綿陽(yáng)南山中學(xué)2023年春2022級(jí)高一下入學(xué)考試試題數(shù)學(xué)命題人：雍華  張韜    審題人：任暉  苗鳳瓊一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1. 如果全集，，則A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先確定集合U，然后求解補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，結(jié)合補(bǔ)集的定義可知.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，補(bǔ)集的定義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2. 用二分法求函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中，得到，則函數(shù) 的零點(diǎn)落在區(qū)間（    ）A.  B.  C.  D. 不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，計(jì)算端點(diǎn)處函數(shù)值，即可求解.【詳解】由于 均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，故在單調(diào)遞增， 故存在，使得 ，故選：B3. 一條弧所對(duì)的圓心角是2rad，它所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這條弧的長(zhǎng)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖形解直角三角形即可．【詳解】如圖設(shè)，，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，并延長(zhǎng)交弧于，則，．中，，從而弧長(zhǎng)為，故選：．4. 函數(shù)（），則﹐則a=（      ）A. 4 B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題意先求出，再求，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，則，解得：.故選：A.5. 防疫部門對(duì)某地區(qū)乙型流感爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開(kāi)始累計(jì)時(shí)間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著流感疫情將要局部爆發(fā)，則此時(shí)約為（參考數(shù)據(jù)：）（      ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【答案】A【解析】【分析】根據(jù)列式，并根據(jù)給出參考數(shù)據(jù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解相應(yīng)的指數(shù)方程，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故選：A.6. 已知則的值為（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得，代入即可求解，得到答案.【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，又，所以.故選：C.7. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，故選：D.8. 函數(shù)的圖象大致形狀為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用上的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?/span>，定義域?yàn)?/span>，且所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除、；又當(dāng)時(shí)，，，所以，則，所以，所以，即可排除C；故選：A二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共4小題，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9. 下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是奇函數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)A：的定義域?yàn)?/span>，則為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)B：的定義域?yàn)?/span>，且，故為奇函數(shù)，B正確；對(duì)C：，故不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)D：的定義域?yàn)?/span>，且，故為奇函數(shù)，D正確.故選：BD.10. 下列說(shuō)法正確的有（    ）A. 命題“，”的否定為“，”B. 對(duì)于命題：“，”則為“，”C. “”是“”的必要不充分條件D. “”是“對(duì)恒成立”充分不必要條件【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)則判斷A、B，根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷C、D.【詳解】解：對(duì)于A：命題“，”的否定為“，”，故A正確；對(duì)于B：命題：“，”則為“，”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由推不出，當(dāng)時(shí)，故充分性不成立，由，則，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>對(duì)恒成立，所以，因?yàn)?/span>?，所以“”是“對(duì)恒成立”的充分不必要條件，故D正確；故選：ACD11. 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說(shuō)法正確的是（     ）A. 的值域?yàn)?/span>B. 的定義域?yàn)?/span>C. D. 任意一個(gè)非零有理數(shù)， 對(duì)任意恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式和函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以的值城為，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)，所以的定義城為，故B正確；因?yàn)?/span>，所以，故C正確；對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù)，若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T是無(wú)理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，都有對(duì)任意恒成立，故D正確，故選：BCD.12. 已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的根、、、，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；求出，，利用基本不等式可判斷B選項(xiàng)，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可求得的值，可判斷C選項(xiàng)的正誤.【詳解】在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖象，如下圖所示：要使方程有四個(gè)不同根，只需，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖可知，由可得，所以，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B對(duì)；對(duì)于C，由圖可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，，故C對(duì)；對(duì)于D，由得：，令，其中，任取、且，則，因?yàn)?/span>，則，，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，則，故D對(duì).故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填在答題卡中的橫線上．）13. 冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，由條件求，再求的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)求冪函數(shù)的解析式和求值，意在考查基本公式，屬于簡(jiǎn)單題型.14. 