一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合A的元素，再按照交集的定義求解.
【詳解】對于 ，解集為 ， ， ；
故選：C.
2．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)，分別求出，再根據(jù)復數(shù)的除法計算公式計算結(jié)果即可.
【詳解】解：因為，所以，
所以，，
所以.
故選：C
3．6名老師被安排到甲?乙?丙三所學校支教，每名老師只去1所學校，甲校安排1名老師，乙校安排2名老師，丙校安排3名老師，則不同的安排方法共有（ ）
A．30種B．60種C．90種D．120種
【答案】B
【分析】按照分步計數(shù)原理求解.
【詳解】依題意，第一步，從6名老師中隨機抽取1名去甲校，有 種方法；
第二步，從剩下的5名老師中抽取2名取乙校，有 種方法；
第三部，將剩余的3名老師給丙校，有 種方法；
總共有 種方法；
故選：B.
4．某同學在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的半徑是（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】先求出截面圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑，小圓半徑，球心距三者之間的關(guān)系列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即，
根據(jù)截面圓的周長可得，得，
故由題意知，即，所以，
故選：B．
【點睛】本題考查球被面所截的問題，考查學生計算能力以及空間想象能力，是基礎(chǔ)題．
5．已知，則大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用換底公式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因為，，，
又因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，故.
故選：C.
6．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（ ）
A．的周期為
B．在上單調(diào)遞增
C．的對稱中心為
D．在上單調(diào)遞減
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換可得函數(shù)的解析式，然后由正切函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.
【詳解】因為，
則其周期為，故A正確；
當時，則，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
令，則，所以的對稱中心為，
故C正確；
因為正切函數(shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤；
故選:D
7．已知P為直線上一動點，過點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，則原點到直線距離的最大值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】設(shè)，然后表示出兩條切線方程，從而可表示出直線的方程，再利用點到直線的距離公式表示出原點到直線距離，從而可求出其最大值.
【詳解】設(shè)，切點為，
由，得，則，
所以在點處的切線方程為，即，
因為，所以
在點處的切線方程為，即，
因為，所以
因為兩切線都過點，
所以，，
所以直線的方程為，即，
所以原點到直線距離為
，當且僅當時取等號，
所以原點到直線距離的最大值為，
故選：B
8．設(shè)，若不等式 在時恒成立，則的最大值為（ ）
A．B．1C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于 對稱構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】對于 ，即 ，因為 是 的反函數(shù)，
所以 與 關(guān)于 對稱，原問題等價于 對一切 恒成立，即 ；
令 ，則 ，當 時， 單調(diào)遞減，
當 時， 單調(diào)遞增，
， ；
故選：A.
二、多選題
9．給定數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則這組數(shù)據(jù)的（ ）
A．中位數(shù)為3B．方差為
C．眾數(shù)為3D．分位數(shù)為4.5
【答案】AB
【分析】先將數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的順序排列，再逐項判斷.
【詳解】解：將數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的順序排列為：
1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A正確；
數(shù)據(jù)中2，3，出現(xiàn)的此時最多，所以眾數(shù)為2和3，故C錯誤；
平均數(shù)為：，
則方差為，故B正確；
第分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個數(shù)字為5，故D錯誤，
故選：AB
10．設(shè)正實數(shù)滿足，則（ ）
A．有最小值4B．有最大值
C．有最大值D．有最小值
【答案】AD
【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項逐一判斷ABD，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)與柯西不等式，即可判斷C.
【詳解】由可得，當且僅當，即時取等號，
對于A,，當且僅當，時取等號，故A正確，
對于B,，當且僅當時取等號，故B錯誤，
對于C，設(shè)由于，
所以，即，
當且僅當，即時，等號成立，故C錯誤，
對于D,，當且僅當，時取等號，故D正確，
故選:AD
11．如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．與垂直
B．是異面直線與的公垂線段，
C．異面直線與所成的角為
D．異面直線與間的距離為
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量逐項分析.
【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸， 為z軸，建立如下圖所示坐標系：
則： ，
，
設(shè) ，
則有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
對于A， ， ， ，正確；
對于B， ， ，
即，又,
故是異面直線與的公垂線段，正確；
對于C，設(shè) 與 所成的角為 ，則 ，
，，錯誤；
對于D，由B知 是 與 的公垂線段， ，正確；
故選：ABD.
12．已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列為遞減數(shù)列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項即可判斷選項A和B；利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出，進而判斷選項C和D.
【詳解】因為和可知，數(shù)列的各項均為正值，
由可得，所以，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故選項A正確；
由選項A的分析可知：數(shù)列為遞減數(shù)列，又因為，所以，故選項B正確；
由兩邊同時取倒數(shù)可得，
則，所以，
因為數(shù)列為遞減數(shù)列，
由可得，
當時，，即，
當時，，即，，
，
不等式累加可得：，
所以，則，
所以，故選項C錯誤；
由可得，
所以，故選項D正確；
故選：ABD.
