2023屆江西省南昌市高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)式有意義及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.由，得，即，解得，所以，所以.故選：A.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，于是，故選：C3．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.4．已知x，y為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用特值法、基本不等式，結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，取，則，所以“”不是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，得，即，則，所以“”是“”的必要條件，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5．“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，若，則（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由拋物線定義求出即可.【詳解】因?yàn)?/span>，即，由拋物線的對(duì)稱性知，由拋物線定義可知，，即，解得，故選：D6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】模擬程序運(yùn)行，觀察運(yùn)行中變量的值，可得結(jié)論．【詳解】由程序框圖知．故選：B7．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得；結(jié)合冪函數(shù)的在上單調(diào)遞增，可得；由，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而求解.【詳解】.因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?/span>，所以，即，所以.故選：B.8．圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，是圓錐的軸截面，是的中點(diǎn)，為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則下列說法正確的是（    ）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．平面 D．三棱錐體積最大值為【答案】C【分析】假設(shè)存在點(diǎn)，使得，可得，顯然與矛盾，可知A錯(cuò)誤；若存在點(diǎn)，使得，可得，與矛盾，所以B錯(cuò)誤；由可知，利用線面平行的判定定理可得平面，即C正確；易知底面積，所以三棱錐的體積，即D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：對(duì)于A，因?yàn)?/span>是直徑，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，又因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又平面，所以；又因?yàn)?/span>都是母線，即，所以不成立，所以不存在點(diǎn)，使得，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，若存在點(diǎn)，使得，所以，這與矛盾，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>分別是、的中點(diǎn)，所以，平面，平面，由線面平行的判定定理可得平面；所以C正確；對(duì)于D，易知三棱錐的高為，所以當(dāng)?shù)酌娣e最大時(shí)，其體積最大；又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即三棱錐的體積，即三棱錐的體積的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：C9．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（    ）A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930【答案】B【分析】變形，然后根據(jù)題中的方法計(jì)算即可.【詳解】.故選：B.10．已知一簇圓，直線是它們的一條公切線，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意可分析圓心在上，再根據(jù)半徑得到軸是該圓簇的切線，從而由直線的對(duì)稱求得解析式即可.【詳解】由題意可知：圓心在直線上，到軸的距離為，而圓簇的半徑也是，故軸是該圓簇的切線，即軸與關(guān)于對(duì)稱.設(shè)傾斜角為，與軸正方向夾角為，則，所以而軸，，必都交于原點(diǎn)，故，即故選：A11．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由冪函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可解得.【詳解】易知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于即所以，所以在任意的上恒成立，故.故選：D12．如圖，一塊三角形鐵片，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)，，.如果過點(diǎn)作一條直線分別交，于點(diǎn)，，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可將問題轉(zhuǎn)化為求面積的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解決.【詳解】設(shè)則=化簡(jiǎn)得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故而當(dāng)面積的最小時(shí)，剩下的四邊形面積的最大為故選：A【點(diǎn)睛】本題考察平面圖形的面積最值，可轉(zhuǎn)化為求三角形面積最值，一般情況都可以轉(zhuǎn)化為利用基本不等式或者同一變量的函數(shù)值域問題，屬于壓軸題. 二、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】【分析】求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量的模長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，則，，因?yàn)?/span>，則，解得.故答案為：.14．雙曲線的漸近線方程為______.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知所求漸近線方程為，即，故答案為：.15．在四棱錐中，底面為梯形，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的體積為定值，則_____【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，由面積為定值，借助等體積法確定平面即可計(jì)算作答.【詳解】在四棱錐中，點(diǎn)是側(cè)棱上的定點(diǎn)，則面積為定值，三棱錐的體積為定值，因此點(diǎn)到平面的距離為定值，又點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，于是側(cè)棱上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等，則平面，如圖，連接，連接，平面平面，而平面，因此，有，梯形中，，，則，所以.故答案為：216．潮汐現(xiàn)象是地球上的海水在太陽和月球雙重引力作用下產(chǎn)生的全球性的海水的周期性變化，人們可以利用潮汐進(jìn)行港口貨運(yùn).某港口具體時(shí)刻（單位：小時(shí)）與對(duì)應(yīng)水深（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為.某艘大型貨船要進(jìn)港，其相應(yīng)的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，船底與海底距離不小于4.5米時(shí)就是安全的，該船于2點(diǎn)開始卸貨（一次卸貨最長(zhǎng)時(shí)間不超過8小時(shí)），同時(shí)吃水深度以0.375米/小時(shí)的速度減少，該船8小時(shí)內(nèi)沒有卸完貨，要及時(shí)駛?cè)肷钏畢^(qū)域，則該船第一次停止卸貨的時(shí)刻為______.【答案】6時(shí)【分析】令船底與海底距離為，則，化簡(jiǎn)后求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而確定當(dāng)時(shí)，，即可求解.【詳解】令船底與海底距離為，則，所以，所以，又，，所以，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以該船第一次停止卸貨的時(shí)刻為6時(shí).故答案為：6時(shí) 三、解答題17．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足a1=1，a2=2，a4=64，且．(1)求k的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)2；(2). 【分析】（1）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）通過換元法、等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、累積法、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）因?yàn)?/span>，所以，則，令，所以，則是等比數(shù)列，因?yàn)?/span>，，所以，所以，則18．