2022-2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)市綿陽(yáng)南山中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用周期的概念逐一判斷即可【詳解】A.，則，其不是以為周期的函數(shù)；B.，則，其不是以為周期的函數(shù)；C.，則，其不是以為周期的函數(shù)；D.則，其是以為周期的函數(shù)；故選：D.2．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把已知的等式平方得到，再化簡(jiǎn)代入即得解.【詳解】由，所以，∴，所以.故選：A．3．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A，B；根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可排除選項(xiàng)C，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?/span>，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)A，B，當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng)C，故選：D.4．定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，則 （    ）．A．在上是增函數(shù)且有最大值2 B．在上是減函數(shù)且有最大值2C．在上是增函數(shù)且有最小值2 D．在上是減函數(shù)且有最小值2【答案】B【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的最值定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，又因?yàn)?/span>上是增函數(shù)，所以有；在上是減函數(shù)，所以有；因此當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，而函數(shù)是實(shí)數(shù)集上偶函數(shù)，因此函數(shù)在實(shí)數(shù)集上有最大值2故選：B5．已知函數(shù)，則下列區(qū)間中一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】計(jì)算出各端點(diǎn)的函數(shù)值，利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷.【詳解】，，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：C.6．已知函數(shù)與分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且則（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，，解得答案.【詳解】根據(jù)題意：，，即，解得.故選：B.7．已知函數(shù)．若存在2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，作出函數(shù)的圖象，由與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可得的取值范圍．【詳解】依題意，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，要使函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則故選：D8．已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（    ）A．(-∞,-2]∪[4,+∞) B．(-∞,-4)∪[2,+∞)C．(-2,4) D．(-4,2)【答案】D【解析】由已知條件，利用基本不等式求得，再由恒成立，可得，從而可求出m的取值范圍【詳解】解：因?yàn)?/span>，x>0，y>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?/span>恒成立，所以，解得，故選：D 二、多選題9．若函數(shù)（且）的圖像過(guò)第一、三、四象限，則必有（    ）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】對(duì)底數(shù)分情況討論即可得答案.【詳解】解：若，則的圖像必過(guò)第二象限，而函數(shù)（且）的圖像過(guò)第一、三、四象限，所以．當(dāng)時(shí)，要使的圖像過(guò)第一、三、四象限，則，即．故選：BC【點(diǎn)睛】此題考查了指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①該函數(shù)的最大值為；②該函數(shù)圖象的兩條對(duì)稱軸之間的距離的最小值為；③該函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱.那么下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的值可唯一確定B．函數(shù)是奇函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】根據(jù)題目條件求出函數(shù)解析式，進(jìn)一步根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，求出各選項(xiàng).【詳解】由題可知：，,即∴又∵該函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱∴，即又∵∴當(dāng)時(shí)，∴A選項(xiàng)：此時(shí)的值可唯一確定，A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，∴此時(shí)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故C正確；D選項(xiàng)：已知，∴∴在函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由二次函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性即可得，即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象開口朝下，對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值可以是，.故選：BD.12．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．時(shí)，函數(shù)解析式為B．函數(shù)在定義域上為增函數(shù)C．不等式的解集為D．不等式恒成立【答案】BC【解析】對(duì)于A，利用奇函數(shù)定義求時(shí)，函數(shù)解析式為；對(duì)于B，研究當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知在上的單調(diào)性；對(duì)于C，求出，不等式，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式；對(duì)于D，分類討論與兩種情況是否恒成立.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，則，又是奇函數(shù)，所以，即時(shí)，函數(shù)解析式為，故A錯(cuò)；對(duì)于B，，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上為增函數(shù)，故B對(duì)；對(duì)于C，由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則時(shí)，，解得，（舍去），即，所以不等式，轉(zhuǎn)化為，又在上為增函數(shù)，得，解得，所以不等式的解集為，故C對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不恒大于0，故D錯(cuò)；故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組）來(lái)求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：（1）已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；（2）已知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法；（4）若與或滿足某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求解； 三、填空題13．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的取值為__.【答案】1【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程求出的值，再判斷函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.