2022-2023學(xué)年江西省南昌市江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】用定義法，分充分性和必要性分別討論即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，都有，所以充分性滿足；反之，若，取，則或，都不在內(nèi)，故必要性不滿足.所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A2．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅(jiān)持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則為（    ）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合百分位數(shù)的概念分析運(yùn)算.【詳解】由，可得第25百分位數(shù)分別為和，則；由，可得第90百分位數(shù)分別為和，則，解得；故.故選：C.3．如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及特殊值的函數(shù)值，結(jié)合已知函數(shù)圖象，即可選擇.【詳解】由題圖可知該函數(shù)為偶函數(shù)，時的函數(shù)值接近于1，對于A，，，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除A；對于B，時，，故排除B；對于C，時，接近于1，故C符合；對于D，時，，故排除D；故選：C.4．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得：，所以，故選：A.5．已知函數(shù)的最小正周期為，，且的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若將的圖像向右平移個單位長度后圖像關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)周期范圍得出范圍，根據(jù)對稱中心得出的值，并結(jié)合范圍得出的值，即可得出的解析式，根據(jù)函數(shù)圖像平移后的解析式變化得出，即可根據(jù)圖像關(guān)于軸對稱，得出，再根據(jù)的范圍得出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】，，且，，即，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，且，即，解得，，取，，，將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，的圖像關(guān)于軸對稱，，解得，，的最小值，令，得，故選：B.6．如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，與的夾角為120°，，的夾角為150°，且，，若，則（    ）A． B． C． D．9【答案】B【分析】作的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對角線作，根據(jù)向量加法求解即可.【詳解】作的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對角線作，因?yàn)?/span>與的夾角為120°，，的夾角為150°，且，，所以，所以，，所以，所以，即即．故選：B7．在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線與，所在的直線分別交于點(diǎn)，，若，，則的最小值為（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量加減的幾何意義可得，結(jié)合已知有，根據(jù)三點(diǎn)共線知，應(yīng)用基本不等式“1”的代換即可求最值，注意等號成立的條件.【詳解】由題設(shè)，如下圖示：，又，，∴，由三點(diǎn)共線，有，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量線性運(yùn)算的幾何表示，得到、、的線性關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)共線有，再結(jié)合基本不等式求最值.8．2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（    ）A． B．76cm C．94cm D．【答案】D【分析】由題意只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，求出，，設(shè)，則，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得為銳角，故要使最大，只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)做直線的垂線，垂足為，如圖，則依題意可得（cm），（cm），，設(shè)，則，且，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為cm.故選：D. 二、多選題9．如圖，在中，若點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，設(shè)，，交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用向量的加減法則進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)向量減法可得，故A正確；因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，故B正確；由題意知是的重心，則，故C錯誤；，故D錯誤.故選：AB.10．下列命題正確的有（    ）．A．B．若，把向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)為C．在中，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的重心D．在中，若，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A利用向量的加減法運(yùn)算判定；選項(xiàng)B利用向量的坐標(biāo)表示判定；選項(xiàng)C利用三角形重心的向量表示判定；選項(xiàng)D根據(jù)條件得點(diǎn)在的角平分線上，從而有點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若，把向右平移2個單位，得到的向量的坐標(biāo)依然是，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C：由三角形的重心的向量表示可知，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的重心，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：在中，若，則點(diǎn)在的角平分線上，所以點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.11．下列命題正確的是（    ）A．在與角終邊相同的角中，最小的正角為B．若角的終邊過點(diǎn)，則C．已知是第二象限角，則D．若一扇形弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】ABC【分析】依據(jù)終邊相同角定義去判斷選項(xiàng)A；依據(jù)三角函數(shù)定義去判斷選項(xiàng)B；依據(jù)三角函數(shù)值符號判定去判斷選項(xiàng)C；依據(jù)扇形面積計(jì)算公式去判斷選項(xiàng)D即可.【詳解】選項(xiàng)A：由且，可得，故所求的最小正角.正確；選項(xiàng)B：由三角函數(shù)的定義可得.正確；選項(xiàng)C：∵是第二象限角，∴，，∴，，∴.正確；選項(xiàng)D：弧長為2，圓心角為，則扇形的半徑為，所以扇形面積為.錯誤．故選：ABC12．已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，給出下列四個結(jié)論，正確的是（    ）A．在區(qū)間上有且僅有個不同的零點(diǎn)B．的最小正周期可能是C．的取值范圍是D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)對稱軸情況可得的取值范圍，進(jìn)而判斷各選項(xiàng).