綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022級(jí)高一（下）五月月考試題數(shù)學(xué)總分：150分   時(shí)間：120分鐘；第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求其模.【詳解】由題設(shè)可得，故，故，故選：B.2. 下列函數(shù)中，在上遞增的偶函數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為偶函數(shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，故為偶函數(shù)，且時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D3. 若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸截面求出圓錐的底面半徑和高，求出體積.【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，故體積為.故選：A4. 已知不共線的平面向量，滿足，，則平面向量，的夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)向量，的夾角為，由可得出，再由向量的夾角公式代入即可得出答案.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，∵，∴，即，∴，∴．∵，∴向量，的夾角為．故選：D．5. 如圖，P是正方體面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中，始終與直線BP異面的是（    ）A. 直線 B. 直線 C. 直線 D. 直線AC【答案】D【解析】【分析】根據(jù)異面直線得定義逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，連接，設(shè)，由，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與共面；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，直線與直線相交；對(duì)于C，因?yàn)?/span>且，所以四邊形為平行四邊形，所以，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，與共面；對(duì)于D，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，平面，，所以直線BP與直線AC是異面直線.故選：D.6. 在中，記，，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的運(yùn)算，用表示出即可.【詳解】因?yàn)樵?/span>中，若，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.故選：D7. 如圖所示的曲線為函數(shù)的部分圖象，將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A. 直線為圖象的一條對(duì)稱軸 B. 點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C. 函數(shù)的最小正周期為2π D. 函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的圖象求出的解析式，再結(jié)合題意求出，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解詳解】由圖象知，又，所以的一個(gè)最低點(diǎn)為，而的最小正周期為，所以，又，則，所以,即，又，所以，所以，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的得的圖象，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長度得，即.因?yàn)?/span>，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；因，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；函數(shù)在周期，故C錯(cuò)誤；由得，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，可知在遞減，在遞增，所以D錯(cuò)誤.故選：A.8. 已知為的外接圓的圓心且，若，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，根據(jù)給定條件結(jié)合共線向量定理的推論可得共線，再在直角三角形中計(jì)算作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖，  則，由，得，又，因此三點(diǎn)共線，由為的外接圓的圓心，得，即，所以.故選：B二、多選題：本大題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 給出下列命題正確的是（    ）A. 平面內(nèi)所有的單位向量都相等B. 長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量C. 若滿足，且同向，則D. 若四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)單位向量以及相反向量可判斷AB，由向量以及相等向量可判斷AD.【詳解】對(duì)于A,單位向量是模長相等，方向不一定相同，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由相反向量的定義可知長度相等方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故B正確，對(duì)于C，向量不可以比較大小，故C錯(cuò)誤,對(duì)于D，，則，且,故為平行四邊形，故D正確，故選：BD10. a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，則以下命題不正確的是（    ）A. 若，，則 B. 若，，則C. 若，，，，則 D. 若，，則【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，注意判斷的情況；對(duì)B，注意可能相交或異面；對(duì)C，討論a，b的相交情況，即可判斷；對(duì)D，根據(jù)平面平行的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)A，由，，可得或，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，，可得直線可能相交，異面或平行， B錯(cuò)誤；對(duì)C，，則當(dāng)相交時(shí)，；當(dāng)平行時(shí)，則或相交，C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，，根據(jù)平行平面的性質(zhì)可得，D正確，故選：ABC.11. 如圖，在直三棱柱中，，，，側(cè)面的對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A. 直三棱柱的體積是1B. 直三棱柱的外接球表面積是C. 三棱錐的體積與點(diǎn)的位置有關(guān)D. 的最小值為【答案】AD【解析】【分析】由題意畫出圖形，計(jì)算直三棱柱的體積即可判斷A；直棱柱放在圓柱中，求出直棱柱底面外接圓半徑，進(jìn)而求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可判斷B；由棱錐底面積與高為定值判斷C；將側(cè)面展開即可求出最小值判斷D．【詳解】在直三棱柱中，，，，所以其體積，故A正確；對(duì)于B，由直三棱柱結(jié)構(gòu)特征及外接球的對(duì)稱性可得，其外接球即為長寬高分別為2，1，1的長方體的外接球，所以其外接球半徑為，所以其外接球的表面積為，故B錯(cuò)誤；由平面，且點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
