解】由題意，秋千的最大擺角為，且秋千的纜索長為米，即半徑，所以秋千最大擺角所對的弧長為米.故選：A.5．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則正數(shù)值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖像可得函數(shù)的周期，從而可求，再根據(jù)對稱軸可求，結合圖像過可求.【詳解】由圖像可得，故，而時，函數(shù)取最小值，故，故，而，故，因為圖像過，故，故，故選：B.6．函數(shù)且的圖象是下列圖象中的（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量，將函數(shù)變形為結合正弦函數(shù)的性質與圖象，根據(jù)選項即可求解.【詳解】依題意，由此判斷出正確的選項為C.故選：C.7．設函數(shù)，其中.若對任意的恒成立，則下列結論正確的是（    ）A．為函數(shù)的一個對稱中心 B．的圖像關于直線對稱C．在上為嚴格減函數(shù) D．函數(shù)的最小正周期為【答案】D【分析】由對任意的恒成立得函數(shù)在取得最大值，從而可以求解，得到函數(shù)的解析式，然后結合正弦函數(shù)的性質分析各選項即可判斷．【詳解】解：由對任意的恒成立得函數(shù)在取得最大值，所以，則，所以，整理得，對于，，則不是函數(shù)的對稱中心，故錯誤；對于，，則不是函數(shù)的對稱中軸，故錯誤；對于，令，，解得，，，顯然不包含區(qū)間，故錯誤；對于，，所以的最小正周期為，故正確．故選：D． 二、多選題8．設函數(shù)，其中，若對任意的，在上有且僅有4個零點，則下列的值中不滿足條件的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用換元思想轉化為在，上有4個零點，則需滿足，進而根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍即可．【詳解】解：設，則，所以在，上有4個零點，可知，所以，又，所以，即，滿足的只有，故選：．9．如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A?B?C?D?E?F?O中的任意一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量有（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)共線向量的概念和圖形中的平行關系可得答案.【詳解】與向量共線的向量有、、，故選：ABD10．下列大小關系中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調性及和0的大小關系來確定答案.【詳解】，又，；且.故選：BC.11．下列結論正確的是（    ）A．B．C．D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)同角函數(shù)的基本關系、和差公式、倍角公式逐一判斷即可.【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；若，則，故D正確；故選：CD12．已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，若對任意，都有，則下列的值中滿足條件的可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)已知，利用正弦函數(shù)圖象與性質、函數(shù)的周期性，結合函數(shù)圖象進行求解.【詳解】當時，，且定義在上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的大致圖象為：因為，，所以，，所以由有：，當時，由有：，所以若對任意，都有，則，故CD錯誤.故選：AB. 三、填空題13．已知，則__________.【答案】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，化簡得到，代入即可求解.【詳解】因為，可得，所以，由.故答案為：.14．若，則__________.【答案】/【分析】首先求出的值，然后根據(jù)二倍角的正弦公式可得答案.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：.15．在中，、、分別為角的對邊，且滿足，則角A的大小是______. 【答案】/【分析】根據(jù)題意結合三角恒等變換運算求解即可得答案.【詳解】由，即，故則，可得，解得，因為，所以.故答案為：.16．方程有__________個根.【答案】【分析】在同一直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖像，然后可得答案【詳解】與在同一直角坐標系中的圖像如下：所以方程有個根，故答案為： 四、解答題17．用“五點法”作函數(shù)位一個周期內的圖象時，列衣計算了部分數(shù)據(jù)：00200(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達式并寫出表內實數(shù)的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間內的單調増區(qū)間.【答案】(1).(2)，. 【分析】（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)先得出的值，根據(jù)周期即可得到的值，從而得到的值，進而函數(shù)的解析式可得到，從而求出a,b,c,d的值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質，整體代入確定函數(shù)單調區(qū)間即可.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，所以，由，可得，所以，所以，；（2）令，解得，因為，所以，令，則，令，則，所以在內的單調增區(qū)間是，.18．設函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱.(1)求的單調區(qū)間；(2)求不等式的解集.【答案】(1)單調遞增區(qū)間：，，無遞減區(qū)間(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)周期性，結合函數(shù)圖象過的點的坐標，代值計算即可求得參數(shù)，則解析式可求；利用整體法代換法，即可求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中所求解析式，利用正切函數(shù)的單調性，即可解得不等式.