2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市北票市高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，所以.故選：D2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為，則（    ）A．1 B．i C．－i D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得，故，故選：B.3．已知向量，，，則（    ）.A． B． C．6 D．－6【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，由可知，代入坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．【詳解】由得，即，所以，故選：A．4．“”是“函數(shù)的最小值大于4”的（    ）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】解：若，則的最小值為；若的最小值大于4，則，且，則，故選：C．5．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a等于（    ）A． B． C．1 D．－1【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義并結(jié)合垂直的條件，列式求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又該切線與直線垂直，因此，解得，所以.故選：A6．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，由單調(diào)性比較大小可得．【詳解】設(shè)，則，時(shí)，，是減函數(shù)，又，所以，即，故選：D．7．以雙曲線C：的實(shí)軸與虛軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形各邊中點(diǎn)恰在雙曲線的漸近線上，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式可得在直線上，即可代入求解.【詳解】由題意可得實(shí)軸的頂點(diǎn)為虛軸的頂點(diǎn)為，故4個(gè)中點(diǎn)為，雙曲線的漸近線為，因此不妨考慮點(diǎn)在直線上，所以，，雙曲線C的離心率，故選：A.8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，則（    ）A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，即，又因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以函數(shù)的周期為，因?yàn)?/span>，則，故選：B. 二、多選題9．端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國四大傳統(tǒng)節(jié)日，吃粽子是端午節(jié)習(xí)俗，其節(jié)日形象早已深入人心.下圖為年中國“世代”（指出生年代在年年之間的一代人）群體與白領(lǐng)群體偏愛的粽子包裝風(fēng)格柱形圖：根據(jù)該圖，下列說法正確的是（    ）A．“世代”群體與白領(lǐng)群體偏愛簡約風(fēng)格的粽子包裝的占比都超過B．白領(lǐng)群體同時(shí)偏愛簡約風(fēng)格與中國風(fēng)的粽子包裝的占比低于C．“世代”群體偏愛其他風(fēng)格的占比是白領(lǐng)群體偏愛其他風(fēng)格的占比的倍以上D．“世代”群體偏愛二次元風(fēng)的占比超過白領(lǐng)群體偏愛二次元風(fēng)的占比【答案】ACD【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】“世代”群體與白領(lǐng)群體偏愛簡約風(fēng)格的粽子包裝的占比分別為、，都超過，A正確；對于偏愛其他風(fēng)格的比例，“世代”群體占比，白領(lǐng)群體占比，C正確；“世代”群體偏愛二次元風(fēng)占比，白領(lǐng)群體偏愛二次元風(fēng)占比，D正確；白領(lǐng)群體同時(shí)偏愛簡約風(fēng)格與中國風(fēng)的粽子包裝的占比約為，B錯(cuò)誤，故選：ACD.10．已知圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則直線的方程可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】將圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，根據(jù)圓心到直線距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，圓，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離，對于A，圓心為到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對于B，圓心為到直線的距離，故B正確；對于C，圓心為到直線的距離，故C正確；對于D，圓心為到直線的距離，故D正確；故選：BCD11．定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則ω的可能取值是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由定義運(yùn)算結(jié)合輔助角公式，得函數(shù)解析式，再求平移后的函數(shù)解析式，由此函數(shù)為偶函數(shù)，求出ω的值，對照選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，可得的圖像，再根據(jù)所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，可得，求得，令，可得；令，求得.故選：BC.12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項(xiàng)．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯(cuò)的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時(shí)，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯(cuò)了，那選項(xiàng)容易判斷錯(cuò)了． 三、填空題13．若服從正態(tài)分布，且，則的值為______.【答案】8【分析】由正態(tài)分布知和關(guān)于對稱.【詳解】由題意知，解得.故答案為：8.14．某學(xué)校舉辦班主任經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，共有五名老師參加演講，在安排出場順序時(shí)，甲、乙兩人需要排在一起，這樣出場順序一共有______種.（用數(shù)字作答）【答案】48【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可求解.【詳解】將甲乙兩個(gè)人看作是一個(gè)整體，與另外三個(gè)人全排列，即，故答案為：4815．過橢圓C：上一點(diǎn)作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)，，則______.【答案】或【分析】根據(jù)橢圓的對稱性以及圓的性質(zhì)可分圓心為原點(diǎn)O和圓心在y軸上兩種情況，即可由點(diǎn)點(diǎn)距離以及對稱求解.【詳解】以PQ為直徑的圓過，，則線段MN的垂直平分線過圓心，即直徑PQ的中點(diǎn)在y軸上，當(dāng)圓心為原點(diǎn)O，所以，，.當(dāng)圓心在y軸上且不在原點(diǎn)處時(shí),由橢圓的對稱性可知圓心為,由符合要求故故答案為：或16．已知四棱錐的外接球O的表面積為，平面ABCD，且底面ABCD為矩形，，設(shè)點(diǎn)M在球O的表面上運(yùn)動(dòng)，則四棱錐體積的最大值為______.【答案】48【分析】由球的表面積求出半徑，將四棱錐補(bǔ)成長方體，長、寬、高分別設(shè)為a、b、c，則，可得矩形ABCD面積的最大值，再求出四棱錐高的最大值，得到體積的最大值.