2023年賈汪中學(xué)高二下學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1. 已知集合，集合，則（    ）A. 且 B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本函數(shù)的定義域和值域求法求出，從而求出交集.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得：，由基本初等函數(shù)的值域可得，故.故選：C.2. 已知函數(shù)，則A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求得，進而可求得的值，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，故答案為．【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中合理應(yīng)用分段函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3. 某廠安排名工人到三個崗位值班，每名工人只去一個崗位，每個崗位至少安排名工人，則安排工人甲?乙到同一個崗位值班的方法數(shù)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先將人分為個小組，再將個小組安排到三個崗位即可.【詳解】依題意，可分兩步安排：第一步，將人分為個小組，按小組人數(shù)可分為人、人、人和人、人、人兩類，人、人、人分組，甲、乙同組，另外人中，選出人同組，有種方法，人、人、人分組，除甲、乙的另外人中，選出人與甲、乙同組，剩余人各自一組，有種方法，∴第一步共有種方法；第二步，將組分別安排到三個崗位，有種方法，∴滿足題意的安排方法數(shù)有種.故選：B.4. 某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為（    ） 參考數(shù)據(jù)：，，．A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合對稱性得出數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù).【詳解】由題意可知，，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為.故選：B5. 某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：千臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表：年份2019202020212022年份代號x1234年銷量y1520m35若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸直線方程為，則表中m的值為（    ）A. 25 B. 28 C. 30 D. 32【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，即可代入求解.【詳解】由已知得，回歸直線方程為過樣本點中心，∴，即，∴．故選：C．6. 設(shè),,，則,,的大小關(guān)系是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，進而可得結(jié)果.【詳解】∵，，，即，，∴，故選C.【點睛】本題考查了指數(shù)的運算法則、對數(shù)的運算法則與單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7. 雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”.為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇.Peukert于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式，其中為Peukert常數(shù).在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時，放電時間，則當(dāng)放電電流時，放電時間為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出蓄電池的容量C，再把代入，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得時，，即；時，；，.故選：A.8. 袋中有個球，其中紅、黃、藍、白、黑球各一個，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件甲和乙至少一人摸到紅球，事件甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，事件甲、乙只有一人摸到紅球，則，，因此，.故選：D.二、多選題（每小題5分，共20分）9. 下列各式正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】對于A，由可判斷；對于B，根據(jù)二項式系數(shù)和公式可判斷；對于CD，根據(jù)排列數(shù)的計算公式可驗證.【詳解】對于A，由得，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD10. 已知，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一分析判斷即可.【詳解】解：因為，所以，又，所以，故A正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故B錯誤；由，得，所以，故C正確；由，，得，則，所以，故D正確.故選：ACD.11. 下列說法正確的是（    ）A. 線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱B. 將一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都乘2022后，方差也變?yōu)樵瓉淼?/span>2022倍C. 已知回歸模型為，則樣本點的殘差為D. 對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)、方差的性質(zhì)、殘差的計算以及獨立性檢驗的計算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱，故錯誤；對：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都乘2022后，方差變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，故錯誤；對：當(dāng)時，，所以樣本點的殘差為，故正確；對：對于獨立性檢驗，隨機變量的觀測值值越小，則“兩變量有關(guān)系”的把握程度越小，則判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大，故正確.