【詳解】（1）由題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝，即，因為ω>0，所以ω＝2，從而f(x)＝tan(2x＋φ)，因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點M對稱，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.因為0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，即所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z，無單調遞減區(qū)間．（2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，得Z，即Z所以不等式－1≤f(x)≤的解集為.19．已知.(1)若，求的值.(2)已知.求角的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡、計算.（2）利用三角函數(shù)的誘導公式、和角公式、同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡、計算.【詳解】（1）由題知，，因為，，所以，所以.（2），，，又，，，.20．某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：0369121518212410139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應關系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？【答案】(1)函數(shù)模型更好，函數(shù)解析式為(2)當與時，船能夠安全進港，停留的時間最多不能超過16h. 【分析】(1)通過題目數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖像，可判斷函數(shù)模型更好，再由圖像點坐標代入函數(shù)，求出函數(shù)解析式為 (2) 根據(jù)題意已知可求出水深范圍，解三角函數(shù)不等式可得答案，船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1時進港，而下午的17時離港.【詳解】（1）函數(shù)模型更好地刻畫y與t之間的對應關系.根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖像.從擬合曲線可知，函數(shù)在一個周期內由最大變到最小需9-3=6(h)，此為半個周期，函數(shù)的最小正周期為12，因此.又當時，；當時，，所求函數(shù)的表達式為（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時，水深應大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得 取 ，則 ；取，則；取時，（不符合題意，舍去). 當與時，船能夠安全進港，船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1時進港，而下午的17時離港，在港內停留的時間最長為16h.21．已知函數(shù)的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式.(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標變），得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域.(3)對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，求的值域.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由二倍角公式和輔助角公式即可化簡；（2）利用三角函數(shù)的圖像變換，可求出，由三角函數(shù)的性質求解在的值域；（3）由方程，即，設，即，結合正弦函數(shù)的圖象，，求出的范圍，代入即可得出答案.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，故函數(shù).（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，當時，，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.（3）由方程，即，即，因為，可得，設，其中，即，結合正弦函數(shù)的圖象，如圖所示：可得方程在區(qū)間有5個解時，即，其中，即，，解得，所以.從而22．若函數(shù)滿足且（），則稱函數(shù)為“函數(shù)”．(1)試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；(2)函數(shù)為“函數(shù)”，且當時，，求的解析式，并寫出在上的單調增區(qū)間；(3)在（2）條件下，當，關于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求．【答案】(1)不是“函數(shù)”，理由見解析(2)，單調遞增區(qū)間為，；(3) 【分析】（1）根據(jù)題干條件代入檢驗，得到，故不是“函數(shù)”；（2）求出函數(shù)的周期，由得到，結合當時，，從而得到函數(shù)解析式，并求出單調遞增區(qū)間；（3）畫出在上圖象，數(shù)形結合，由函數(shù)的對稱性，分三種情況進行求解，得到.【詳解】（1）不是“函數(shù)”，理由如下：，，，則，故不是“函數(shù)”；（2）函數(shù)滿足，故的周期為，因為，所以，當時，，，當時，，，綜上：，中，當時，，，此時單調遞增區(qū)間為，，中，當時，，，則，當，即時，函數(shù)單調遞增，經(jīng)檢驗，其他范圍不是單調遞增區(qū)間，所以在上的單調遞增區(qū)間為，；（3）由（2）知：函數(shù)在上圖象為：當或1時，有4個解，由對稱性可知：其和為，當時，有6個解，由對稱性可知：其和為，當時，有8個解，其和為，所以.【點睛】函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念. 

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