2022-2023學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高一下學(xué)期4月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求值計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，因此，所以.故選：B2．下列說法正確的是（    ）A．單位向量均相等 B．單位向量C．零向量與任意向量平行 D．若向量，滿足，則【答案】C【分析】對(duì)于A：由方向不一定相同否定結(jié)論；對(duì)于B：單位向量.否定結(jié)論；對(duì)于C：零向量與任意向量平行.即可判斷；對(duì)于D：，的方向可以是任意的. 否定結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：單位向量.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：零向量與任意向量平行.正確；對(duì)于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.故選：C3．已知平面向量，若，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】求出的坐標(biāo)，根據(jù)，列出方程，計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，解得故選：C.4．已知，，，則（    ）A． B． C． D．或【答案】A【解析】先利用平方關(guān)系求出，，再利用兩角差的余弦公式將展開計(jì)算，根據(jù)余弦值及角的范圍可得角的大小.【詳解】∵，，，∴，，∴.又∵，∴，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意,即，所以 故選：A.6．已知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，使得對(duì)于任意的x都有，且的最小值為，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)的最大值和最小值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的距離，求得的半周期，由此求得的值，結(jié)合根據(jù)的對(duì)稱軸列方程，求得的值.【詳解】依題意存在，使得對(duì)于任意的x都有，所以分別是的最小值和最大值，而的最小值為，所以，由解得，所以.由于的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的值為或，即的值為或，由于，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7．已知點(diǎn)是銳角的外心，，，，若，則（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】由題干條件及幾何關(guān)系，可得，，繼而構(gòu)造等式，即得解【詳解】如圖所示，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，；則，分別為，的中點(diǎn)，∴，；又，∴，∵，∴，，化為①，②，聯(lián)立①②解得，；∴．故選：B8．如圖，在梯形中，且為以為圓心為半徑的圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則有，，，，設(shè)，得，，，則由，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B 二、多選題9．已知在同一平面內(nèi)的向量均為非零向量，則下列說法中正確的有（    ）A．若，則B．若，則C．D．若且，則【答案】AD【分析】平面向量共線的傳遞性判斷A，由向量數(shù)量積的定義可判斷B，根據(jù)數(shù)量積及共線向量的概念可判斷C，根據(jù)向量垂直及向量數(shù)量積的概念可判斷D.【詳解】對(duì)A，在同一平面內(nèi)的向量均為非零向量，若且，則，即A正確；對(duì)B，若，則，又，所以，因?yàn)?/span>與的夾角不一定相等，所以不一定成立，即B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?/span>與共線，與共線，所以不一定成立，即C錯(cuò)誤；對(duì)D，若且，則，，即D正確.故選：AD．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的有（    ）A．B．為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)C．為函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間D．可將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可求出、、的值，可得的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】由題可得得，，，則，故A正確；又，所以，又，所以，所以，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由，可得，令，可得，所以不是函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：ABD.11．設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（    ）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)C．的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)D．在上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】對(duì)于A,確定，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定，求得參數(shù)范圍；對(duì)于B，C，采用整體代換思想，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，確定，計(jì)算的范圍，從而確定在上單調(diào)性.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時(shí)函數(shù)的大致圖象如圖示：即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時(shí)，取最大值，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)恰有2個(gè)，故B正確；由于當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，取最小值 ，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點(diǎn)可能是1個(gè)或2個(gè)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)， ，因?yàn)?/span>，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定單調(diào)遞減.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合型余弦函數(shù)的解析式中參數(shù)的確定以及零點(diǎn)以及最值和單調(diào)性問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要能綜合應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)靈活解答，關(guān)鍵是整體代換思想的應(yīng)用.12．已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A． B．直線不過邊的中點(diǎn)C． D．若，則【答案】BCD【分析】利用向量加法法則結(jié)合向量線性運(yùn)算計(jì)算判斷A；假定過的中點(diǎn)，利用平面向量基本定理判斷B；令，，，結(jié)合重心性質(zhì)計(jì)算判斷C；利用數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A：，因，， ，即，則，可得，A不正確；對(duì)于B：設(shè)的中點(diǎn)為D，則，若直線過的中點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)滿足，由選項(xiàng)A知，，而與不共線，則有且，無解，即不存在，AO不過BC中點(diǎn)，B正確；對(duì)于C：取點(diǎn)，，使得，，，則，即點(diǎn)O為的重心，如圖，則，而，同理可得：，因此，， C正確；對(duì)于D：由，得，而，則，解得，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用向量基本定理解決問題，選擇一組基底，運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決. 