三、填空題
13．函數(shù)向左或向右平移個單位后，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值是__________.
【答案】##
【分析】分別求解函數(shù)向左與向右平移個單位后函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求解的最小正值，將兩種情況求出的值進行比較即可得到結(jié)果.
【詳解】將函數(shù)向右平移個單位，
所得圖像對應(yīng)的解析式為，
其關(guān)于軸對稱，則，即，
此時，的最小正值是；
將函數(shù)向左平移個單位，
所得圖像對應(yīng)的解析式為，
其關(guān)于軸對稱，則，即，
此時，的最小正值是.
綜上所述，的最小正值是.
故答案為：.
14．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行.某支深受大家喜愛的足球隊在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，A運動員能夠勝任中鋒?邊鋒及前腰三個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.3，當該運動員擔當中鋒?邊鋒及前腰時，球隊輸球的概率依次為0.4，0.2，0.2.當A球員參加比賽時，該球隊某場比賽不輸球的概率為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)事件的獨立性以及概率乘法公式求解.
【詳解】該運動員擔當中鋒，不輸球的概率為，
該運動員擔當邊鋒，不輸球的概率為，
該運動員擔當前腰，不輸球的概率為，
所以該球隊某場比賽不輸球的概率為，
故答案為:.
15．設(shè)點在單位圓的內(nèi)接正六邊形的邊上，則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)對稱性不妨取為x軸，求出各點坐標，設(shè)，利用平面向量的坐標運算求解.
【詳解】如圖，在平面直角坐標系中，不妨取，
設(shè)，
則，
故，
，
，
可得，
∵，則，
∴.
故答案為：.
16．已知橢圓是橢圓上兩點，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】設(shè)，，線段的中點為，利用點差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點在橢圓內(nèi)部可求出結(jié)果
【詳解】設(shè)，，線段的中點為 .
若，即，則，滿足題意；
若，即，則不滿足題意，應(yīng)舍去；
當時，有，作差得：
因為，，所以，
因為，所以 ，
設(shè)線段的垂直平分線為，則，得 ：，
令，得，又因為點在橢圓內(nèi)部，則，則，
故 .
故答案為：.
四、解答題
17．在中，角所對的邊分別為.
(1)求；
(2)若，求的中線的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，運用正弦定理余弦定理求解；
（2）運用向量數(shù)量積和基本不等式求解.
【詳解】（1）因為
所以，
由正弦定理可得，所以，因為，
則；
（2）由題意，
則，
則，即的中線的最小值為（當且僅當取最小值）；
綜上，的最小值為.
18．如圖，已知四棱錐，底面是平行四邊形，且，是線段的中點，.
(1)求證：平面；
(2)下列條件任選其一，求二面角的余弦值.
①與平面所成的角為；
②到平面的距離為.
注：如果選擇多個條件分別解答，按一個解答計分.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形中的幾何關(guān)系可得再根據(jù)勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；
（2）選①，取中點為，連接，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)（1）可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則與平面所成的角為，由此計算出，進而計算得，可得為等邊三角形；
選②，取中點為，連接，計算長度及根據(jù)等體積法可求得，即可得為等邊三角形，建立合適的空間直角坐標系，求得各個點的坐標，進而求得平面的法向量及平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對值即為二面角的余弦值絕對值即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：因為，且，故，
在中，，
由余弦定理可得：，
解得，在中，，
所以，即，
又因為平面，平面，
所以平面；
（2）選①，取中點為，連接，如圖所示：
因為，故，由（1）得平面，
因為平面，所以，
因為，平面，平面，
所以平面，所以為與平面所成的角，
即，因為，，
所以為等邊三角形，且邊長為1，所以，，
由可得，
因為，，
所以，所以為等邊三角形，
以為原點，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系：
所以，
，
設(shè)是平面的法向量，
則，即，
取，可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
取，可得，
設(shè)二面角所成的角為，則，
所以二面角的余弦值為.
選②， 取中點為，連接，如圖所示：
因為，故，由（1）得平面，
因為平面，所以，
因為，平面，平面，所以平面，
設(shè)到平面的距離為，
因為，，所以等邊三角形，
所以，，設(shè)，則，
因為，所以，
因為，為中點，所以，
所以，由，，
平面，平面，所以平面，
因為平面，所以，即，
所以，因為，
即，
即，
解得，即，所以，所以為等邊三角形，
以為原點，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系：
所以，
，
設(shè)是平面的法向量，
則，即，
取，可得，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，
取，可得，
設(shè)所成的角為，則，
所以二面角的余弦值為.
