2024高考數(shù)學一輪復習講義（步步高版）第二章　§2.7　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

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2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)，并能簡單應用．
知識梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
當n為奇數(shù)時，eq \r(n,an)＝a，
當n為偶數(shù)時，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
3．指數(shù)冪的運算性質(zhì)
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
常用結論
1．指數(shù)函數(shù)圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,?－4?4)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函數(shù)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1的值域是(0，＋∞)．( × )
(4)若am0，且a≠1)，則m0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值為2，則a＝________.
答案 2或eq \f(1,2)
解析 若a>1，則f (x)max＝f(1)＝a＝2；若00)．
解 (1)(－1.8)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))2)－eq \f(1,\r(0.01))＋eq \r(93)
＝1＋
＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2×eq \f(1,100)×8＝eq \f(4,25).
思維升華 (1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：
①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．
②運算的先后順序．
(2)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．
跟蹤訓練1 計算：
(1) ；
(2).
解 (1)因為eq \r(a－3)有意義，所以a>0，
所以原式＝＝eq \r(3,a3)÷eq \r(a2)＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
題型二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應用
例2 (1)(多選)已知非零實數(shù)a，b滿足3a＝2b，則下列不等關系中正確的是( )
A．a(chǎn)