計(jì)算的值為___________.【答案】##【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，【詳解】原式，故答案為：15. 已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并得到，即為偶函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)性加減的變化結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可根據(jù)單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)解不等式得出答案.【詳解】，定義域?yàn)?/span>，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)單調(diào)性得，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)單調(diào)性得，故答案為：.16. 已知函數(shù)，在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分割點(diǎn)處函數(shù)值之間的關(guān)系，列出不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù)，根據(jù)題意：，解得.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17. 已知全集，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）＝{x|x＜3或x≥4}    （2）（﹣∞，2）【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出集合B，結(jié)合集合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可得出結(jié)果；(2)將A∪B＝A轉(zhuǎn)化為B?A，分類討論B＝?和B≠?時(shí)的情況，列出對(duì)應(yīng)的不等式(組)，解之即可.【小問(wèn)1詳解】A＝{x|0＜x＜4}，m＝3時(shí)，B＝{x|3≤x≤7}.∴A∩B＝{x|3≤x＜4}，且U＝R.∴（A∩B）＝{x|x＜3或x≥4}.小問(wèn)2詳解】∵A∪B＝A，∴B?A.①B＝?時(shí)，m＞3m﹣2，解得m＜1②B≠?時(shí)，，解得1≤m＜2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，2）18. 已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而可求正切，（2）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入即可求解.【小問(wèn)1詳解】由三角函數(shù)定義得，兩邊平方解得，又，故 ，∴ ．即．【小問(wèn)2詳解】，由（1）得．原式19. 在黨的二十大勝利召開(kāi)之際，某廠發(fā)行具有音頻功能的《光輝歷程》紀(jì)念冊(cè)．生產(chǎn)該產(chǎn)品需要固定設(shè)備投資10萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)冊(cè)紀(jì)念冊(cè)，投人生產(chǎn)成本萬(wàn)元，且每?jī)?cè)紀(jì)念冊(cè)售價(jià)30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查生產(chǎn)的紀(jì)念冊(cè)能全部售出．（1）求利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于生產(chǎn)冊(cè)數(shù)x（萬(wàn)冊(cè)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）問(wèn)生產(chǎn)多少冊(cè)紀(jì)念冊(cè)時(shí)，利潤(rùn)最大？并求出最大值．【答案】（1）    （2）生產(chǎn)7萬(wàn)冊(cè)紀(jì)念冊(cè)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為60萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）根據(jù)所給條件用總銷售收減去所有成本可得利用函數(shù)；（2）根據(jù)利用函數(shù)，一段由二次函數(shù)性質(zhì)得最大值，一段用基本不等式得最大值，再比較可得．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>所以【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，時(shí)，最大值，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．綜上，生產(chǎn)7萬(wàn)冊(cè)紀(jì)念冊(cè)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為60萬(wàn)元．20. 已知函數(shù)．（1）判定函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；（2）若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）增函數(shù)，證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）增函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明即可；（2）由題意知得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上圖象有交點(diǎn)，由（1）可知函數(shù)在上為增函數(shù)，是R上的偶函數(shù)，可得，可得答案.【小問(wèn)1詳解】為增函數(shù)，證明如下，證明：設(shè)，，且，，∵，∴，，，∴，即，∴函數(shù)f(x)在上為增函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由題意知，方程，得，若方程在內(nèi)有根，則函數(shù)與在上圖象有交點(diǎn)，由（1）可知，函數(shù)，在上為增函數(shù)，又知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則在上，，∴m的取值范圍為．21. 已知二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)（，且），若存在，使得對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，再由函數(shù)過(guò)的點(diǎn)，代入，利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意可知，分別求兩個(gè)函數(shù)的的最大值，求解不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，，所以的對(duì)稱軸方程為， 又函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，兩式聯(lián)立，解得，，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，因?yàn)?/span>，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∵在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，適合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，則，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22. 已知函數(shù)，．（1）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求a的取值范圍．【答案】（1）1    （2）【解析】【分析】（1）由為奇函數(shù)，則，即可求出實(shí)數(shù)a的值；（2）求出在區(qū)間的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值和最小值的差，由題意轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題后求解.【小問(wèn)1詳解】∵是奇函數(shù)，，∴，即，即，∴．小問(wèn)2詳解】，在區(qū)間上單調(diào)遞減，為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由題意得即，即，即，．令，．∵，∴．∴函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，y有最小值，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
 

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