2022-2023學(xué)年福建省福州第十五中學(xué)高一下學(xué)期期中適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，故，故選：B2．在 △ABC中，已知角，，則角C=A． B．C． D．或【答案】D【詳解】由正弦定理： 可得： ，則角C=或.本題選擇D選項(xiàng).3．設(shè)為基底向量，已知向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量共線定理列式求解計(jì)算.【詳解】易知，又A，B，D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，所以的值是.故選：A4．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以 ，當(dāng)時(shí)，，所以  ，即所以“”是“”的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】此題考查充分條件，必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5．若向量，滿足同，，，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合向量垂直的充分必要條件和向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由向量垂直的充分必要條件有：，即，據(jù)此可得：，設(shè)與的夾角，則：,故,即與的夾角為.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直的充分必要條件，向量夾角的計(jì)算公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6．已知，則＝（    ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用三角恒等變換將化簡，結(jié)合化簡的結(jié)果，即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>，所以，故選:A7．設(shè)函數(shù)，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再判斷出，，的大小關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由和在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，.故選：D．8．設(shè)函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分段函數(shù)分段處理，顯然有1個(gè)零點(diǎn)，所以有4個(gè)零點(diǎn)，利用三角函數(shù)求出所有的零點(diǎn)，保證之間有4個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，顯然單調(diào)遞增，且，，所有此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所有當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，令，即，解得，由題可得區(qū)間內(nèi)的4個(gè)零點(diǎn)分別是，所以即在之間，即，解得故選：A 二、多選題9．下列命題中真命題的是（    ）A．，反向 B．若，則C．已知向量，，向量在向量上的投影為 D．向量，不可以作平面基底【答案】AD【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義判斷A，根據(jù)零向量和向量垂直的定義判斷B，根據(jù)投影計(jì)算C，根據(jù)共線向量判斷D.【詳解】對于A：，反向，即，所以，故充分性成立，若，則，則，所以，反向，故A正確；對于B：若，則、至少有一個(gè)為零向量（或）或、均不為零向量，所以不一定成立，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?/span>，，所以，，所以向量在向量上的投影為，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?/span>，，所以，即，所以向量，不可以作平面基底，故D正確；故選：AD10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)具有以下哪些性質(zhì)（    ）A．最大值為，圖象關(guān)于直線對稱B．圖象關(guān)于y軸對稱C．最小正周期為D．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱【答案】BCD【分析】由三角函數(shù)的圖象變換可求出函數(shù)的解析式，然后利用余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對各選項(xiàng)逐一分析即可求解.【詳解】解：由題意，，對A：的最大值為，最小值為，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：因?yàn)?/span>，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故選項(xiàng)B正確；對C：由周期公式有，所以函數(shù)的最小正周期為，故選項(xiàng)C正確；對D：因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，則下列說法正確的是（    ）A．B．若，則點(diǎn)為的外心C．若，則一定是等腰三角形D．若，則點(diǎn)為的內(nèi)心【答案】ABD【分析】由正弦定理判斷A；利用向量的線性運(yùn)算，判定點(diǎn)為的外心；由正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C；由單位向量以及向量垂直的性質(zhì)判斷點(diǎn)為的內(nèi)心.【詳解】對于A項(xiàng)，，由正弦定理可得，故A正確；對于B項(xiàng)，，，，故點(diǎn)為的外心，故B正確；對于C項(xiàng)，由正弦定理可得，，，或，或，為等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，為的單位向量，為單位向量三角形的第三邊，且為菱形的對角線，由，點(diǎn)在的平分線上，同理點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)為的內(nèi)心，故D正確；故選：ABD12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．在上為減函數(shù)C．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心 D．方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】CD【分析】根據(jù)和的奇偶性可推導(dǎo)得到，，由可知A錯(cuò)誤；推導(dǎo)可得，知C正確；作出圖象，結(jié)合圖象知B錯(cuò)誤；將解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可知D正確.