2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末抽測高二年級數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 拋物線的準線方程是（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線準線方程的概念即可選出選項.【詳解】解:由題知,所以,且拋物線開口向上,所以其準線方程為:.故選:D2. 雙曲線的漸近線方程是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的標準方程可直接求得雙曲線的漸近線的方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的標準方程求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.3. 在軸上截距為，傾斜角為的直線方程為（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜截式直接整理可得.【詳解】因為傾斜角為，所以斜率.由斜截式可得直線方程為：，即.故選：A4. 中國古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里數(shù)是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第七天走的里數(shù)為（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，馬每天行走的里程數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)第天行走的里數(shù)為，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；由七天一共行走了700里可得，解得，所以，即該馬第七天走的里數(shù)為.故選：B5. 已知函數(shù)，則（）A.  B. 1 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知，又，故，故選：B6. 已知集合和分別是由數(shù)列和的前100項組成，則中元素的和為（）A. 270 B. 273 C. 363 D. 6831【答案】A【解析】【分析】先求出數(shù)列和的公共項，滿足公共項小于等于數(shù)列的100項，求出項數(shù)，然后再求和.【詳解】設(shè)數(shù)列的第項與數(shù)列的第項相等，即，所以.又因為，所以，所以數(shù)列與數(shù)列的公共項構(gòu)成的數(shù)列為.又因為的第100項為403，而的，所以則中元素的和為：.故選：A7. 已知分別為橢圓的左?右頂點，點在直線上，直線與的另外一個交點為為坐標原點，若，則的離心率為（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題，設(shè)，可得直線PA方程為：，將其與橢圓方程聯(lián)立，后利用韋達定理可表示出Q坐標，后利用可得答案.【詳解】由題，設(shè)，因A，則直線PA方程為：.將其與橢圓方程聯(lián)立：，消去y并化簡得：，由韋達定理有：.又，則.代入，可得，則.又，則.則.故選：C8已知，則（）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而有，即；令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，從而有，即，即可得答案.【詳解】設(shè)，則有，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，即有，故；令，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，即，故，綜上所述，則有.故選：B【點睛】方法點睛：對于比較大小的題目，常用的方法有：(1)作差法；(2)作商法；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 已知曲線，則下列說法正確的是（）A. 若是橢圓，則其長軸長為B. 若，則是雙曲線C. C不可能表示一個圓D. 若，則上的點到焦點的最短距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可知若為橢圓，則焦點在軸上，進而可判斷A,進而可判斷BC，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷D.【詳解】由于，所以，對于A,當時，故表示焦點在軸上的橢圓，故橢圓的長軸長為，故A錯誤,對于B,當時，是雙曲線，故B正確,對于C,由于，故C不可能表示一個圓，故C正確，對于D,時，，表示焦點在軸上的橢圓，且此時故橢圓上的點到焦點的最小距離為，故D錯誤,故選:BC10. 已知數(shù)列滿足，則（）A. B. 的前10項和為C. 的前11項和為D. 的前16項和為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得進而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷AB,根據(jù)并項求和可判斷C,根據(jù)正負去絕對值以及等差數(shù)列求和可判斷D.【詳解】由得：當時，，兩式相減得，故，當時，也符合，故對于A,,故A正確，對于B，的前10項和為，故B錯誤，對于C，的前11項和為，故C正確,對于D,當，解得所以所以的前16項和為,故D正確，故選：ACD11. 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點,拐點在統(tǒng)計學(xué)?物理學(xué)?經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用.若的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,的導(dǎo)函數(shù)都存在,且的導(dǎo)函數(shù)也都存在.若,使得,且在的左?右附近,異號,則稱點為曲線的拐點.則以下函數(shù)具有唯一拐點的是（）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拐點的定義及零點存在定理對選項求二階導(dǎo)函數(shù),判斷其是否有異號零點即可.【詳解】關(guān)于選項A:,所以,,根據(jù)拐點定義可知,沒有拐點;關(guān)于選項B:,所以,即,解得,且時,,時,,故為的拐點;關(guān)于選項C:,,令,解得,且時,,時,,故為的拐點;關(guān)于選項D:,,,因為,,所以,使得成立,由于在是連續(xù)不斷可導(dǎo)的,所以在有異號函數(shù)值,故存在拐點.故選:BCD12. 在平面直角坐標系中，已知橢圓的左?右焦點分別為，點，在橢圓上，且，則（）A. 當不在軸上時，的周長為6B. 使是直角三角形的點有4個C. D【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形即可判斷AB，根據(jù)坐標運算以及兩點間距離公式即可判斷D,由D的結(jié)論，結(jié)合不等式以及坐標運算即可判斷C.【詳解】中,對于A,的周長為，故A正確，對于B，當點在橢圓的上下頂點時，此時故,因此當點在橢圓上時，不可能為直角，故當為直角三角形時，此時或，故滿足條件的有4個，故B正確，設(shè),由于,則由于,，進而得，即可，化簡得，，故為定值，故D正確，對于C,由D可知，故,當且僅當,即時取等號，故，又，故當有一個為0時，取最大值為，故,故C錯誤，故選：ABD【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量垂直得坐標之間的關(guān)系，進而為消去變量起到了重要的作用三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知直線，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】由可得，得，故答案為：14. 已知等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比中項以及等差數(shù)列基本量的計算即可化簡求解.【詳解】由得,所以,故答案為：15. 已知函數(shù),若恒成立,則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】恒成立即在上恒成立,只需即可,構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性及最大值即可.