一、單選題
1．點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)意義求解作答.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
故選：C
2．若過點(diǎn)，且與圓相切的直線方程為（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】驗(yàn)證點(diǎn)在圓外，然后討論切線斜率存在與不存在兩種情況即可解決.
【詳解】圓的圓心是 ，半徑是 ，
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程可知點(diǎn)P在圓外，
當(dāng)直線斜率不存在時，
直線為 ，不滿足題意；
當(dāng)直線斜率存在時，
設(shè)直線為 ，即 ，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓心到直線的距離等于半徑，即
，
解得 或 ，
切線為或 ，
故選：D.
3．已知橢圓C：的一個焦點(diǎn)為（2，0），則橢圓C的離心率為（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓方程可知值，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到值，即可求出代入離心率公式求解.
【詳解】由已知可得，，
則，
所以，
則離心率．
故選：C.
4．已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是空間任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】由空間向量四點(diǎn)共面定理可得，然后利用一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最小值即可.
【詳解】由題意因?yàn)樗狞c(diǎn)共面且平面唯一確定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得當(dāng)時，取得最小值，
所以，
故選：A
5．斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如下圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列．已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為．最短拉索的錨，滿足，，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計算，，再利用斜率的定義可解.
【詳解】根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，
且均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距均為，
則，即點(diǎn)，
同理，
又，即點(diǎn)，
所以，，
故選：C.
6．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】結(jié)合已知條件寫出直線的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，最后結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義即可求解.
【詳解】由題意知,，則直線的方程為：，
設(shè)，，
將代入的方程得，，
則，，
因?yàn)椋遥?br>所以，整理得，
故，結(jié)合，解得.
故選：C.
7．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在上任取點(diǎn)，作，設(shè)， ，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.
【詳解】
設(shè)為直線上任意一點(diǎn)， 過作，垂足為，可知此時到直線距離最短
設(shè)，，
則，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
當(dāng)時，取得最小值，
故直線與之間的距離是.
故選：B.
8．如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用雙曲線的定義，幾何關(guān)系以及對稱性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，
以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.
【詳解】設(shè) ，則 ，
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知： ，
連接 ，則有 ，

由于 在以AD為直徑的圓周上， ，
∵ABCD為平行四邊形， ， ，
在直角三角形 中，， ，
解得： ， ；
在直角三角形 中， ， ，
得 ， ，
故選：D.
二、多選題
9．已知曲線方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
B．曲線不可能為一個圓
C．若為橢圓，則其長軸長為
D．當(dāng)時，其漸近線方程為
【答案】BC
【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.
【詳解】對A，由，，
方程滿足雙曲線方程，
但焦點(diǎn)在軸上，故 A錯誤；
對B，若要曲線為一個圓，則，
而無解，故B正確；
對C，若為橢圓，則，，
又，所以，
所以，故長軸為，故C正確；
對D,由，可得，
令，可得漸近線方程為，故D錯誤.
故選：BC
10．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．M，N，A，B四點(diǎn)共面B．直線與平面相交
C．直線和所成的角為D．平面和平面的夾角的正切值為2
【答案】BCD
【分析】A：連接，根據(jù)、、與面位置關(guān)系即可判斷；B：為中點(diǎn)，連接，易得，根據(jù)它們與面的位置關(guān)系即可判斷；C：若分別是中點(diǎn)，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大?。籇：若分別是中點(diǎn)，求面和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義找到其平面角即可.
【詳解】A：連接，如下圖面，而面，面，
所以M，N，A，B四點(diǎn)不共面，錯誤；
B：若為中點(diǎn)，連接，N為棱的中點(diǎn)，
由長方體性質(zhì)知：，顯然面，
若面，而面，顯然有矛盾，
所以直線與平面相交，正確；
C：若分別是中點(diǎn)，連接，
由長方體性質(zhì)易知：，
而，故，即直線和所成的角為，
由題設(shè)，易知，即△為等邊三角形，
所以為，正確；
D：若分別是中點(diǎn)，顯然，易知共面，
所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，
而面面，長方體中，，
如下圖，為和面夾角的平面角，，正確.
