一、單選題
1．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.
【詳解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集個(gè)數(shù)為.
故選：C
2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到，即可判斷.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，則的虛部為；
故選：C
3．已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．－3C．D．3
【答案】B
【分析】直接根據(jù)夾角的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.
【詳解】，
，
,，
解得.
故選：B．
4．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先將函數(shù)化簡為“一角一函數(shù)”的形式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性建立的關(guān)系式，求其最小值．
【詳解】，
所以，
由題意可得，為偶函數(shù)，所以，
解得，又，所以的最小值為．
故選：A.
5．已知為第一象限角.，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，兩邊平方求出，判斷的正負(fù)并求出，再利用同角公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?，則，，
，即，解得，，
所以.
故選：D
6．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為（ ）
（參考公式：）
A．1450B．1490C．1540D．1580
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件及合情推理中的歸納推理，利用參考公式及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解．
【詳解】由于“三角形數(shù)”可以寫為，
故第層“三角形數(shù)”為，
所以層時(shí)，三角錐垛垛球的總個(gè)數(shù)為：
，
所以若一“落一形”三角錐垛有20層，
則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為，
故選：C．
7．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)求導(dǎo)和參數(shù)與變量的分離即可求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
則對(duì)任意的，，即，
當(dāng)時(shí)，，
故.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
8．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有8個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，然后利用換元法，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合判斷根的個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由，
得，
解得或，
作出的圖象如圖，
則若，則或，
設(shè)，由得，
此時(shí)或，
當(dāng)時(shí)，，有兩根，
當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)根，
則必須有，有個(gè)根，
設(shè)，由得，
若，由，得或，
有一個(gè)根，有兩個(gè)根，此時(shí)有個(gè)根，不滿足題意；
若，由，得，有一個(gè)根，不滿足條件.
若，由，得，有一個(gè)根，不滿足條件；
若，由，得或或 ，
當(dāng)，有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，有個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，此時(shí)共有個(gè)根，滿足題意.
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：
(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．
二、多選題
9．若p：，則p成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，然后根據(jù)條件p成立的一個(gè)充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可得到結(jié)果.
【詳解】，解得或
又
則p成立的一個(gè)充分不必要條件是和
故選:CD.
10．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由異號(hào)，利用不等式性質(zhì)以及基本不等式即可判斷各選項(xiàng)的正誤；
【詳解】即異號(hào)；
∴成立，故A正確，而B錯(cuò)誤；
又，故C正確；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確
故選：ACD
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，根據(jù)兩數(shù)異號(hào)，結(jié)合不等式性質(zhì)以及基本不等式判斷正誤，屬于簡單題；
11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在圓：上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最大值為
B．以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為：
C．當(dāng)最大時(shí)，的面積為
D．的面積的最大值為
【答案】ABD
【分析】由求得最大值判斷A；以為直徑的圓方程與圓的方程相減判斷B；當(dāng)與圓相切時(shí)，求出三角形的面積判斷C；求出點(diǎn)到直線的距離最大值，計(jì)算判斷D作答.
【詳解】顯然點(diǎn)在圓：外，點(diǎn)在圓內(nèi)，圓的半徑為2，
直線方程為，圓心在直線上，
對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是射線與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，A正確；
對(duì)于B，以為直徑的圓方程為，與圓的方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)得，
因此以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為：，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，即，此時(shí)，
，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，到直線：的距離最大值為2，因此的面積的最大值為，D正確.
故選：ABD
12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的對(duì)稱性逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)A：∵為偶函數(shù)，則，
兩邊求導(dǎo)可得，
∴為奇函數(shù)，則，
令，則可得，則，A成立；
對(duì)B：令，則可得，則，B成立；
∵，則可得，
，則可得，
兩式相加可得：，
∴關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，
則，D成立，
又∵，則可得，
，則可得，
∴以4為周期的周期函數(shù)，
根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)已知等式進(jìn)行求導(dǎo)、利用偶函數(shù)的性質(zhì).
三、填空題
13．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】，
則，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故答案為：.
