2022-2023學(xué)年江西師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，且，則=（    ）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式計算，可得答案.【詳解】由題意得，因，所以，即 ,所以，故選：D2．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，最后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因為的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則，，所以，，則為銳角，所以，，因此，.故選：B.3．已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量定義計算即可.【詳解】為單位向量，則 ，則向量在向量上的投影向量為.故選：C.4．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和的正弦公式、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，則，，，，，為內(nèi)角，，則，，,故選：D.5．若為奇函數(shù)，則（    ）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義分類討論求解即可【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.若，則的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以的定義域為且，從而，解得.所以，定義域為.令，得.經(jīng)檢驗，為奇函數(shù)，故選：C.6．已知函數(shù)的最小正周期，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說法錯誤的是（    ）A．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)D．方程在上有3個解【答案】D【分析】由題可得，.A選項，將代入，驗證其值是否為可判斷選項；B選項，由在上的單調(diào)性可判斷選項；C選項，由在上的極值點(diǎn)可判斷選項；D選項，驗證在上是否有3個解可判斷選項.【詳解】由題.的圖像向右平移個單位長度后對應(yīng)的解析式為，因其過原點(diǎn)，則，結(jié)合，可得.A選項，，則的圖像關(guān)于直線對稱，故A正確；B選項，時，，因，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，故B正確.C選項，時，.令，因，，則函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，故C正確；D選項，時，.由，可得，則方程在上有2個解，故D錯誤.故選：D7．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，則函數(shù)其中一個的單調(diào)遞減區(qū)間為：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.8．已知中，，且的最小值為，若P為邊AB上任意一點(diǎn)，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由題可得、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而可得的最小值為到邊上的高，根據(jù)幾何關(guān)系求出，將化成，通過幾何關(guān)系求出的最小值即可.【詳解】設(shè)，于是，令，∵，則，，共線，故，由圖可得，當(dāng)時，有最小值，又∵，，∴，即，即為等邊三角形．由余弦定理，，設(shè)M為BC中點(diǎn)，，∴當(dāng)取最小值時，有最小值，∵為邊上任意一點(diǎn)，∴當(dāng)時，有最小值，設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又∵，為的中位線，∴，即，∴．故選：B. 二、多選題9．已知，，下列結(jié)論正確的是（       ）A．與同向共線的單位向量是B．與的夾角余弦值為C．向量在向量上的投影向量為D．【答案】ACD【分析】根據(jù)單位向量的求法判斷A，由向量夾角公式判斷B，根據(jù)向量投影的求法判斷C，利用數(shù)量積判斷D.【詳解】，故A正確；，故B錯誤；向量在向量上的投影向量為，故C正確；由，故D正確.故選：ACD10．已知（其中，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減D．若，且，則【答案】BC【分析】根據(jù)圖象可確定最小正周期，從而求得，知A錯誤；根據(jù)五點(diǎn)作圖法可求得，知B正確；利用余弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知C正確；由已知等式可求得，根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系及的范圍，可確定D錯誤.【詳解】對于A，由圖象可知：的最小正周期，，解得：，A錯誤；對于B，由五點(diǎn)作圖法可知：，，又，，B正確；對于C，由AB得：，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，C正確；對于D，，，，，，，D錯誤.故選：BC.11．已知向量，，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C．若與共線，則為或D．存在，使得【答案】AB【分析】根據(jù)得到，即可得到，即可判斷A選項；根據(jù)投影向量得到，即可得到，即可判斷B選項；根據(jù)與共線和得到，解得，根據(jù)可得，即可得到的坐標(biāo)，即可判斷C選項；假設(shè)成立，可得到，與矛盾，即可判斷D選項.【詳解】對于A，若，則有，即，A正確；對于B，，，在上的投影向量為，所以，∵，∴，B正確；對于C，若與共線，設(shè)，所以有，解得，因為，，∴，所以，C不正確；對于D，若成立，則與反向，所以，，，解得，即有，則，與矛盾，故D不正確．故選：AB.12．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（      ）A．若B+C=2A，則面積的最大值為B．若，且只有一解，則b的取值范圍為C．若C=2A，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．為的外心，則【答案】ACD【分析】對于A，由正弦定理可得，根據(jù)求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面積公式可判斷A；由正弦定理得，利用可判斷B；求出，利用為銳角三角形得的范圍，由正弦定理得，求出的范圍可判斷C；做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)可得，利用數(shù)量積公式計算可判斷D.【詳解】對于A，由正弦定理可得，因為，所以，所以，若，且，所以，由余弦定理得，由，可得，即，則面積，所以面積的最大值為，故A正確；對于B，若，且，由正弦定理得，所以，當(dāng)時即，所以時有一解，故B錯誤；對于C，若C=2A，所以，且為銳角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得，故C正確；對于D，如圖做交于點(diǎn)點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，設(shè)，所以，所以，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若外接圓面積為，則面積的最大值為______．