已知直四棱柱的底面為菱形，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于點(diǎn)，通過證明得平面；（2）方法一：取的中點(diǎn)，證明為二面角的平面角，在三角形中求；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面ACE的法向量，用空間向量求二面角的余弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，所以四邊形為平行四邊形，即，又因?yàn)榈酌?/span>為棱形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.（2）方法一：取的中點(diǎn)，連接，，，在直棱柱中平面，所以，又因?yàn)?/span>，，所以平面，又平面，所以因?yàn)樵?/span>中，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，即，則為二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，又，在直角三角形中，所以，即二面角的余弦值為.方法二：因?yàn)榈酌?/span>為菱形，所以，在直四棱柱中，分別為中點(diǎn)，故面，故，如圖，以，，分別為分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵?/span>中，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，則，，，，因?yàn)?/span>，，設(shè)為平面的法向量，則，即，得，令，則，平面的法向量，設(shè)二面角為， 則.由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦為.19．已知函數(shù).(1)若時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若，，方程有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，可得與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，再結(jié)合大致圖象即可求解；（2）由方程有解，即有解.設(shè)，則則，設(shè)，則恒成立，可得在單調(diào)遞增，結(jié)合，，可得，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而求解.【詳解】（1）函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，即有3個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；，令，解得；令解得或，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，，時(shí)，所以，即的取值范圍為.（2）由方程有解，即有解.設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，故在單調(diào)遞增，又，，且存在唯一的，使得，所以，且時(shí)，；時(shí)，.即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時(shí)，時(shí)，故要使得有解，只需，故，故，解得，而在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)?/span>，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合大致圖象進(jìn)行求解.20．某班準(zhǔn)備購(gòu)買班服，確定從，兩種款式中選出一種統(tǒng)一購(gòu)買，現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購(gòu)買，款式的人數(shù)分別為20，30位，為了盡量統(tǒng)一意見，準(zhǔn)備在全班進(jìn)行三輪宜傳，每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位，介紹他贊成款式的理由，假設(shè)每輪宣傳后，贊成該同學(xué)所選款式的不會(huì)改變意見，不贊成該同學(xué)所選款式的同學(xué)會(huì)有5位改變意見，贊成該同學(xué)所選款式.(1)計(jì)算第二輪選到的同學(xué)贊成款式的概率.(2)設(shè)經(jīng)過三輪宜傳后贊成款式的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.【答案】(1)(2) 【分析】（1）記第i輪宣傳選中的同學(xué)是贊成款式的事件為，第i輪宣傳選中的同學(xué)是贊成款式的事件為，記第二輪選到的同學(xué)贊成款式的概率為，由相互獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件的概率加法公式可得答案；（2）求出的所有可能取值及概率，利用期望公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）記第i輪宣傳選中的同學(xué)是贊成款式的事件為，第i輪宣傳選中的同學(xué)是贊成B款式的事件為，記第二輪選到的同學(xué)贊成款式的概率為，因?yàn)?/span>，，則；（2）經(jīng)過三輪宣傳后贊成款式的人數(shù)為的所有可能取值為5，15，25，35，則，，，所以分布列為5152535 所以.21．已知橢圓過、、、四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、分別交橢圓于、兩點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分析可知點(diǎn)、在橢圓上，再對(duì)橢圓過點(diǎn)或點(diǎn)進(jìn)行分類討論，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合求出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）法一：設(shè)、、、，設(shè)直線的方程為，由已知可得出，寫出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，，再利用斜率公式可得出直線的斜率；法二：設(shè)、、、，寫出直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，利用點(diǎn)差法可得出，進(jìn)一步求得、的表達(dá)式，求出直線、的斜率，根據(jù)可得出，再利用斜率公式可求得直線的斜率；法三：設(shè)、、、，設(shè)，，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，， ，，進(jìn)一步可得出且，利用點(diǎn)差法結(jié)合、、三點(diǎn)共線得出，再利用斜率公式可求得直線的斜率.【詳解】（1）解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，由于、關(guān)于軸對(duì)稱，必同時(shí)在橢圓上，若橢圓還經(jīng)過點(diǎn)，則，將點(diǎn)代入橢圓方程得求得，可得橢圓方程為；若橢圓還經(jīng)過點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，不合乎題意.綜上所述，橢圓方程為.（2）解：方法一：設(shè)、、、，設(shè)直線的方程為，由于直線過點(diǎn)，則有，①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，同理，進(jìn)一步可得，.直線的斜率為；方法二：設(shè)、、、，因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，則直線的方程為，且將代入直線的方程，整理可得，③由于、均在橢圓上，代入可得，所以，，將兩式相減可得，所以，④則③④式可得：，由③④式可得：，直線的斜率為，同理直線的斜率為，而，所以，則.那么.方法三：設(shè)、、、，設(shè)，，則，所以，，所以，，同理可得，同理，，則且，所以且，因?yàn)?/span>、均在橢圓上，所以，，可得，所以，，即，又因?yàn)?/span>，所以，所以，，同理可得，因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，所以，則，所以，所以，所以的斜率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：．(1)當(dāng)時(shí)，求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求的值．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根據(jù)加減消元法，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程參數(shù)的意義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為，消去參數(shù)得，即直線的普通方程為．∵，∴，∵，∴，則曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程中得，化簡(jiǎn)得，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則，解得．23．已知，且．(1)求證：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由已知條件可得出，等式兩邊平方，并結(jié)合基本不等式可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，，可得出，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，且，所以，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2）解：因?yàn)?/span>，，且，所以，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為． 

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