【詳解】解:由題知恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,即,記,所以,當時,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,所以,所以.故答案為:16. 已知拋物線的焦點為為上一點，以線段為直徑的圓與交于另外一點為圓心，為坐標原點.當時，的長為______，點到軸的距離為______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】易知焦點，根據(jù)在拋物線上設(shè)出坐標，易知圓心為的中點即可求出，由利用斜率相等可得，再根據(jù)直徑所對的圓周角為可得，即，利用向量數(shù)量積為0可得，聯(lián)立及可解得，根據(jù)兩點間距離公式可得，點到軸的距離為其橫坐標的絕對值等于.【詳解】由題意知在拋物線上，設(shè)，，如下圖所示：拋物線焦點，圓心為的中點，所以由可得，即，整理可得，即；又因為為直徑，且點在圓上，所以，又因為，所以，可得，又，即，整理得，聯(lián)立可得，解得或（舍）所以，因此；點到軸的距離為點橫坐標的絕對值，即故答案為：，【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用幾何關(guān)系實現(xiàn)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，將直線平行轉(zhuǎn)化成斜率相等，將直徑所對的圓周角為直角轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為0，從而得出坐標之間的等量關(guān)系在進行計算求解.四?解答題：本題6小題，共70分.解答應(yīng)寫出件字說明?證明過程或演算步驟.17. 在①,②,③這三個條件中選擇兩個,補充在下面問題中,并進行解答.已知等差數(shù)列的前項和為,______,______.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.注:如果選擇多組條件分別解答,按第一個解答計分. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)是等差數(shù)列,設(shè)出公差為,選擇兩個選項,將首項公差代入,解方程組,即可求得基本量,寫出通項公式;(2)根據(jù)(1)中的通項公式,寫出的通項,利用裂項相消即可求得前項和.【小問1詳解】由于等差數(shù)列,設(shè)公差為,當選①②時:,解得,所以的通項公式.選①③時:,解得,所以的通項公式.選②③時:,解得,所以的通項公式.【小問2詳解】由(1)知,,所以,所以.18. 已知圓，圓.（1）判斷與的位置關(guān)系；（2）若過點的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.【答案】（1）外切（2）或【解析】【分析】（1）計算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直線驗證即可；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用勾股定理結(jié)合點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.因為，所以圓與圓外切.【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以，直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為， 由題意可得，即，解得或，經(jīng)檢驗，或均符合題意.所以直線的方程為或.19. 某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進行配套綠化.如圖，已知空地的一邊是直路，余下的外圍是拋物線的一段，的中垂線恰是該拋物線的對稱軸，是的中點.擬在這塊地上劃出一個等腰梯形區(qū)域種植草坪，其中均在該拋物線上.經(jīng)測量，直路段長為60米，拋物線的頂點到直路的距離為40米.以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.  （1）求該段拋物線的方程；（2）當長為多少米時，等腰梯形草坪面積最大？【答案】（1）（2）20米【解析】【分析】(1)，把兩點坐標代入求解即可；(2)，由梯形的面積公式，可得梯形的面積為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知當時，該函數(shù)有唯一的極大值點，則改點也是函數(shù)的最大值點，即可求解.【小問1詳解】設(shè)該拋物線的方程為，由條件知，，所以，解得，故該段拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）可設(shè)，所以梯形的面積，設(shè)，則，令，解得，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù).所以當時，取得極大值，也是最大值.故當長為20米時，等腰梯形草坪的面積最大.20. 已知曲線在點處的切線與軸的交點為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，求使得成立的正整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)切線方程的求解得切線方程為，得，即可判斷為等比數(shù)列，進而進行求解，（2）根據(jù)錯位相減法求解，即可根據(jù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】因為，所以，所以曲線上點處的切線方程為.令，得，即，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.故的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，所以，兩式相減得，，所以.因為，所以，又，所以使得成立的正整數(shù)的最小值為8.21. 已知雙曲線的左?右焦點分別為，且，過的直線與的左支交于兩點，當直線垂直于軸時，.（1）求的標準方程；（2）設(shè)為坐標原點，線段的中點為，射線交直線于點，點在射線上，且，設(shè)直線的斜率分別為，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程結(jié)合韋達定理求出點坐標，根據(jù)題意得出，，由斜率計算公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】將代入雙曲線可得，由條件知，解得.所以的標準方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理得，，則設(shè)，則，所以.所以直線的方程為，則，因為，所以，所以.所以.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.22. 已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的極小值；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負即可求解，（2）求導(dǎo)，分類討論，結(jié)合零點存在性定理即可求解.【小問1詳解】當時，，令，解得，列表如下：0極小值所以的極小值為.【小問2詳解】函數(shù)有兩個零點即有兩個零點.因為，①當時，在上是增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；②當時，由得，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù).（i）若，則，最多只有一個零點；（ii）若，因為，且，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點.令，則，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù).所以，故.所以，又，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點.綜上可知：當時，有兩個零點，故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
 

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