故選：BCD
11．為了迎接二十大的召開，我國全體航空人以昂揚(yáng)的精神面貌、實(shí)際行動，踐行“航空報國，航空強(qiáng)國”的初心使命.2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點(diǎn).若過原點(diǎn)的直線與上半橢圓交于點(diǎn)，與下半圓交于點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓的長軸長為
B．線段長度的最大值為
C．的周長為
D．不算橢圓在軸上的端點(diǎn)，軸上方橢圓上存在2個點(diǎn)，使得
【答案】ABC
【分析】根據(jù)給定的條件，求出橢圓的短半軸長，半焦距，求出長軸長判斷選項(xiàng)A；求出長度范圍判斷選項(xiàng)B；利用橢圓的定義求出焦點(diǎn)三角形周長判斷選項(xiàng)C；計算判斷選項(xiàng)D即可求解.
【詳解】由題意可知：半圓所在橢圓的半焦距，短半軸長，得出長半軸長，則橢圓的長軸長為，故選項(xiàng)A正確；
因，，因此，故選項(xiàng)B正確；
因點(diǎn)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則的周長為：，故選項(xiàng)C正確；
由題意，顯然，在中，
，所以不可能為直角，不算橢圓在軸上的端點(diǎn)外，軸上方橢圓上不存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)錯誤，
故選：ABC.
12．圓與圓交于兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的可能取值有（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】BCD
【分析】兩圓相減可得公共弦所在的直線方程，又根據(jù)，可得到圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程，計算可得結(jié)果.
【詳解】解：因?yàn)閳A與圓交于兩點(diǎn)，所以兩圓方程相減得直線的方程：，
由，可得圓心到直線的距離為 ，
，
整理得，
時，滿足上式，不滿足上式，
故選：BCD
三、填空題
13．已知,,若,則與之間的距離為______.
【答案】3
【分析】先根據(jù)兩條直線平行得到的值,確定的方程,再根據(jù)平行線間的距離公式即可得到答案.
【詳解】,,,
,
解得,
,
根據(jù)平行線間的距離公式與之間的距離為.
故答案為:.
14．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)為___________．
【答案】3
【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離，由半徑，從而得到該圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)即可．
【詳解】解：由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，
圓心到直線的距離，
，則圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個數(shù)為是3．
故答案為：3．
15．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于某焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線的焦徑比等于，那么饋源方向角的正切值為_______.
【答案】
【分析】設(shè)拋物線方程為，由已知得，根據(jù)直線的斜率公式求得，再由正切的二倍角公式可求得答案.
【詳解】設(shè)拋物線方程為，則，又，所以，
所以，直線的斜率，
所以，所以.
故答案為：.
16．如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，點(diǎn)C滿足，且在平面內(nèi)運(yùn)動，則有以下幾個命題：
①當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是拋物線；
②當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是一條直線；
③當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是圓；
④當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是橢圓；
⑤當(dāng)時，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線.
其中正確的命題是__________.（將所有正確的命題序號填到橫線上）
【答案】②③
【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證和時C點(diǎn)的軌跡，當(dāng)時，作斜線段AB的中垂面，與平面的交線為一條直線，即為C點(diǎn)軌跡；當(dāng)時，作B在平面內(nèi)的射影為D，
連接BD，CD，在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，求C點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)軌跡方程即可判斷.
【詳解】當(dāng)時，，過AB的中點(diǎn)作線段AB的垂面，
則點(diǎn)C在與的交線上，即點(diǎn)C的軌跡是一條直線；
當(dāng)時，，設(shè)B在平面內(nèi)的射影為D，
連接BD，CD，
設(shè)，，則，
在平面內(nèi)，以AD所在直線為x軸，以AD的中垂線為y軸如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則有
則，，
，
∴，
化簡可得.
