2022-2023學年遼寧省部分學校高一下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過點，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由題意，得.故選：D.2．已知向量，，且，的夾角為，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出，然后對平方，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】由可得，，由數(shù)量積的定義：.于是.故選：B3．若，，則是（    ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】判斷出、的符號，由此可判斷出角的終邊所在的象限.【詳解】由，，得，，所以是第四象限角.故選:D.4．（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式和和差公式進行化簡求值.【詳解】故選：C5．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，把得到的圖象向左平移個單位長度，再把得到的圖象向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則圖象的對稱中心為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過正切函數(shù)圖象變換求出，然后利用整體代換法求解函數(shù)的對稱中心.【詳解】由題意，得，由，得，所以圖象的對稱中心為.故選：D.6．如圖，在正方形網(wǎng)格中，螞蟻甲從點爬到了點，螞蟻乙從點爬到了點，則向量與夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立合適的坐標系后，使用夾角公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點，為2個單位長度，建立直角坐標系，則，，，，，所以向量，夾角的余弦值為.故選：C7．若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的面積為，由三角函數(shù)線結(jié)合得到答案.【詳解】畫出的三角函數(shù)線，如下：則，，，設(shè)扇形的面積為，則，，又，故，所以，，因為，所以.所以.故選：A8．某超市2022年從1月到12月冰激凌的銷售數(shù)量與月份近似滿足函數(shù)，該超市只有8月份冰激凌的銷售數(shù)量達到最大值，最大值為8500，只有2月份冰激凌的銷售數(shù)量達到最小值，最小值為500，則該超市冰激凌的銷售數(shù)量不少于6500的月份共有（    ）A．4個月 B．5個月 C．6個月 D．7個月【答案】B【分析】通過最大值與最小值求出，利用最值橫坐標之差求出，代入最值，根據(jù)，求出值，則得到，列出不等式，求出的范圍即可.【詳解】由題意，得，，由，得，所以.因為，所以，所以，所以，又，所以當時，，故.由，得，則，所以，當時，，又，所以，7，8，9，10，即該超市冰激凌的銷售數(shù)量不少于6500的月份數(shù)是5.故選：B. 二、多選題9．已知某時鐘的分針長4cm，將快了5分鐘的該時鐘校準后，則（    ）A．時針轉(zhuǎn)過的角為B．分針轉(zhuǎn)過的角為C．分針掃過的扇形的弧長為D．分針掃過的扇形的面積為【答案】BC【分析】根據(jù)分針轉(zhuǎn)一圈為60分，時針轉(zhuǎn)一圈為12小時，分別求得其圓周角，再利用弧長公式和面積公式求解.【詳解】由題意，得時針轉(zhuǎn)過的角為，分針轉(zhuǎn)過的角為，分針掃過的扇形的弧長為，面積為.故選：BC.10．已知點，，，，則（    ）A． B．C． D．四邊形為直角梯形【答案】BCD【分析】由向量的坐標表示逐一計算即可.【詳解】由題意得，故A錯誤；，因為，所以，故B正確；，而，所以，且,結(jié)合，可得四邊形為直角梯形，故CD正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)，且，在上的圖像與直線恰有2個交點，則的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先利用誘導(dǎo)公式將化簡為，利用條件，得到，再利用在上的圖像與直線恰有2個交點，從而求出的范圍，得到結(jié)果.【詳解】，，又因為，，即.又在上的圖像與直線恰有2個交點，由，得到，所以或，得到或，，當取1時，由，得到，當取0，1時，由，得到，，所以且，即，故或.故選：AC12．若，則的值可能為（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和恒等變換求解.【詳解】因為，，，，所以，由選項可知，AC符合.故選：AC. 三、填空題13．若，則______，______【答案】          【分析】利用正切的和角及倍角公式，再利用條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：，.14．LED（發(fā)光二極管）是一種能夠?qū)㈦娔苻D(zhuǎn)化為可見光的固態(tài)的半導(dǎo)體器件，它可以直接把電轉(zhuǎn)化為光.LED燈的抗震性能非常好，被廣泛運用于手機、臺燈、家電等日常家電.如圖，小明同學發(fā)現(xiàn)家里的LED燈是正六邊形形狀的，其平面圖可簡化為正六邊形，若向量在向量方向上的投影為，則______.【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可計算.