故選：．12. 如圖，已知正方體的棱長為2，點M為的中點，點P為正方形上的動點，則（    ）A. 滿足MP//平面的點P的軌跡長度為B. 滿足的點P的軌跡長度為C. 存在點P，使得平面AMP經(jīng)過點BD. 存在點P滿足【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點的軌跡，進而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，為正方形上的點，可設(shè)，且，，進而對BCD各個選項進行計算驗證即可判斷并得到答案.【詳解】對于A，取的中點，的中點，又點為的中點，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點的軌跡為線段，故A正確；對B，方法一：在平面中過作，交于，設(shè)，則，，，由，可解得，同理，在平面中過作，交于，可得，因為，所以平面，因為，所以平面，所以點P的軌跡為線段，長度為，故B不正確；方法二：以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，，即，又，，則點的軌跡為線段，,且，故B錯誤；對于C，方法一：取中點，連接，正方體中，易得，所以平面截正方體的截面為平面，顯然平面，故不存在點P，使得平面AMP經(jīng)過點B，故C錯誤；方法二：設(shè)，且，，若平面AMP經(jīng)過點B，則，且，又,所以，即，因此，從而，不合題意，所以不存在點P，使得平面AMP經(jīng)過點B,故C錯誤；對于D，方法一：延長至，令，則，所以，因為，所以存在點滿足，故D正確.方法二：點關(guān)于平面的對稱點的為，三點共線時線段和最短，故，故存在點滿足，故D正確.故選：AD.三、單空題（每小題5分，共20分）13. 已知空間向量，，，若，，共面，則______．【答案】【解析】【分析】由空間向量基本定理結(jié)合題意列方程求解即可.【詳解】若，，共面，則存在實數(shù)，使，即所以，解得，，．所以．故答案為：14. 若的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項為________.【答案】【解析】【分析】由的展開式中的各項系數(shù)的和為2，令x=1，求得，寫出的展開式的通項，分別乘以，，再令的指數(shù)為0求得值，則展開式中的常數(shù)項可求．【詳解】解：由的展開式中的各項系數(shù)的和為2，令，得，得．，的通項．的展開式中的通項有和．令，得，則展開式中的常數(shù)項為；令，得，則展開式中的常數(shù)項為，所以該展開式的常數(shù)項為80-40=40.故答案為：．15. 設(shè)函數(shù)，集合，則如圖中陰影部分表示的集合為__________．【答案】【解析】【分析】集合A表示函數(shù)的定義域，集合B表示函數(shù)的值域，先求出兩集合，而陰影部分表示的是從中去掉的部分即可.【詳解】因，， 所以 ，因為陰影部分表示的是從中去掉的部分所構(gòu)成的集合，所以陰影部分表示的集合為，故答案為：16. 《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點，，，，若，則_________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可以解決問題.【詳解】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， ，，，，，則 所以 又因為所以 故答案為： 四、解答題（第17題10分、第18-22題12分，共70分）17. 已知集合 ，.（1）命題p：x∈A，命題q: x∈B，且p是q的必要非充分條件，求實數(shù)m的取值范圍:（2）若A∩B≠求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)要使p是q的必要不充分條件，則 B ? A即可；(2)求時m的取值范圍，然后求其補集.【小問1詳解】因為p是q的必要不充分條件，所以B ? A，B集合：，所以B不可能為空集，因為，所以，集合，所以或，分別解不等式組，取并集后可得.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時：或，解之得：或，則時，.18. （1）高二（10）班元旦晚會有2個唱歌節(jié)目a和b；2個相聲節(jié)目c和d．要求排出一個節(jié)目單，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，列出所有可能的排列.（2）甲乙丙丁戊已庚7個人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少種不同排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）（3）從4名男教師和5名女教師中選出4名教師參加新教材培訓(xùn)，要求有男有女且至少有2名男教師參加，有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1），bcda，bdca；（2）432；（3）80【解析】【分析】（1）利用排列的定義即得；（2）利用捆綁法，插空法即得；（3）由題可分選2名男教師與2名女教師，選3名男教師與1名女教師兩類，即得.【詳解】（1）歌唱節(jié)目記為a，b，相聲節(jié)目記為c，d，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目排列為：，bcda，bdca. （2） 甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個元素與除甲乙丙丁戊外的兩個元素排列，然后排其內(nèi)部順序，再在3個元素形成的4個空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有種排法.（3）選2名男教師與2名女教師，共有種選法；選3名男教師與1名女教師，共有種選法，所以共有種選法.19. 如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）依據(jù)面面垂直判定定理去證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量的方法去求二面角的正弦值.【小問1詳解】設(shè)，連接，  在菱形中，為中點，且，因為，所以，又因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】作平面，以為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，則，，因為，，所以為二面角的平面角，所以，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得取，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得取，則，，所以，設(shè)二面角為，則，又，則.20. 