2023屆江西省宜春市高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．設(shè)全集，或，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算得到，進(jìn)而求出交集.【詳解】，故故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】由題可得，所以，故選:A.3．非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的投影為（    ）A．－1 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)投影公式計(jì)算出正確答案.【詳解】由于，所以，由于與的夾角為，所以，在上的投影為.故選：C4．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的最大值是（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點(diǎn)的位置，此時(shí)取得最大值為.故選：B.5．從棱長為2的正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)到中心的距離不小于1的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何概型概率問題的計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】點(diǎn)到中心距離小于等于1的幾何體是以中心為球心，1為半徑的球體.所以，取到的點(diǎn)到中心的距離不小于1的概率為.故選：C6．若則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減且，所以，即，所以；又因?yàn)?/span>，所以，，即，所以.故選：A.7．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)，公式和定理，若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：若正整數(shù)與不互質(zhì)，則為3的倍數(shù)，共有個(gè)，故，∵，即數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故.故選：D.8．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后與函數(shù)圖象重合，下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．函數(shù)最小正周期為【答案】C【分析】由對(duì)稱性求得，由圖象平移變換求得，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性，單調(diào)性，周期判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知，，，又，∴，，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；時(shí)，，C正確；的最小正周期是，D錯(cuò)．故選：C．9．在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念得出該旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐的組合體，作出軸截面，得出內(nèi)切球于心位于對(duì)稱軸上，由平行線性質(zhì)求得球半徑后可得球體積．【詳解】由題意該幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐的組合體，如圖是其軸截面，由對(duì)稱性知其內(nèi)切球球心在上，到的距離相等為球的半徑，設(shè)其為，因?yàn)?/span>是直角，所以是正方形，即，由得，即，解得，球體積為．故選：C．10．如圖，設(shè)，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在兩條漸近線上，且滿足，，則雙曲線C的離心率為（    ）A．2 B．2 C． D．【答案】C【分析】先求出 所在的直線方程，分別與兩條漸近線聯(lián)立方程組，求出 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出 之間的關(guān)系，從而可得雙曲線的離心率【詳解】由題意： ， , , 所以直線 的方程為：  ①直線 的方程為：    ②直線 的方程為：  ③聯(lián)立①②可得：  ，即 聯(lián)立①③可得  ，即 又 可得 ，化簡可得 ，即 ， 故選：C11．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得 ,再因?yàn)閷?duì)任意不等式恒成立，，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①,②,由①-②可得，當(dāng) 時(shí),,當(dāng),當(dāng),,當(dāng)，所以,對(duì)任意不等式恒成立,所以 ,.所以.故選:C.12．已知函數(shù)，且，則的最大值為（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意表示出從而推導(dǎo)出將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值.【詳解】由題意知，即因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，則，所以，所以，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，所以故選：A. 二、填空題13．已知，則到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是___________.（寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)就可以）【答案】上的任意一點(diǎn)都可以【分析】根據(jù)定積分的幾何意義先求出，再寫出到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)表示一個(gè)圓.【詳解】由于表示以為圓心，1為半徑且在第一、二象限的圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，其面積是半徑為1的圓的面積的一半，即為.所以,到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)是圓上的點(diǎn).故答案為：上的任意一點(diǎn).14．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值的范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，然后由圓與圓的位置關(guān)系可得的范圍．【詳解】設(shè)，則，，即，在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故答案為：．15．已知某線路公交車從6:30首發(fā)，每5分鐘一班，甲、乙兩同學(xué)都從起點(diǎn)站坐車去學(xué)校，若甲每天到起點(diǎn)站的時(shí)間是在6:30--7:00任意時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙每天到起點(diǎn)站的時(shí)間是在6:45-7:15任意時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，那么甲、乙兩人搭乘同一輛公交車的概率是___________________【答案】【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)甲和乙到達(dá)的分別為6時(shí)分、6時(shí)分，則，，他們能搭乘同一班公交車，則，．試驗(yàn)包含的所有區(qū)域是，，他們能搭乘同一班公交車所表示的區(qū)域?yàn)?/span>，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)甲和乙到達(dá)的分別為6時(shí)分、6時(shí)分，則，，則試驗(yàn)包含的所有區(qū)域是，，他們能搭乘同一班公交車所表示的區(qū)域?yàn)?/span>或或，則他們能搭乘同一班公交車的概率．故答案為：16．如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面；②存在點(diǎn)，使得；③直線與所成角的余弦值的最小值為；④三棱錐的外接球的表面積為.其中正確的結(jié)論序號(hào)為___________.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合異面直線所成角，以及棱錐外接球半徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可.【詳解】對(duì)①：當(dāng)H為DE的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接， 因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，又平面平面，故//面，故①正確；對(duì)②：因?yàn)?/span>平面，平面，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，設(shè)，，若，則，不滿足題意，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：，，，，，，，，令，設(shè)，，，則，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，則，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：由題可得平面，又面為正方形，∴，∴AB⊥平面BCF，則AB，BC，CF兩兩垂直，∴AF為三棱錐的外接球的直徑，又，∴三棱錐的外接球表面積為，故④正確.故答案為：①④. 三、解答題17．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求證：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為 【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和差正弦化簡即可證明.