∴C的軌跡是圓.
故答案為：②③
【點(diǎn)睛】本題考查兩個平面位置關(guān)系，考查軌跡方程求法，考查計算能力，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.
四、解答題
17．已知直線的方程為
(1)若與直線垂直，求的值；
(2)若在軸，軸上的截距相等，求的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直列方程，解方程即可得到；
（2）分別求出橫縱截距，然后根據(jù)截距相等列方程，解方程得到，即可得到直線的方程.
【詳解】（1）因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得.
（2）因?yàn)闄M縱截距相等，所以橫縱截距存在，，
令，則，所以縱截距為，
令，則，所以橫截距為，
則，解得或1，所以的方程為或.
18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為棱的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的大??；
(2)求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求異面直線所成角；
（2）求平面和平面的法向量，利用空間向量法求兩個平面夾角的余弦值
【詳解】（1）如圖，底面，底面，底面，
，.
以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
，，，，，
，，
，
則異面直線與所成角的余弦值為，故異面直線與所成角的大小為.
（2）由題意可知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，即，
令，則.
.
所以平面和平面夾角的余弦值.
19．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(1)求橢圓被直線截得的弦長；
(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）時，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求出答案；
（2）因?yàn)?，所以，?lián)立方程利用韋達(dá)定理即可求出答案.
【詳解】（1）聯(lián)立方程： ，整理可得：
根據(jù)韋達(dá)定理：，
根據(jù)弦長公式橢圓被直線截得的弦長為：
（2）設(shè)，，，
聯(lián)立方程：，整理可得：
因?yàn)榇嬖趦蓚€交點(diǎn)，故，解得
根據(jù)韋達(dá)定理：，，，
因?yàn)?，所以?br>即 ，解得
20．如圖，在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿足.
(1)求點(diǎn)到平面的距離;
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量以及的方向向量，即可由點(diǎn)面距離的向量求解方法，求解即可；
（2）求得直線的方向向量，以及平面的法向量，利用向量法即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）連接，因?yàn)?，故；由面，面，故?br>故兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
，設(shè)，，，
因?yàn)?，故可得，解得，故?br>設(shè)平面的法向量，因?yàn)?br>故，令，則，故；
故點(diǎn)到平面的距離=.
（2）設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?br>故，令，則，故；
設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?
故，故.
故直線與平面所成角的余弦值為.
21．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4，直線與E交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求拋物線E的方程；
(2)以AB為直徑的圓與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若，求k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出，得到拋物線方程；
（2）聯(lián)立拋物線和直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之和，兩根之積，求出以AB為直徑的圓的圓心和半徑，再根據(jù)垂徑定理得到弦長，列出不等式，求出k的取值范圍．
【詳解】（1）∵拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4，
∴,
∴，
∴拋物線；
（2）聯(lián)立和可得，
∵直線與E交于A，B兩點(diǎn)，
且，故，
設(shè)，
∴，
則，
故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，
∵以AB為直徑的圓與x軸交于C，D兩點(diǎn)，，
∴由垂徑定理得，
∴，
故，
∴或，
∴k的取值范圍為．
22．已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到的距離與到直線的距離之比為.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，在直線，上分別取點(diǎn)A，B，當(dāng)A，B分別位于第一、二象限時，若，，求△AOB面積的取值范圍.
附：在△ABC中，若，則△ABC的面積為.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何關(guān)系中距離之比轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而求得結(jié)果；
（2）設(shè)點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)，由向量關(guān)系找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入雙曲線方程，再把所求的結(jié)果結(jié)合已知中給出的面積公式，求得△AOB面積的取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)，點(diǎn)到直線的距離為d.
由已知可得，即，
兩邊平方得，，整理得.
故動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)，，，，，
因?yàn)?，所以，?
將點(diǎn)代入雙曲線方程，得
化簡得.
所以△AOB面積為，
因?yàn)椋裕?
故△AOB面積的取值范圍.

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