2022-2023學(xué)年遼寧省朝陽市凌源市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，，則.故選：B.2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡即可得出答案.【詳解】．故選：A.3．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將三個數(shù)，和中間量1與2來比較，即得大小關(guān)系.【詳解】因為，，，所以．故選：C.4．已知點P在圓 上，則點P到x軸的距離的最大值為（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)圓的一般方程求出圓心半徑，再結(jié)合問題計算即可.【詳解】圓 ,即圓  圓心為，半徑，得點P到x軸的距離的最大值為.故選：B.5．如圖，某幾何體由兩個同底的圓臺組成,已知,該幾何體的體積為,則該幾何體的高（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)臺體的體積公式求解即可.【詳解】根據(jù)臺體的體積公式,得,即,解得,即.故選:C.6．已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為 ，若 恒成立，則的解集為（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令函數(shù)，則 ，因為 所以. 是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.7．如圖,某手鏈由10顆較小的珠子(每顆珠子相同)和11顆較大的珠子(每顆珠子均不相同)串成,若10顆小珠子必須相鄰,大珠子的位置任意,則該手鏈不同的串法有（    ）A．種 B．種 C．種 D． 種【答案】B【分析】相鄰問題利用捆綁法解決即可.【詳解】將10顆小珠子看成一個整體,不同的串法有種.故選:B.8．在四面體中，，，向量與的夾角為，若，，則該四面體外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將四面體補形為直三棱柱，與余弦定理可得的長，再由正弦定理可得外接圓的半徑，從而得到外接球的半徑，即可得到結(jié)果.【詳解】將四面體補成如圖所示的直三棱柱，因為向量與的夾角為，所以，則，外接圓的半徑，該四面體外接球的半徑，所以該四面體外接球的表面積為．故選:D 二、多選題9．某社區(qū)醫(yī)院工作人員在社區(qū)內(nèi)開展了“如何護(hù)理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參與講座的每人發(fā)放了一份相關(guān)的知識問卷．該講座結(jié)束后，共收回問卷100份．據(jù)統(tǒng)計，這100份問卷的得分（滿分為100分）近似服從正態(tài)分布，下列說法正確的是（    ）附：若，則，，．A．這100份問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)的期望是80，標(biāo)準(zhǔn)差是25B．這100份問卷中得分超過85分的約有16份C．D．若在其他社區(qū)開展該知識講座并發(fā)放知識問卷，得到的問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)也服從正態(tài)分布【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布，得到， ，可判定A錯誤；求得，可判定B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可判定C正確；根據(jù)同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，可判定D錯誤．【詳解】由題意得，該問卷得分?jǐn)?shù)據(jù)服從正態(tài)分布，可得數(shù)據(jù)的期望是，方差是 ，標(biāo)準(zhǔn)差是，所以A錯誤；由，可得，所以該問卷中得分超過85分的約有16份，所以B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得，所以C正確；由同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤．故選：BC.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的圖象可以由函數(shù)的圖象（    ）A．先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，再向左平移個單位長度得到B．先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，再向右平移個單位長度得到C．先向右平移個單位長度，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>得到D．先向右平移個單位長度，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>得到【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出解析式，進(jìn)而判斷圖象的平移過程即可.【詳解】由圖象得，的圖象經(jīng)過點和，代人解析式得，結(jié)合圖象得，又，，，所以，故．先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得，再向左平移個單位長度得到；先向右平移個單位長度，得，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>得到.而B、C平移過程不滿足.故選：AD11．已知等比數(shù)列的前n項積為,且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．的公比為C． D．【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)可求出；B選項，結(jié)合A選項和題干條件可得公比；C選項，注意到的前項大于，第項后均在中，，故取到最大值；D選項，利用等比數(shù)列的基本量進(jìn)行證明.【詳解】因為，所以，A正確；因為，解得，B正確；注意到，故時，；時，，所以或時，取到最大值，C錯誤；因， 左邊等于右邊成立，D正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．在上單調(diào)遞增B．的最大值為1C．當(dāng)時，D．若函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】對于選項AB，通過對函數(shù)求導(dǎo)，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，即可判斷出選項AB的正誤；對選項C，通過構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可判斷出選項C的正誤；對于選項D，令，從而得到，再利用的單調(diào)性即可判斷出選項D的正誤.【詳解】選項AB，易知的定義域為，，所以，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項A錯誤，選項B正確；選項C，令，則 ，因為，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項C正確；選項D，令，由，得到，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當(dāng)趨近于0時，趨近于0，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以時，恒有，所以，如圖1，當(dāng)或時，無解，則無零點，不合題意；當(dāng)時，時，，由，得到，即時，則有且只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，有兩個解，因為，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個零點，符合題意；所以恰有兩個零點時，，故選項D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解． 三、填空題13．已知單位向量，滿足，則_______．【答案】/【分析】根據(jù)向量的運算法則和數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】因為，所以．故答案為：.14．雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為_______．【答案】/【分析】根據(jù)點到直線的距離公式求出，并根據(jù)離心率公式求解即可.【詳解】由于對稱性，令右焦點到漸近線，即的距離為2，所以，又，∴，∴．故答案為: .15．一個裝有水的圓柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一個半徑為1cm的球狀物體后，水面高度為6cm，如圖所示.