三、填空題13．已知向量，滿足，則向量，的夾角為___________【答案】【分析】先設(shè)向量，的夾角為，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量夾角的運(yùn)算，求解即可.【詳解】由題意，可設(shè)向量，的夾角為，向量，滿足，，，由，則，解得：，又，，故答案為：.14．已知，則=___________.【答案】【分析】運(yùn)用二倍角進(jìn)行化簡，將其轉(zhuǎn)為其次式即可求出結(jié)果.【詳解】注意到，則，又，則.故答案為：.15．如圖，在△ABC中，，，，M是BC邊上的中點(diǎn)，P是AM上一點(diǎn)，且滿足，則__________.【答案】【分析】由題可得，又由圖可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由圖可得三點(diǎn)共線，又，則.注意到，則.故答案為：16．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用換元法、輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的分布即可求解.【詳解】由題可知，設(shè)因?yàn)?/span>所以所以所以，將兩邊平方得所以.所以,因?yàn)楹瘮?shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則有個(gè)零點(diǎn)，方程在有兩個(gè)根，所以，在中，，解得，或，令，則所以的零點(diǎn)為和所以，解得，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用換元法及輔助角公式，將將函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有個(gè)零點(diǎn)，利用函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的分布即可. 四、解答題17．（1）化簡：（2）求值：【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡可得；（2）應(yīng)用二倍角公式及兩角和差公式化簡求值.【詳解】（1）. （2）18．已知平面向量滿足.(1)求在上的投影向量的坐標(biāo)；(2)當(dāng)最小時(shí)，求與的夾角.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用投影向量的公式計(jì)算即可；（2），兩邊同時(shí)平方，最小時(shí)，求得，與的夾角即與的夾角，利用向量數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，，設(shè)，在上的投影向量為，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為.（2）（時(shí)等號(hào)成立），則最小時(shí)，，所以，因?yàn)?/span>所以當(dāng)最小時(shí)，與的夾角的大小為.法二： ，，得所求夾角為.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A（，），角終邊與單位圓的交點(diǎn)為B（，）(1)若，求的范圍；(2)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題可得，結(jié)合及正弦函數(shù)單調(diào)性可得答案.（2）由題可得，則，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）由題意.則.由可得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即的范圍是；（2）由題得.則==.所以點(diǎn).A的縱坐標(biāo)為20．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為號(hào)的個(gè)座艙.開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在號(hào)和號(hào)座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最大值及此時(shí)的值.【答案】(1)，.(2)，開始轉(zhuǎn)動(dòng)或分鐘時(shí)，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為. 【分析】(1)設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算，，相減得到，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)時(shí)，游客甲位于點(diǎn)，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為，由題意可得，.（2）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)表示，則.經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因?yàn)?/span>，所以，所以或，或所以開始轉(zhuǎn)動(dòng)或分鐘時(shí)，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.21．已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用輔助角公式可將化為，因[，]，則，后由在上的單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；（2）由題可得，后利用在單調(diào)性可得.方法1：令，則等價(jià)于，，后分三種情況，利用分離參數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得答案；方法2：令，則等價(jià)于，，則，即可得答案.【詳解】（1）.因[，]，則，又分別在上單調(diào)遞增和遞減，則，即函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)不變，所得解析式為，又將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度，解析式為，則.因，則.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故.方法1：令，則等價(jià)于，.當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)m可取任意值；當(dāng)時(shí)，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；綜上可得：.方法2：令，則等價(jià)于，.則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及恒成立問題，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，（2）問為恒成立問題，方法1轉(zhuǎn)化為最值問題，方法2利用二次函數(shù)觀點(diǎn)解決問題.22．已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)，，為與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，而函數(shù)的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且其在處取得最小值.(1)求參數(shù)和的值；(2)若，求向量與向量的夾角；(3)若點(diǎn)為函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在，之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）由對(duì)稱軸之間的距離可得周期，根據(jù)周期求出，利用在處取得最小值求出；（2）由函數(shù)解析式求出零點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)求夾角即可；（3）設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示出，觀察取最小值時(shí)點(diǎn)P位置，然后根據(jù)最小值大于等于1可得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，，所以，，又時(shí)，取最小值，則，，，，又，則.（2）因?yàn)?/span>，所以，則，，則，，所以，，，設(shè)向量與向量的夾角為，則，因?yàn)?/span>，所以.（3）是上動(dòng)點(diǎn)，，，，又恒成立，設(shè)，，，，易知，在或處有最小值，，在或處有最大值，所以當(dāng)或時(shí)，有最小值，即當(dāng)在或時(shí)，有最小值，此時(shí)或，為時(shí)，，，，得，又，則，為時(shí)，，，，解得，綜上可得. 

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