【詳解】解：由函數(shù)（），令，，則，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，即有個整數(shù)符合，由，得，即，則，，，，即，，C正確；對于A，，，，當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點(diǎn)；當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點(diǎn)；故A錯誤；對于B，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故B正確；對于D，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：BC． 三、填空題13．已知角終邊上一點(diǎn)，則________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式化簡即可得解.【詳解】由誘導(dǎo)公式知，，因?yàn)榻?/span>終邊上一點(diǎn)，所以，所以原式.故答案為：14．已知，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出，進(jìn)而縮小角的范圍，然后求出，解方程組，求得，然后再用半角公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，兩邊同時平方得，又因?yàn)?/span>，所以，所以，故，所以，解得，而，所以，又，故答案為：15．已知正實(shí)數(shù)，稱為的算術(shù)平均數(shù)，為的幾何平均數(shù)，為的希羅平均數(shù)．為的邊上異于的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足且，則正數(shù)的希羅平均數(shù)的最大值是______________．【答案】【分析】設(shè)，以為基底可表示出，從而用表示出；根據(jù)算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和希羅平均數(shù)的定義，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，解得：，，，，，，.故答案為：.16．已知是角終邊與單位圓的兩個不同交點(diǎn)，且，則的最大值為__________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到，由，求得，化簡，即可求解.【詳解】令，且，且，所以，因?yàn)?/span>，可得，可得，又因?yàn)?/span>，所以，即所以，所以的最大值為.故答案為：. 四、解答題17．（1）求值；（2）求值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式的逆運(yùn)用化簡即可得出答案；（2）根據(jù)結(jié)合兩角和的正余弦公式計(jì)算，再結(jié)合兩角差的正切公式即可得解.【詳解】（1）原式.（2）原式=18．已知α為鈍角，β為銳角，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)α為鈍角，，求出，的值，進(jìn)而求出的值；（2）根據(jù)β為銳角，，求出的范圍，求出的值，即可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，.（2），.19．已知函數(shù)滿足下列條件：①周期；②圖像向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱；③.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)的周期求出的值，根據(jù)的圖像平移以及的圖像關(guān)于軸對稱，求出的值,再由求出值,解得的表達(dá)式; （2）由與的值求出,,再根據(jù)的范圍求出，,從而求出的值.【詳解】（1）∵的周期為，∴，又函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，變?yōu)?/span>，由題意，的圖像關(guān)于軸對稱，∴，，又，∴，∴函數(shù)，又，∴，解得，∴函數(shù).（2）由，，得，，∴，又，∴，，∴.20．如圖，在直角梯形中，為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于為線段上的一個動點(diǎn)．（1）用和表示；（2）求；（3）設(shè)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根據(jù)給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算求解而得；(2)選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示出而得解；(3)由動點(diǎn)P設(shè)出，結(jié)合平面向量基本定理，建立為x的函數(shù)求解.【詳解】(1)依題意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，則，，；(3)由已知，因P是線段BC上動點(diǎn)，則令，，又不共線，則有，，在上遞增，所以，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】由不共線的兩個向量為一組基底，用該基底把相關(guān)條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．21．如圖有一塊半徑為1，圓心角為的扇形鐵皮AOB，P是圓弧AB上一點(diǎn)（不包括A，B），點(diǎn)M，N分別半徑OA，OB上．(1)若四邊形為矩形，求其面積最大值；(2)若和均為直角三角形，求它們面積之和的取值范圍．【答案】(1)矩形面積最大值為.(2) 【分析】（1）連接OP，令，用表示出矩形的面積，再借助三角函數(shù)計(jì)算作答.（2）利用（1）中信息，用表示出和的面積和，再換元變形結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】（1）連接OP，如圖，令，因四邊形為矩形，則，于是得矩形的面積，而，則當(dāng)，即時，取最大值1，所以的最大值為，所以矩形面積最大值為.（2）由(1)知，，則，，和的面積和：，令，即，而，則，，則，顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，，而，因此，，所以和的面積和的取值范圍是.22．已知函數(shù)，圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差，______；（1）①的一條對稱軸且；②的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減；③向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱且從以上三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（2）在（1）的情況下，令，，若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）選①②③，；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，根據(jù)所選的條件得出關(guān)于的表達(dá)式，然后結(jié)合所選條件進(jìn)行檢驗(yàn)，求出的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；（2）求得，由可計(jì)算得出，進(jìn)而可得出，由參變量分離法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，.選①，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對稱軸，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，則，不合乎題意；若，則，則，合乎題意.所以，；選②，因?yàn)楹瘮?shù)的一個對稱中心，則，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；若，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意；所以，；選③，將函數(shù)向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，所得函數(shù)為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可得，解得，，所以，的可能取值為、.若，則，，不合乎題意；若，則，，合乎題意.所以，；（2）由（1）可知，所以，，當(dāng)時，，，所以，，所以，，，，，則，由可得，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），. 

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