【詳解】球O的表面積為，則半徑，將四棱錐補(bǔ)成長方體，長、寬、高分別設(shè)為a、b、c，則，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).矩形ABCD面積的最大值為，要使四棱錐的體積最大，只需點(diǎn)M為平面ABCD的中心與球心O所在的直線與球的其中一個(gè)離平面ABCD較遠(yuǎn)的交點(diǎn)，，，可求得體積最大值為.故答案為：48 四、解答題17．如圖，在中，已知，是邊上的一點(diǎn)，，，.（1）求的面積；（2）求邊的長.【答案】（1）；（2）【詳解】分析：（1）在中，根據(jù)余弦定理求得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的長．詳解：（1）在中，由余弦定理得，∵為三角形的內(nèi)角，，     ， ．（2）在中，，由正弦定理得：∴．點(diǎn)睛：解三角形時(shí)首先要確定所要解的的三角形，在求解時(shí)要根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)判斷使用正弦定理還是余弦定理以及變形的方向，另外求解時(shí)注意三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)的靈活應(yīng)用．18．在公比為2的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，所以，因此；（2）由（1）可知：，所以，則，所以①，②，①-②得，，化簡得，解得，19．如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.(1)求證：∥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由面面平行判斷定理證平面BFC平面ADE，再證∥平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由向量法即可求【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)平面CDF的法向量為，則，取得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為20．某公司計(jì)劃對A產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，前期針對A產(chǎn)品的售價(jià)以及相應(yīng)的市場份額進(jìn)行調(diào)研，所得數(shù)據(jù)如下表（1）所示.根據(jù)前期的銷售情況，公司征求了所有員工對產(chǎn)品定價(jià)的看法，所得數(shù)據(jù)如表（2）所示表（一）A產(chǎn)品售價(jià)x（千元）223140A產(chǎn)品所占市場份額y0.50.30.08表（2） 認(rèn)為定價(jià)應(yīng)該超過3000元認(rèn)為定價(jià)不能超過3000元40歲以上員工（含40歲）1005040歲以下員工150150(1)根據(jù)表（1）數(shù)據(jù)建立A產(chǎn)品所占市場份額y與定價(jià)x之間的回歸直線方程（回歸直線方程的斜率和截距均保留兩位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)表（2）中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品定價(jià)的高低與員工的年齡具有相關(guān)性？(3)若按照年齡進(jìn)行分層抽樣，從表（2）中認(rèn)為定價(jià)應(yīng)該超過3000元的員工中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記40歲以下員工的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1);(2)有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品定價(jià)與員工年齡有關(guān);(3) 【分析】（1）直接進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，套公式求出回歸方程；（2）套公式計(jì)算，對著參數(shù)下結(jié)論；（3）利用古典概型的概率公式直接計(jì)算.【詳解】（1）由題意可得：，.所以，.所以.即回歸直線方程為.（2）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析可得：.所以有99%的把握認(rèn)為產(chǎn)品定價(jià)與員工年齡有關(guān)；（3）進(jìn)行分層抽樣，年齡在40歲以上的有人，年齡在40歲以上的有人.從這5人中隨機(jī)抽取3人，恰有1人年齡在40歲以上的概率為.即從這5人中隨機(jī)抽取3人，恰有1人年齡在40歲以上的概率為.21．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與C的交點(diǎn)為A，B.當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，.(1)求C的方程；(2)C上是否存在定點(diǎn)P使得（其中，分別為直線PA，PB的斜率，且兩點(diǎn)不重合）？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)，，則有，結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦公式即可求出值；（2）假設(shè)在C上存在定點(diǎn)滿足題意，設(shè)直線l的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上計(jì)算，從而得到，利用因式分解結(jié)合方程恒成立即可求出的坐標(biāo).【詳解】（1）直線l的斜率為1時(shí)，直線l的方程為，由得，設(shè)，，則.由定義可知，，，所以，所以，此時(shí)，即點(diǎn)重合，故C的方程為.（2）假設(shè)在C上存在定點(diǎn)，使得.當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時(shí)，不合題意；設(shè)直線l的方程為，與聯(lián)立方程組，消去x并整理得，考慮不重合的一般情況，由，得且.設(shè)，，則，，從而，即，整理得，此式恒成立，所以，.故在C上存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采取設(shè)線法，首先單獨(dú)討論斜率不存在和為0時(shí)不合題意，然后設(shè)直線l的方程為，再聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，對計(jì)算并整理直至將韋達(dá)定理式代入得，利用因式分解和方程恒成立即可得到的坐標(biāo).22．已知函數(shù).(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)若，求證：.【答案】(1)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)(2)證明見解析 【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)得到，設(shè)，再對求導(dǎo)，可得在上是增函數(shù)，則，即可求出單調(diào)性.(2)用導(dǎo)數(shù)法判斷在上的單調(diào)性，從而得到在處有最大值，令，再用導(dǎo)數(shù)法求出在處的最大值為，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，設(shè)，則在上是增函數(shù)，所以.所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）證明：由(1)知，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，且，，所以存在，使得，即，且時(shí)，，，遞增，時(shí)，，遞減，所以時(shí).設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，.即. 

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