【詳解】解：冪函數(shù)中，令，解得或；當(dāng)時(shí)，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；所以的取值為1.故答案為：1.14．已知，則＝_____.【答案】【解析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系,求出,利用對(duì)數(shù)的換底公式,即可求得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系.掌握對(duì)數(shù)換底公式:是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.15．設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為______．【答案】8【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖像，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用對(duì)稱性，即可求解零點(diǎn)的和.【詳解】首先由條件可知，函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可以畫出函數(shù)的圖像，同一坐標(biāo)系下再畫出函數(shù)的圖像，由圖可知，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有8個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知，所有交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以所有零點(diǎn)和為8.故答案為：816．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為“壹函數(shù)”，則下列函數(shù)是“壹函數(shù)”的是______.①；②；③；④.【答案】②③【解析】根據(jù)新定義解方程，判斷方程是否有非零實(shí)數(shù)根，對(duì)函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，的定義域?yàn)?/span>，由，得，平方得，解得，不是非零實(shí)數(shù)，則不是“壹函數(shù)”；對(duì)于②，的定義域?yàn)?/span>，由，得，即，解得，則是“壹函數(shù)”；對(duì)于③，的定義域?yàn)?/span>，由，得，可得，即，解得，則是“壹函數(shù)”；對(duì)于④，的定義域?yàn)?/span>，由，得，解得，不是非零實(shí)數(shù)，則不是“壹函數(shù)”.故答案為：②③. 四、解答題17．化簡(jiǎn)求值：（1） ；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用指數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解；（2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解．【詳解】（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)求值，考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x值的集合；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1).(2)時(shí)，  ； 時(shí)，.(3) 【分析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，使即可；(2)根據(jù)余弦函使其交集不為空集(3)求兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域，根據(jù)包含關(guān)系求解即可.【詳解】（1），解不等式得： ，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），即時(shí)，  ，，即 時(shí)，；（3）時(shí)，，，時(shí)， ， ，要使得，只需， .19．集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）解分式不等式求集合，解絕對(duì)值不等式求集合，再求集合的并集；（2）先求集合的補(bǔ)集，再根據(jù)交集和空集的定義求解.【詳解】（1）由得即，解得或，所以或；當(dāng)時(shí)，由得，即，所以，所以或.（2）由得，即，所以，由（1）得或，所以，若，則或，即或，所以，的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式和絕對(duì)值不等式的解法，集合的運(yùn)算，注意端點(diǎn)值.20．已知函數(shù)．(1)令，求t的取值范圍并將化為關(guān)于t的函數(shù)；(2)求的最小值；(3)若在上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）將兩邊同時(shí)平方得到，即可求得，再結(jié)合的范圍求出的范圍；（2）按照對(duì)稱軸和區(qū)間的位置分，和三種情況求解；（3）令，參變分離得到，借助單調(diào)性的定義判斷出單調(diào)性，即可求得a的取值范圍.【詳解】（1）由，得，，，將代入得）；（2）當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞增，.當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，，當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞減，，；（3）由得，，記，設(shè)且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，同理，在上單調(diào)遞增.，又，所以a的取值范圍是.21．某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1百臺(tái)時(shí)又需可變成本（即需另增加投入）0.25萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此商品的需求量為5百臺(tái)，銷售收入（單位：萬(wàn)元）的函數(shù)為，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)并售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）.（1）把利潤(rùn)表示為產(chǎn)量的函數(shù).（2）產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)才不虧本（不賠錢）；（3）產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所得利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量在11臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本；（3）年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，企業(yè)所得利潤(rùn)最大.【分析】（1）依題意對(duì)與分類討論，分別求出函數(shù)解析式，再寫成分段函數(shù)形式即可；（2）要使企業(yè)不虧本，則，根據(jù)（1）中函數(shù)解析式分類討論，分別解得即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上可得 ；  （2）要使企業(yè)不虧本，則.即或得或，即.即年產(chǎn)量在11臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本. （3）顯然當(dāng)時(shí)，企業(yè)會(huì)獲得最大利潤(rùn)，此時(shí)，，，即年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，企業(yè)所得利潤(rùn)最大.22．已知函數(shù)在時(shí)有最大值為1，最小值為0.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題得，解方程組即得解；（2），在上恒成立，設(shè)，則，，再求最大值即得解.【詳解】（1）函數(shù)，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，故，解得.（2）由已知可得，則，所以不等式，轉(zhuǎn)化為，在上恒成立.設(shè)，則，即，在，上恒成立，即：，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，則，即，∴的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域的求法，考查二次不等式的恒成立問(wèn)題的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于較難題. 

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