某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學(xué)校號召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價10分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，求（1）在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生的概率；（2）記隨機選取的兩人得分之和為X，求X的期望．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式即可求得答案；（2）方法一：根據(jù)女生參加活動的人數(shù)確定變量的可能取值，計算每個取值對應(yīng)的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；方法二：分別計算出一名女生和一名男生參加活動可獲得分?jǐn)?shù)的期望，設(shè)恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，計算出變量Y的期望，即可求X的期望.【小問1詳解】設(shè)“有女生參加活動”事件A，“恰有一名女生參加活動”為事件B．則，，所以．【小問2詳解】方法一: “選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，則，，．由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列為X2030405060P所以．方法二：根據(jù)題意，一名女生參加活動可獲得分?jǐn)?shù)的期望為，一名男生參加活動可獲得分?jǐn)?shù)的期望為．設(shè)恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，所以．【點睛】難點點睛：本題考查了條件概率的計算，比較基礎(chǔ)，第二問考查隨機變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計算每種情況相應(yīng)的概率，計算較復(fù)雜，計算量較大，需要思維縝密，計算仔細。21. 航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志，帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展．2022~2023學(xué)年全國青少年航天創(chuàng)新大賽設(shè)航天創(chuàng)意設(shè)計、太空探測、航天科學(xué)探究與創(chuàng)新三個競賽單元及載人航天主題專項賽．某校為了激發(fā)學(xué)生對航天科技的興趣，點燃學(xué)生的航天夢，舉行了一次航天創(chuàng)新知識競賽選拔賽，從中抽取了10名學(xué)生的競賽成績，得到如下表格：序號i12345678910成績（分）38414451545658647480記這10名學(xué)生競賽成績的平均分與方差分別為，．經(jīng)計算，．（1）求與；（2）規(guī)定競賽成績不低于60分為優(yōu)秀，從這10名學(xué)生中任取3名，記競賽成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列；（3）經(jīng)統(tǒng)計，航天創(chuàng)新知識選拔賽成績服從正態(tài)分布，用，的值分別作為，的近似值，若科創(chuàng)中心計劃從全市抽查100名學(xué)生進行測試，記這100名學(xué)生的測試成績恰好落在區(qū)間的人數(shù)為Y，求Y的均值．附：若，則，，．【答案】（1），    （2）分布列見解析    （3）【解析】【分析】（1）由公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式，即可求解概率，進而可得分布列，（3）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合區(qū)間的概率以及二項分布的期望公式即可求解.【小問1詳解】，；【小問2詳解】競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，則X的可能取值為0，1，2，3，則，，，．則X分布列為：X0123P【小問3詳解】由題意，，，記抽查學(xué)生的測試成績?yōu)?/span>，則，∴這100名學(xué)生的測試成績恰好落在區(qū)間的入數(shù)為，∴．22. 如圖是一個質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，一向上的指針固定在圓盤中心，盤面分為A，B，C三個區(qū)域每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時，指針最終都會隨機停留在A，B，C中的某一個區(qū)域現(xiàn)有一款游戲：每局交10元錢隨機轉(zhuǎn)動上述轉(zhuǎn)盤3次；每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時，指針停留在區(qū)域A，B，C分別獲得積分10，5，0；三次轉(zhuǎn)動后的總積分不超過5分時獲獎金2元，超過25分時獲獎金50元，其余情況獲獎金5元.假設(shè)每次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤相互獨立，且指針停留在區(qū)域A，B的概率分別是p和.（1）設(shè)某人在一局游戲中獲得總積分為5的概率為，求的最大值點；（2）以（1）中確定的作為值，某人進行了5局游戲，設(shè)“在一局游戲中獲得的總積分不低于5”的局?jǐn)?shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；（3）有人注意到：很多玩家進行了大量局?jǐn)?shù)的該游戲，不但沒賺到錢，反而輸?shù)迷絹碓蕉?/span>.請用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識給予解釋.【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）先求得，然后利用導(dǎo)數(shù)求得.（2）利用二項分布的知識求得.（3）設(shè)每一局游戲中獲得的獎金數(shù)為X，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而作出解釋.【詳解】（1）由題可知，所以，令，得或(舍去)，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故的最大值點.（2）由（1）知，所以每一局游戲中總積分不低于5的概率，由題意可知，所以.（3）設(shè)每一局游戲中獲得的獎金數(shù)為X，則X的所有可能取值為2，5，50；，，，所以，令，則，.因為在單調(diào)遞增，所以，在單調(diào)遞增，.所以，每局游戲獲得獎金的期望遠低于所交的錢數(shù)，玩得越多，輸?shù)迷蕉?/span>.

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