19．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，且
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的通項公式；
(3)對于，試比較與的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由數(shù)列的前項和為，利用，能求出；
（2）由，兩邊取倒數(shù)得，從而得到是以首項為，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出 ；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，利用數(shù)學歸納法、二項式定理或函數(shù)的知識證明即可.
【詳解】（1）當時，；
當時，，
經(jīng)檢驗，時，也符合上式，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）易知，兩邊取倒數(shù)得，整理得，
是以首項為，公比為2的等比數(shù)列，
；
（3）由（1）（2）問可知，欲比較與的大小，
即比較與的大小.
當時，，有；
當時，，有；
當時，，有，
猜想，下面證明:
方法一：當時，
，
所以對于任意的都成立，所以.
方法二：令，則
令則，
當時，即在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞增，
所以，所以，即，
所以對于任意的都成立，所以.
方法三：下面用數(shù)學歸納法證明①當時，顯然成立；
當時，顯然成立；
②假設(shè)時（，猜想成立，即成立，
那么當時，
，
因為，
對任意的且上式都大于0，
所以有，
綜上所述，對于任意的都成立，所以.
20．秋天的第一杯奶茶是一個網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達州一位當?shù)孛窬冢窬谩扒锾斓牡谝槐滩琛表樌认乱幻?，由此而火爆全網(wǎng).后來很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）
如下：
(1)請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點圖，并根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預測要到哪一天售出的奶茶才能超過35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機變量X的分布列.
參考公式和數(shù)據(jù)：其中
回歸直線方程中，
【答案】(1)圖見解析，更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型；
(2)，到第9天才能超過35杯；
(3)分布列見解析.
【分析】(1)根據(jù)散點圖趨勢即可判斷；
(2)利用非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的方法求解；
(3)根據(jù)超幾何分布求分布列.
【詳解】（1）
根據(jù)散點圖，知更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型；
（2）令，則，
由已知數(shù)據(jù)得，
，
所以，
故關(guān)于的回歸方程為，
進而由題意知，令，整理得，即，
故當時，即到第9天才能超過35杯；
（3）由題意知，這7天中銷售超過25杯的有4天，則隨機變量的可能取值為
，，
，，
則隨機變量的分布列為
21．已知雙曲線的右焦點為，左?右頂點分別為，且為上不與重合的一點，直線的斜率之積為3.
(1)求雙曲線的方程；
(2)平面一點且不在上，過的兩條直線分別交的右支于兩點和兩點，若四點在同一圓上，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率之積為3列出方程，然后由以及雙曲線的關(guān)系，即可得到結(jié)果；
（2）由四點共圓，可得，然后將直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理分別表示出與即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意，，設(shè)，
則，所以①，
因為直線的斜率之積為3，所以，
將式①代入化簡得：②，
又雙曲線的右焦點為，所以，結(jié)合式②解得：，
雙曲線的方程為.
（2）因為四點共圓，所以，且，所以有
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
將直線方程代入的方程化簡并整理可得，
，
由已知得，且
由韋達定理有，，
又由可得，
同理可得，得
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
同理可得，
由已知得，又，則，化簡可得，
又，則，即，即直線的斜率與直線的斜率之和為0.
22．已知函數(shù).（為實數(shù)）
(1)當時，若正實數(shù)滿足，證明：.
(2)當時，設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題設(shè)可得，討論與1的大小關(guān)系，并應(yīng)用分析法將問題化為證，構(gòu)造利用導數(shù)研究單調(diào)性判斷大小關(guān)系，即可證結(jié)論；
（2）令得，再構(gòu)造并利用導數(shù)證明在上恒成立，即可確定范圍.
【詳解】（1）由題意，，定義域為，則恒成立，
所以在上為增函數(shù)，且，故，
若都大于1，則，不合題意，同理都小于1也不滿足，
設(shè)，欲證，即證，即證，即證，即證，
構(gòu)造函數(shù)，
所以，
，
，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則原不等式得證.
（2）由，令，則，故，
下面證明：時符合題意，
當時，，
以下證明：，
構(gòu)造函數(shù)，
則.
令，則，
令，可得；令，可得，
于是在上遞減，在上遞增，于是，
所以，當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，故，
綜上，實數(shù)的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問，首先分析與1的大小，再設(shè)應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化證明結(jié)論，最后構(gòu)造函數(shù)、應(yīng)用導數(shù)求證；第二問，通過求參數(shù)范圍，再由所得范圍證恒成立（利用充要關(guān)系證明）.
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代碼
1
2
3
4
5
6
7
杯數(shù)
4
15
22
26
29
31
32
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2
0
1
2
3

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