【答案】【分析】利用正弦定理的邊角互化和余弦定理求出角，再利用基本不等式和三角形面積公式求解.【詳解】由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以．由的外接圓面積為，得外接圓的半徑1．由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故答案為: .14．在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，則______.【答案】##【分析】由角平分線性質(zhì)及正弦邊角關(guān)系得、，應(yīng)用余弦定理求得，在△中應(yīng)用余弦定理求，正弦邊角關(guān)系確定最終的長度.【詳解】由題設(shè)，則，又，則，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案為：15．如圖，在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，則______.【答案】1【分析】利用向量的線性運(yùn)算得，再利用數(shù)量積的計算公式計算即可.【詳解】在邊長為2的等邊中，為中線，則，.故答案為：116．已知滿足，當(dāng)，，若函數(shù)在上恰有八個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)在上的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意知滿足，故是以8為周期的函數(shù)，結(jié)合，作出函數(shù)在上的圖象，如圖示：因為，故時，即或，則在上恰有八個不同的零點(diǎn)，即等價于的圖象和直線有八個不同的交點(diǎn)，由圖象可知，和的圖象有6個不同的交點(diǎn)，則和的圖象需有2個不同的交點(diǎn)，即，故，則實數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的周期以及解析式，可作出函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，列出不等式，即可求解. 四、解答題17．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因為，所以.設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因為，所以，即，即，所以，即，解得.18．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向下平移一個單位，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得，得，由圖象和公式求得，由求得，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換可得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得，，，，，得，，又，，，，，得，，又，，；（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變得到，再向下平移一個單位得到，再向左平移個單位得到，，當(dāng)時，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即值域為19．已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑【答案】(1)1(2)1 【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因為，由題可知，所以，又因為，可得，因為．由的面積，得．20．已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2) 【分析】（1）原方程可化為，結(jié)合是減函數(shù)，且可得答案；（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為有且僅有一個零點(diǎn)，根據(jù)，，再分別分析開口向上和向下的情況，得出答案.【詳解】（1）原方程等價于，即，可化為. 令，則是減函數(shù)，又，所以.（2）令得，所以，且，整理得，令，則有且僅有一個零點(diǎn)，且，，①當(dāng)時，，此時，且開口向上，所以在上有且僅有一個零點(diǎn)；             ②當(dāng)時，，此時，且開口向下且對稱軸方程為，因為，，故要使在上有且僅有一個零點(diǎn)，只要且，可得符合條件； 綜上：.21．已知銳角三角形中，角的對邊分別為，且滿足.(1)求證：；(2)若，求三角形面積的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先根據(jù)正弦定理得，然后結(jié)合余弦定理化簡整理得，解方程即可證明；（2）先利用正弦定理表示出，結(jié)合面積公式得出，利用的范圍及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】（1）由正弦定理可得，又，所以，整理得，即有，所以，即，，，則，所以，所以.（2）由（1）得，因為，由，得,設(shè)三角形的面積為，則，在銳角三角形中，,且，所以，所以，設(shè)，則，記，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即三角形面積的取值范圍.22．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且兩相鄰對稱中心之間的距離為．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的最小值．(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)的最小值為；(3). 【分析】（1）根據(jù)相鄰對稱中心的距離求出周期，得的值，根據(jù)對稱軸求出，得出解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)奇偶性的性質(zhì)列方程求的最小值．（2）將方程有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點(diǎn)，求值域的問題，由此可求的取值范圍．【詳解】（1）因為函數(shù)兩相鄰對稱中心之間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期，所以，又，所以，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，，解得：，，所以，，由，得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由（1），因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以或（舍去），，所以，，所以的最小值為．（3）當(dāng)時，，，因為關(guān)于的方程在區(qū)間上總有實數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，所以，所以，所以 

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