綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高2022級(jí)高一下期第2學(xué)月考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1． 答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2． 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3． 考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：A2. 已知，若，則的最小值為（    ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 7【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1的代換”求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，若，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B .3. 已知的解集為，求的解集（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系求的關(guān)系，再根據(jù)一元二次不等式解法求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的解集為，所以，且為方程的根，所以，，所以，，所以不等式可化為，所以，所以的解集為，故答案為：B4. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華歲庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的值的情況，即可判斷答案.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，， ，則 ，圖象在x軸上方，故A錯(cuò)誤，當(dāng) 時(shí)， ，則，圖象在x軸下方，故錯(cuò)誤,結(jié)合函數(shù)的奇偶性可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，符合題意的圖象只有C中圖象，故選：C．5. 使，的否定為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題意知命題的否定為假命題，則命題為真命題，求出真命題成立的情況下的取值范圍，再由選項(xiàng)即可判斷出充分不必要條件.【詳解】由題使，的否定為假命題，知，為真命題，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以是為真命題的充要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的既不充分也不必要條件，是為真命題的充分不必要條件.故選：D.6. 在天文學(xué)中，常用星等，光照度等來(lái)描述天體的明暗程度.兩顆星的星等與光照度滿足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等為，天狼星的光照度是織女星光照度的4倍，據(jù)此估計(jì)織女星的星等為（參考數(shù)據(jù)）（    ）A. 2 B. 1.05 C. 0.05 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得答案.【詳解】解：設(shè)天狼星星等為，光照度為，織女星的星等為，光照度為，因?yàn)樘炖切堑墓庹斩仁强椗枪庹斩鹊?/span>4倍，所以，因?yàn)閮深w星的星等與光照度滿足星普森公式，所以，解得.所以，織女星的星等為故選：C7. 已知，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由于，然后利用誘導(dǎo)公式即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故選：A8. 設(shè)都是正數(shù)，且，則下列等式正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化，再利用對(duì)數(shù)換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算求解作答.【詳解】因?yàn)?/span>都是正數(shù)，設(shè)，則，即有，顯然，所以，即，A正確；，B不正確；，C不正確；，D不正確.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 若的終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，則B. 若是第一象限角，則是第一或第三象限角C. 對(duì)，恒成立D. 若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)象限角的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和任意角的三角函數(shù)可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榻?/span>的終邊上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，由任意角的三角函數(shù)可得：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>是第一象限角，即，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第三象限角；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第-象限角；所以是第一或第三象限角，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，則，所以，又因?yàn)?/span>，所以為鈍角，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10. 若，且，在下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.【詳解】對(duì)于A，∵，，∴，故A正確，對(duì)于B，，，∴，故B正確，對(duì)于C，令，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令，，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11. 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若，則滿足的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，然后分、解不等式，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，且，由可知，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)， ，可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：BC.12. 已知函數(shù)，以下說(shuō)法正確的有（    ）A. 若的定義域是，則B. 若的定義域是，則C 若恒成立，則D. 若，則的值域不可能是【答案】CD【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；分析可知對(duì)任意的，，列出關(guān)于的各種情況，可判斷B選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則關(guān)于的不等式的解集為，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則對(duì)任意的，，所以，或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由可得，即，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>，若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則，顯然是不可能的，D對(duì)故選：CD三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13. 已知是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________【答案】2【解析】【分析】解方程，再檢驗(yàn)得解.【詳解】解：依題意，，得或，當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)在上不是減函數(shù)，所以舍去.當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)在上是減函數(shù)．所以.
故答案為：14. ，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)齊次式，利用弦切互化即可求解.【詳解】，故答案為：115. 已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，得出關(guān)于的不等式，求解即可得出不等式的解集．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>則，故函數(shù)為偶函數(shù).任取，且則因?yàn)?/span>，所以所以，即故函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則在區(qū)間為減函數(shù)．又由函數(shù)為偶函數(shù)，得則由，得，即所以，即，整理得，解得故不等式的解集為．故答案為：．16. 符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)：，在下列命題正確的是________．①；②當(dāng)時(shí)，；③函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>；④函數(shù)是增函數(shù)，奇函數(shù)．【答案】①②③【解析】【分析】由題意可得表示數(shù)的小數(shù)部分，可得，當(dāng)時(shí)，，即可判斷正確結(jié)論．【詳解】表示數(shù)的小數(shù)部分，則①正確，當(dāng)時(shí)，，②正確，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，③正確，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，即有不為增函數(shù)，由，，可得，即有不為奇函數(shù)，④錯(cuò)誤．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，以及函數(shù)值的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 計(jì)算下面兩式的結(jié)果（1）若，求的值．（2）化簡(jiǎn)求值：．【答案】（1）；    （2） ．【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，兩次平方，即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】，則所以，【小問(wèn)2詳解】原式.18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（1）求的值；（2）先化簡(jiǎn)再求值：【答案】（1），，    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)任意角的定義可得：，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而求解；(2)利用誘導(dǎo)公式將式子化簡(jiǎn)為，結(jié)合（1）的結(jié)論，代入計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題知： .因?yàn)?/span>，所以 又因?yàn)?/span>為第二象限角，所以.則.【小問(wèn)2詳解】原式＝=   .19. 已知．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）或    （2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直接將代入，根據(jù)一元二次不等式即可得解集，（2）將與1比較，分類討論即可求解．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，或，不等式解集為：或；【小問(wèn)2詳解】不等式可化為．①當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；③當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．20. 世界范圍內(nèi)新能源汽車(chē)的發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車(chē)主要分三類：純電動(dòng)汽車(chē)、混合動(dòng)力電動(dòng)汽車(chē)和燃料電池電動(dòng)汽車(chē).這3類電動(dòng)汽車(chē)目前處在不同的發(fā)展階段，并各自具有不同的發(fā)展策略.中國(guó)的電動(dòng)汽車(chē)革命也早已展開(kāi)，以新能源汽車(chē)替代汽（柴）油車(chē)，中國(guó)正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重新塑造全球汽車(chē)行業(yè)的計(jì)劃.2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬(wàn)元），且；已知每輛車(chē)售價(jià)5萬(wàn)元，由市場(chǎng)調(diào)研知，全年內(nèi)生產(chǎn)的車(chē)輛當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.（1）求出2022年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1）;    （2）100（百輛），2300萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)收入-總成本，即可求得（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分段求得函數(shù)的最大值，比較大小可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知利潤(rùn)收入-總成本，所以利潤(rùn)  ,故2022年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式為 .【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)取得等號(hào)；綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為100（百輛）時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為2300萬(wàn)元．21. 已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求、的值；（2）證明在上為減函數(shù)；（3）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）證明見(jiàn)解析    （3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得的值，再利用奇函數(shù)的定義可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論成立；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，則，解得，由奇函數(shù)定義可得，所以，，即，則，可得.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得 ，任取、，且，則，則，，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】解：根據(jù) （1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上為減函數(shù).不等式恒成立，即恒成立，也就是對(duì)任意的都成立，即對(duì)任意的都成立，則，解得，即的范圍是. 22. 若函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1，設(shè)．（1）求a、b的值；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)在上的單調(diào)性最大值和最小值，從而求得；（2）用分離參數(shù)法化簡(jiǎn)不等式為，然后令換元，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍．【小問(wèn)1詳解】，對(duì)稱軸，在上單調(diào)遞增，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）知化為，即，令，則，因?yàn)?/span>，所以，問(wèn)題化為，記，對(duì)稱軸是，因?yàn)?/span>，所以，

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