【詳解】如圖，，過點作垂直于直線，垂足為，因為，所以，則，在方向上的投影為.故答案為：15．若，則的取值范圍是______.【答案】【分析】將化簡得到求解.【詳解】解：由，得，得，因為，所以的取值范圍是.故答案為：16．在正方形中，，，分別為線段，上的動點，且，則的取值范圍為______.【答案】【分析】設(shè)，確定，由正弦定理表示出的長，根據(jù)數(shù)量積定義求得的表達式，結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，，得，，所以,由，得，得，所以,故答案為： 四、解答題17．已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式將題干條件化簡，然后所得分式的分子分母同時除以，得到的方程后進行求解；（2）待求表達式補上一個分母：，然后分子分母同時除以即可.【詳解】（1）依題意得，，解得（2）.18．已知點，，，為線段的中點，為線段上靠近的三等分點.(1)求，的坐標.(2)在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答.問題：按角分類，判斷______的形狀，并說明理由.（注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分） 【答案】(1)的坐標為，的坐標為(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式求出的坐標，先得到，從而得到點的坐標；（2）根據(jù)數(shù)量積的正負判斷角的類型，得到三角形的形狀.【詳解】（1）因為，故的坐標為，，故，所以，即的坐標為；（2）選①，為鈍角三角形，理由如下：由（1）可知，，，因為，所以為銳角.易得，因為，所以為銳角.因為，所以為鈍角.故為鈍角三角形.選②，為銳角三角形.理由如下：由（1）可知，，，因為，所以為銳角.易得，因為，所以為銳角.因為，所以為銳角.故為銳角三角形.19．已知向量，，函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，，是的三個內(nèi)角，且，求的取值范圍.【答案】(1)遞減區(qū)間為(2) 【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標表示、二倍角正余弦公式、輔助角公式化簡得，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求減區(qū)間；（2）根據(jù)已知可得，再確定的范圍，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【詳解】（1），由，得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，得，，所以或，即或（舍去），因為，所以，則，則，故，所以的取值范圍為.20．在平行四邊形中，點和點關(guān)于點對稱，.(1)用，表示，；(2)若為線段上一點，且，求.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）結(jié)合圖形，由向量的加法和減法、數(shù)乘運算求解即可；（2）由向量的運算得出，再由，得出的值.【詳解】（1）由題意，可得，.（2）設(shè)，，則，因為，所以所以.21．已知，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)兩角和差公式用已知角表示未知角求解即可；（2）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和差公式求解即可.【詳解】（1）由，得，因為，所以，則.（2）由，得，得，得.由，得，因為，所以，故22．若函數(shù)滿足，且，，則稱為“型函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“型函數(shù)”，并說明理由；(2)已知為定義域為的奇函數(shù)，當時，，函數(shù)為“型函數(shù)”，當時，，若函數(shù)在上的零點個數(shù)為9，求的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)是“型函數(shù)”，理由見解析(2) 【分析】（1）判斷出關(guān)于直線對稱，且最小正周期為，由定義可判斷出答案；（2）由題意得到的零點為，0，1，即或或，由對稱性和周期性畫出在上的圖象，數(shù)形結(jié)合求出.【詳解】（1）由，得，所以的周期為，由，，得的圖象關(guān)于直線對稱，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又的最小正周期為，所以函數(shù)是“型函數(shù)”.（2）令，得，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以的零點為，0，1.令，所以或0或1，即或或.畫出在上的圖象，由的圖象關(guān)于直線對稱，可畫出在上的圖象.由的最小正周期為，可畫出在上的圖象.故在上的圖象如圖所示，所以函數(shù)在上的零點個數(shù)等于在上的圖象與直線，，的交點個數(shù)之和.當，即時，在上的圖象與直線，，的交點個數(shù)之和為9.故的取值范圍為【點睛】函數(shù)零點問題：將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決. 

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