已知該水杯的底面圓半徑為3cm，若從時刻開始，該球狀物體的半徑以1cm/s的速度變長(在該球狀物體膨脹的過程中，該球狀物體不吸水，且始終處于水面下，杯中的水不會溢出)，則在時刻，水面上升的瞬時速度為__________ cm/s.【答案】4【分析】根據(jù)體積公式求出函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)可以求得瞬時速度.【詳解】杯中水的體積為 設(shè)在該過程中水面高度為h，則 即 令函數(shù)    則 故在時刻，水面上升的瞬時速度為4 cm/s.故答案為：4.16．已知數(shù)列滿足記，為坐標(biāo)原點，則面積的最大值為_____________.【答案】4【分析】先由遞推公式推出為等比數(shù)列，求出其通項公式，用累加法求出的通項公式，再列出關(guān)于面積的函數(shù)式，求出其最值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，所以是以4為首項為公比的等比數(shù)列，所以，由累加法得：所以因為，所以，令函數(shù)，則.當(dāng)時，，而，所以在上單調(diào)遞減.，故面積的最大值為4.故答案為：4. 四、解答題17．第十四屆全國人民代表大會第一次會議于2023年3月5日上午開幕，3月13日上午閉幕．某校為了鼓勵學(xué)生關(guān)心國家大事，了解學(xué)生對新聞大事的關(guān)注度，進(jìn)行了一個隨機問卷調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果如下表所示． 男學(xué)生女學(xué)生合計關(guān)注度極高454085關(guān)注度一般51015合計5050100(1)若從該校隨機選1名學(xué)生，已知選到的學(xué)生對新聞大事的關(guān)注度極高，求他是男學(xué)生的概率；(2)用頻率估計概率，從該校隨機選20名學(xué)生，記對新聞大事關(guān)注度極高的學(xué)生的人數(shù)為，求的期望．【答案】(1)(2)17 【分析】（1）由條件概率公式求解即可；（2）從該校隨機選1名學(xué)生，求出該學(xué)生對新聞大事關(guān)注度極高的概率，由題意得，由二項分布的期望公式求解即可.【詳解】（1）記事件為“選到的是男學(xué)生”，記事件為“選到的學(xué)生對新聞大事的關(guān)注度極高”．．（2）從該校隨機選1名學(xué)生，該學(xué)生對新聞大事關(guān)注度極高的概率為．由題意得，則．18．已知等差數(shù)列 滿足   .(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為.證明 .【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算即可；（2）應(yīng)用裂項相消法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明可得.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列 的公差為d，則     所以    故 （2）   因為函數(shù)  在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以  故 19．如圖，在正三棱柱A?B?C?-ABC中，D為AB的中點， .(1)若證明:DE⊥平面A?B?E；(2)若直線BC?與平面A?B?E所成角為求λ的值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先證明A?B?⊥平面DCC?F，得到DE⊥A?B，再證明DE⊥平面A?B?E即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出線面角即可得解.【詳解】（1）證明：取A?B?的中點F，連接EF，DF，DC，FC?.由題意，得所以DE2+EF2=DF2，則DE⊥EF.因為A?B?⊥C?F，A?B?⊥DF，平面DCC?F，所以A?B?⊥平面DCC?F，又平面DCC?F，所以DE⊥A?B，因為A?B?∩EF=F，平面A?B?E，所以DE⊥平面A?B?E.（2）以D為坐標(biāo)原點，DB，DC，DF的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)設(shè)平面A?B?E的法向量為，則.取則設(shè)直線BC?與平面A?B?E所成的角為θ，則，化簡得，解得或當(dāng)時，點E與點C?重合，此時λ=0，不符合題意.所以，即λ的值為20．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并給予解答：問題：銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，___________，求周長的取值范圍．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理和兩角和的正弦公式，求得，得到，若選①：由正弦定理化簡得到，根據(jù)為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得，得到周長的取值范圍；若選②，由正弦定理化簡得到，由為銳角三角形，求得，進(jìn)而求得，得到周長的取值范圍.【詳解】解：因為，由正弦定理得，又因為，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以，若選①：若，由正弦定理，可得，所以，因為為銳角三角形，則滿足，可得，則，所以，可得，則周長的取值范圍為．若選②：若，由正弦定理，可得，因為為銳角三角形，則滿足，可得，則，所以，所以，則周長的取值范圍為．21．已知離心率為的橢圓經(jīng)過點A（2，1）．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過點A且斜率為的直線與橢圓C相交于P ，Q兩點，若直線AP與直線AQ的斜率之積為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)定值為 【分析】（1）將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，并與離心率聯(lián)立求出 ；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，再根據(jù)條件即可證明.【詳解】（1）由題可知，  ，解得， ，故橢圓C的方程為；（2）直線l的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則 ，由題意，必須有 ，即 必須滿足 ，此時，．，整理得，因為l不經(jīng)過點A，所以，所以，即，故k為定值，且該定值為；綜上，橢圓C的方程為，k為定值，且該定值為.【點睛】在計算過程中，是對直線l的k和m的一個約束，因為l必須經(jīng)過橢圓C內(nèi)部的點；對的因式分解比較難，不容易看出.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的圖像在點處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.【答案】(1)y=2x(2){1} 【分析】（1）先求出切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值，通過對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，又 ，所以，故的圖像在點處的切線方程為，即.（2）解法一：因為恒成立，恒成立，令函數(shù)，則  ①當(dāng)時，在區(qū)間恒成立，此時g(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，又，易知，所以，故不合題意，②當(dāng)時，由 可得  即令，則在區(qū)間上恒成立所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為， 所以存在，使得，兩邊同時取對數(shù)可得，則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，，故要使恒成立，只需，令，則，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ，即， 所以只有唯一解，即.綜上，a的取值集合為.解法二：由題意可得恒成立，令 ，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，又因為，要使恒成立，則是的極小值點，又因為，所以，解得. 當(dāng)時，令，，所以時，，時，，所以，滿足題意.綜上，a的取值集合為.【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式恒成立問題，解題方法是把不等式變形為，然后由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，解不等式即可得參數(shù)范圍． 

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