， 三棱錐的高為定值，，，故三棱錐的體積為定值，故C錯(cuò)誤；將四邊形沿翻折，使四邊形與四邊形位于同一平面內(nèi)，此時(shí)，連接與相交于點(diǎn)E，此時(shí)最小，即，故D正確．故選：AD.12. 已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A. B. 的面積為C. D. 在的外接圓上，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算，利用余弦定理計(jì)算，判斷A；根據(jù)面積公式計(jì)算三角形的面積，判斷B；利用正弦定理計(jì)算，判斷C；設(shè)，用表示出，，得出關(guān)于的三角函數(shù)，從而得到的最大值，判斷D.【詳解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正確；在中，由余弦定理得：，，故正確；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正確；，，，，，為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上．故，設(shè)，則，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．故選：．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的分類列式計(jì)算作答【詳解】由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，得，解得，所以.故答案為：114. 求的最小值是_____【答案】##0.5【解析】【分析】先應(yīng)用換元法,再應(yīng)用二次函數(shù)最值求解即得.【詳解】,令,,當(dāng),.故答案為:15. 位于河北省承德避暑山莊西南十公里處雙塔山，因1300多年以前，契丹人在雙塔峰頂建造的兩座古塔增添了諸多神秘色彩．雙塔山無法攀登，現(xiàn)準(zhǔn)備測量兩峰峰頂處的兩塔塔尖的距離．如圖，在與兩座山峰、山腳同一水平面處選一點(diǎn)A，從A處看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又測量得，若塔尖到山腳底部的距離為米，塔尖到山腳底部的距離為米，則兩塔塔尖之間的距離為________米．【答案】【解析】【分析】先解直角三角形得AC=60米，米,再利用余弦定理解BC即可.【詳解】在中，米，，則米．同理，在中，米，在中，米，米，，由余弦定理，得米．故答案為：.16. 已知正三棱柱的底面邊長為6，三棱柱的高為，則該三棱柱的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出三棱柱底面正三角形外接圓半徑，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】由正三棱柱的底面邊長為6，得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑，如圖，  又由三棱柱的高為，則球心到圓O的圓心O的距離，因此球半徑R滿足：，即有，所以外接球的表面積故答案為：四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.17. 已知平面向量，且，（1）若，且，求向量的坐標(biāo)；（2）若，求在方向的投影向量（用坐標(biāo)表示）.【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用平面向量的共線定理及坐標(biāo)表示即可求解；（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解在方向的投影向量即可.【小問1詳解】解：設(shè)，，，又，，或，或.【小問2詳解】解：，，設(shè)與的夾角為.故，在上的投影向量為.18. 如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點(diǎn).  （1）已知點(diǎn)滿足，求證四點(diǎn)共面；（2）求三棱柱的表面積.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平行公理、平面基本事實(shí)推理作答.（2）求出三棱柱各個(gè)面的面積作答.【小問1詳解】在正方體中，取中點(diǎn)，連接，如圖，  因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，則，即四邊形是平行四邊形，則有， 由，知為的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，于是，即有，所以四點(diǎn)共面.【小問2詳解】顯然三棱柱是直三棱柱，，上下兩個(gè)底面的面積和為，側(cè)面積，所以三棱柱的表面積.19. 已知，都是銳角，， .（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）,    （2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正余弦公式求解；（2）根據(jù)角的變換，利用兩角差的正弦公式求解.【小問1詳解】是銳角，，，，，，.【小問2詳解】，都是銳角，，又，，.20. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，PA為點(diǎn)P到平面ABCD的距離，，，，點(diǎn)E、M分別在線段AB、PC上，其中E是AB中點(diǎn)，，連接ME.（1）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面PAD；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析    （2）2【解析】【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.（2）根據(jù)，求出三棱錐的高，然后利用體積公式即可.【小問1詳解】取PD中點(diǎn)N，連接MN、AN，是的中位線，MN//CD，且，又AE//CD，且，四邊形AEMN為平行四邊形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.【小問2詳解】，P到平面ABCD距離為3，點(diǎn)M到平面ABCD的距離為1，.21. 已知函數(shù)（其中，，均為常數(shù)，，，）.在用五點(diǎn)法作出函數(shù)在某一個(gè)周期的圖像時(shí)，取點(diǎn)如表所示：0200 （1）求函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知函數(shù)滿足，若當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>（）時(shí)，其值域?yàn)?/span>，求的最大值與最小值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；    （2）最大值與最小值分別為.【解析】【分析】（1）利用給定的數(shù)表，依次求出即可得函數(shù)，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求出遞增區(qū)間作答.（2）求出函數(shù)的解析式，解方程，解不等式，再借助定義域與值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系分段求解作答.【小問1詳解】由數(shù)表得，，函數(shù)的周期，則，由，得，而，于，所以數(shù)的解析式，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，，則，令，則，，解得，，由，得，解得，因?yàn)楫?dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>（）時(shí)，其值域?yàn)?/span>，顯然，當(dāng)，時(shí)，，因此，當(dāng)，時(shí)，，因此，所以的最大值與最小值分別為.22. 如圖，在四邊形中，，.（1）求的值；（2）若為等邊三角形，求面積的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理即可解決；（2）由余弦定理求出，再由正弦定理得出，寫出三角形的面積函數(shù)式化解再求最大值即可.【小問1詳解】設(shè)，，.因?yàn)?/span>，所以由正弦定理，得，即，所以.因?yàn)?/span>，所以，即.因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】設(shè)，，.在中，由余弦定理，得.因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以.由正弦定理，得，則，所以.因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，所以為銳角，所以，所以，

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