（2）將問題轉(zhuǎn)化 ，根據(jù)第一問解得，然后結(jié)合不等式求解.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得，又，因?yàn)?/span>,所以,所以,又,所以，且,所以，故.（2）由（1）得，所以，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，且，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.18．如圖1，在直角梯形中，，點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿邊折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖2所示），且.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明，，可證得平面，即可證得平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，由勾股定理求，又，利用體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：由題意，連接，因?yàn)?/span>，，是邊的中點(diǎn)，所以，則，又是邊的中點(diǎn)，則，在折起中.又，所以，又，平面，平面，故平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）中取的中點(diǎn)，連接，由（1）可知，平面，所以，而，，所以，同理，所以，所以是等腰三角形，所以，又，即，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.19．為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實(shí)施車牌競價(jià)策略，以控制車輛數(shù)量.某地車牌競價(jià)的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競拍人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2023年5月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價(jià)，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競拍的人數(shù)（見表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份編號(hào)12345競拍人數(shù)（萬人）1.72.12.52.83.4 (1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)（萬人）與月份編號(hào)之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程：，并預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù).(2)某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)200位擬參加2023年5月份車牌競拍人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：報(bào)價(jià)區(qū)間（萬元）頻數(shù)206060302010 （i）求這200位競拍人員報(bào)價(jià)的平均數(shù)和樣本方差（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)可用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競價(jià)人員的報(bào)價(jià)可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及方差估值.若2023年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)是5000，請(qǐng)你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價(jià).附：，若，則，.【答案】(1)，預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人(2)（i），；（ii）預(yù)測競拍的最低成交價(jià)為4.943萬元 【分析】（1）由已知公式求得線性回歸方程，代入回歸方程可得預(yù)測值；（2）（i）由均值與方差公式計(jì)算出均值與方差；（ii）由預(yù)測值求得報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，然后由正態(tài)分布的性質(zhì)求得預(yù)測競拍的最低成交價(jià)．【詳解】（1），，，關(guān)于的線性回歸方程2023年5月份對(duì)應(yīng)，所以所以預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人.（2）（i）由題意可得：（ii）2023年5月份實(shí)際發(fā)放車牌數(shù)是5000，設(shè)預(yù)測競拍的最低成交價(jià)為萬元，根據(jù)競價(jià)規(guī)則，報(bào)價(jià)在最低成交價(jià)以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為根據(jù)假設(shè)報(bào)價(jià)可視為服從正態(tài)分布，令，由于，，，所以得，所以預(yù)測競拍的最低成交價(jià)為4.943萬元．20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟解求解；(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用函數(shù)的最值得出，再結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性即可得證.【詳解】（1）由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>.則，令，解得.當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以為極小值點(diǎn)，且.所以函數(shù)的最小值為.（2）根據(jù)題意可知：，根據(jù)（1）設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，.，所以在上單調(diào)遞減.則有，也即.因?yàn)?/span>，所以，也即因?yàn)?/span>，，由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以，也即.由已知，所以.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓的左?右頂點(diǎn)，記與的面積分別為，證明：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析． 【分析】（1）根據(jù)離心率的定義和橢圓定義求得，再計(jì)算出后得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，代入整理得是一個(gè)一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，從而得出關(guān)系，得出直線過定點(diǎn)，再確定直線斜率不存在時(shí)也過這個(gè)定點(diǎn)，然后結(jié)合該定點(diǎn)得出三角形面積比．【詳解】（1）依題意得，則則，所以橢圓的方程為；（2）直線，設(shè)，由得，所以，，且，則中點(diǎn)，同理可算①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)代入整理得易知為方程的兩個(gè)根，則，所以，所以直線，則直線恒過點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，由，不妨設(shè)，所以，直線過，根據(jù)①②可知，直線恒過點(diǎn)，因?yàn)?/span>的面積，的面積，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓中的直線過定點(diǎn)問題的解決方法：斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程為，根據(jù)已知條件確定的關(guān)系后，由直線方程得出定點(diǎn)坐標(biāo)．本題中，動(dòng)直線是由點(diǎn)確定的，因此可由已知直線確定的坐標(biāo)，再把坐標(biāo)代入所設(shè)直線方程，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)一元二次的兩根，這樣可由韋達(dá)定理求得的關(guān)系，得出結(jié)論．22．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程.(1)求曲線的普通方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用基本不等式求出的取值范圍，即可得解；（2）求出直線的普通方程，分析可知直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>則曲線的普通方程為（2）則由得得有兩個(gè)不等正根則.23．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法分類討論，分別求出不等式的解集，即可得解；（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即的值，再利用柯西不等式證明即可.【詳解】（1）不等式，所以，解得，或，解得，或，解得，所以原不等式解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，即，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以成立. 

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