14．如圖，在正四棱臺(tái)中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺(tái)的各個(gè)面均相切，則該球的表面積 ．
【答案】
【分析】作出正棱臺(tái)以及球的截面圖，作輔助線結(jié)合圓的切線性質(zhì)，求得球的半徑，即可求得答案.
【詳解】設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點(diǎn)，與面，面分別切于點(diǎn)，
作出其截面如圖所示，則，，
于是，
過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則，
由勾股定理可得︰,
所以，
所以該球的表面積，
故答案為：
15．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，且，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】首先證明四邊形為矩形，設(shè)，得到方程組
，解出即可.
【詳解】連接，因?yàn)椋?br>所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
又，所以四邊形為矩形，
設(shè)
則由題意得，解得，
則，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：.
四、雙空題
16．若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且為的一個(gè)零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞 （填增或減），函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
【答案】 增 9
【分析】①根據(jù)在上具有單調(diào)性得到，根據(jù)為的一個(gè)零點(diǎn)得到，綜合可得，，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；②將的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后根據(jù)圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)樵谏暇哂袉握{(diào)性，
所以，即，．
又因?yàn)椋?br>所以，即，
只有，符合要求，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增．
因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，，
作出函數(shù)與的圖象，由圖可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖像共有9個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9．
故答案為：增；9.
五、解答題
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算求通項(xiàng)公式即可；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和即可.
【詳解】（1）由已知①，可知當(dāng)時(shí)，②，
兩式①-②得：，
當(dāng)時(shí)，，符合上式，
所以；
（2）令，所以，
故③，
④，
兩式③-④得，
即.
18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，且AC邊上的高為，求的周長．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，從而得到；
（2）由比例引入常數(shù)，利用三角形面積相等得到，從而利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得到，由此得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由得，
所以，解得或，
因?yàn)?，所以，則，故，
則，故．
（2）因?yàn)?，令，則，
由三角形面積公式可得，則，故，
由余弦定理可得，則，解得，
從而，，，故的周長為．
19．已知函數(shù).
(1)當(dāng)a = 2時(shí)，求在上的最值；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)在上的最大值為，最小值為.
(2)
【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性根據(jù)單調(diào)性求最值即可；
（2）分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)后分析單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）
令，
在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，
在上，，
在上，.
（2）因?yàn)?，使得?br>所以，
令，
即，
因?yàn)椋?br>設(shè)，
所以在單調(diào)遞減，又，
則當(dāng)，當(dāng)，
故函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
的最大值為
所以，，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
20．在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在棱上，．
(1)求證：平面平面；
(2)若，，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作于點(diǎn)，進(jìn)而得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；
（2）過點(diǎn)作于，連接，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系證明平面得到，，再求的體積，再根據(jù)結(jié)合勾股定理與基本不等式得當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積最大，最后建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】（1）解：作于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在棱上，
所以平面，平面，
所以，
又為矩形，
所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面.
（2）解：過點(diǎn)作于，連接，
因?yàn)?，，?br>所以，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，且，
，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>所以，且，，
所以的體積，
在中，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)四棱錐的體積最大，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為.
21．已知數(shù)列滿足：，正項(xiàng)數(shù)列滿足：，且，，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求：；
(3)求證：.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意可得為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，再分別求解公差與公比即可；
（2）代入化簡可得，再分組根據(jù)等差數(shù)列與裂項(xiàng)相消求和即可；
（3）放縮可得，再裂項(xiàng)相消求和即可.
【詳解】（1）由題意知，為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
又，，，∴，∴，.
∴，，∴.
（2）由，
∴
；
（3），
，
∴
.
∵，∴成立，
時(shí)，也成立，∴.
22．已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將原式變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
若，則，無極值；
若，由，可得，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
此時(shí)，函數(shù)有唯一極小值，無極大值；
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
此時(shí)，函數(shù)有唯一極大值，無極小值；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無極大值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，無極小值；
（2）證明：由，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，
當(dāng)時(shí)，，，
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
而，時(shí)，恒成立，
因此，當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，
記，，
則 ，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，
于是，而，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題以及極值點(diǎn)偏移問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合其單調(diào)性證明.

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