【詳解】為奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)對稱；為偶函數(shù)，，即，關(guān)于對稱；由，得：，，即是周期為的周期函數(shù)；對于A，，A錯(cuò)誤；對于C，，即，關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，C正確；對于BD，由周期性和對稱性可得圖象如下圖所示，由圖象可知：在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，，結(jié)合圖象可知：與共有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.故選：CD. 三、填空題13．已知為銳角，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，求出，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式求出即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>為銳角，所以，故答案為：.14．如果函數(shù)是奇函數(shù)，則__．【答案】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)，.故答案為：15．蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得米， ，，，則蜚英塔的高度是_______米．【答案】35【分析】設(shè)米，則可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，從而可求出蜚英塔的高度【詳解】設(shè)米，因?yàn)?/span>，，，所以，在中，，，則由余弦定理得,，解得，所以蜚英塔的高度是35米，故答案為：3516．已知平面向量，，且滿足，若為平面單位向量，則的最大值________【答案】【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出與的夾角，根據(jù)條件，可設(shè)，再設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積公式，以及三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得出，即可求出結(jié)果.【詳解】解：，設(shè)與的夾角為，，，又，則，不妨設(shè)，再設(shè)，則，即，所以的最大值為.故答案為：. 四、解答題17．已知平面向量，滿足，，.（1）求；（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由給定條件求出，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式即可得解；(2)根據(jù)向量夾角為銳角借助數(shù)量積列出不等關(guān)系即可作答.【詳解】（1）依題意，，得，，所以；（2）由向量與的夾角為銳角，可得，即有，解得，而當(dāng)向量與同向時(shí)，可知，綜上所述的取值范圍為.18．已知的角，，的對邊分別為，，，設(shè)向量，，.(1)若，求證：為等腰三角形；(2)若，邊長，角，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)，利用向量平行的坐標(biāo)表示，再由正弦定理將角化邊，即可證明；（2）根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，再根據(jù)余弦定理，兩式聯(lián)立可直接求得，并求得三角形的面積.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，且，所以，由正弦定理可得，即，顯然，所以，所以是等腰三角形.（2）因?yàn)?/span>，且，所以，整理得，根據(jù)余弦定理可得，即，即，所以 解得（舍）或 ，所以，所以的面積是.19．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）、.【分析】（1）由圖象可得出函數(shù)的最小正周期的值，可求出，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，結(jié)合的取值范圍可求得的值，由可求得的值，綜合可得出函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)圖象變換求得，求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與定義域取交集可得結(jié)果.【詳解】（1）由圖可得函數(shù)的最小正周期為，所以，， ，則，，則，，則，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，所以，；（2）由題意可得，令，，得，，記，則.因此，函數(shù)在上的增區(qū)間是、.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.20．如圖，在梯形中，已知，，，，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的余弦值和正弦值，然后利用兩角和的正弦公式可求得結(jié)果；（2）在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則為鈍角，由，可得，．.（2）在中，由正弦定理得，即，解得,因?yàn)?/span>，則，且，所以，，在中，由余弦定理得，即，解得或（舍）．所以.21．中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)若，試判斷的形狀，并說明理由；(2)若為銳角三角形，其外接圓半徑為，求周長的取值范圍.【答案】(1)為直角三角形，理由見解析(2) 【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及已知條件可求得角、的值，即可判斷出的形狀；（2）利用正弦定理可得出，利用三角恒等變換可得出，求出角的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，則，由已知，可得，，此時(shí)為直角三角形.（2）解：由正弦定理可得，則，因?yàn)?/span>為銳角三角形，則，可得，所以，則，且，因此.22．如圖，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，設(shè)，，，，且，與交于點(diǎn).(1)求；(2)若點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，連接，求的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算表示，，根據(jù)向量垂直的條件求得，繼而可求得；（2）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)點(diǎn)，且，，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：，，又，所以，所以，由得，所以.所以；（2）解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，，，，，又點(diǎn)為線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值：，當(dāng)或時(shí)，取得最小值：，所以的取值范圍為. 

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