一、單選題
1．如圖，設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由圖可知陰影部分，表示的集合為，再由題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】由圖可知陰影部分表示的集合為，
因為集合，，所以.
故選:A.
2．復數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算，結(jié)合虛部的概念即可求解.
【詳解】，
所以該復數(shù)的虛部為4.
故選：C.
3．已知,若,則的最小值為（ ）
A．4B．9C．8D．10
【答案】B
【分析】利用向量垂直的坐標公式得到，然后利用基本不等式“1”的代換即可
【詳解】因為，，則，即.
.
當且僅當即時取等號，故的最小值為9
故選：B.
4．某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)經(jīng)過五年產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和優(yōu)化，經(jīng)濟收入比調(diào)整前翻了兩翻，為了更好的了解該開發(fā)區(qū)的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該開發(fā)區(qū)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前后的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅狀圖，則下列選項正確的是（ ）
①產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后節(jié)能環(huán)保的收入與調(diào)整前的總收入一樣多
②產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后科技研發(fā)的收入增幅最大
③產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后紡織服裝收入相比調(diào)整前有所降低
④產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工的收入超過調(diào)整前紡織服裝的收入
A．②③B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】設(shè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前的經(jīng)濟收入為，則產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后的經(jīng)濟收入為，然后根據(jù)所占百分比分別計算出各種類型的收入即可進行比較.
【詳解】設(shè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前的經(jīng)濟收入為，則產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后的經(jīng)濟收入為，
產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后節(jié)能環(huán)保的收入為，所以產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后節(jié)能環(huán)保的收入與調(diào)整前的總收入一樣多，所以①正確；
產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前科技研發(fā)的收入為，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后科技研發(fā)的收入為，所以選項②正確；
產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前紡織服裝收入為，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后紡織服裝收入為，所以③錯誤；
產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工的收入為，而產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前紡織服裝收入為，所以④正確.
故選：D.
5．若、滿足線性約束條件，則（ ）
A．有最小值B．有最小值
C．有最大值D．有最大值
【答案】D
【分析】本題首先可根據(jù)題意繪出可行域，然后令，，則表示點與可行域中的點連線的斜率，最后通過圖像易知過點時取最大值，過點時取最小值，最后通過計算即可得出結(jié)果.
【詳解】如圖，根據(jù)題意繪出可行域，
令，，則表示點與可行域中的點連線的斜率，
聯(lián)立，解得，，
結(jié)合圖像易知過點時，取最大值，此時，
同理易知過點時，取最小值，此時，
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線性規(guī)劃相關(guān)問題的求解，考查借助線性規(guī)劃求最值，能否根據(jù)題意繪出可行域是解決本題的關(guān)鍵，考查的幾何意義的應(yīng)用，考查邏輯思維能力、運算求解能力，是中檔題.
6．已知角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得，再根據(jù)和角公式求解即可.
【詳解】解：因為角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，
所以，點是角的終邊上的點，
所以，，
所以
故選：C
7．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（ ）
A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m
【答案】A
【分析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.
【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上．
設(shè)拋物線的標準方程為，
由已知條件可得，點在拋物線上，
所以，解得，
因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，
故選：A.
8．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由起始條件依次執(zhí)行程序，判斷結(jié)論是或否，直至判斷為否，退出循環(huán)，輸出結(jié)果，結(jié)束執(zhí)行.
【詳解】執(zhí)行程序, 判斷為是；
判斷為是；
判斷為是；
判斷為是；

判斷為否，退出循環(huán)，輸出
故選C.
【點睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問題，關(guān)鍵是列出每次循環(huán)后的執(zhí)行情況,屬于基礎(chǔ)題.
9．函數(shù)在處的切線如圖所示，則（ ）
A．0B．C．D．-
【答案】A
【分析】根據(jù)切線過和，利用斜率公式求得，寫出切線方程，再令，求得即可.
【詳解】因為切線過和，所以，
所以切線方程為，
令，則，
所以，
所以.
故選：A.
【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.
10．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，，，則有下面四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中所有正確的命題是
A．①③B．①④C．②③D．①②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系逐項分析即可.
【詳解】①因為，，所以，由可知，故正確，②，，可能在內(nèi)或與平行，推不出，故錯誤，③，可推出,又，所以，故正確, ④若相交交線為m,則，推不出，故錯誤.
綜上可知選A.
【點睛】本題主要考查了線線、線面、面面平行垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題.
11．2022年卡塔爾世界杯中的數(shù)字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系中，把到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知是雙紐線上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線關(guān)于原點成中心對稱
B．
C．雙曲線上滿足的點有兩個
D．的最大值為
【答案】C
【分析】A.先由雙紐線的定義得到方程，將 替換方程中的 判斷；B. 由求解判斷；C. 由方程令 求解判斷；D. 由 ，結(jié)合余弦定理判斷.
【詳解】解：由到定點的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，
得，
將 替換方程中的 ，方程不變，故雙紐線關(guān)于原點成中心對稱，故A正確；
由等面積法得，則 ，
所以，故B正確；
令 ，得 ，解得 ，所以雙曲線上滿足的點有一個，故C錯誤；
因為 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 的最大值為，故D正確，
故選：C.
12．設(shè)函數(shù)的零點為、、…，表示不超過的最大整數(shù)，有下述四個結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)與有相同零點；③函數(shù)有且僅有一個零點，且；④函數(shù)有且僅有兩個零點，且.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】①利用導數(shù)法判斷；②由不是零點，令判斷；③④用導數(shù)法，由，則在，上單調(diào)遞增判斷.
【詳解】，當時，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①正確，
顯然不是零點，令，
則在上，與有相同零點，故②正確，
在上，，
∴在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，
而、，∴存在，使，
又、，∴存在的，使，
∴在上只有兩個零點、，也即在上只有兩個零點到、，
且，故③錯誤、④正確，正確的命題有個，
故選：C.
【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．
二、填空題
13．在三棱錐中，已知平面，且是邊長為的正三角形，三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形以及三棱錐的性質(zhì)找外接球的球心，根據(jù)勾股定理即可求解高，進而由體積公式即可的體積.
【詳解】取,,的中點,,，連結(jié),,，交于點，
則，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑
由外接球表面積為可得
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，
連結(jié)，則平面，
過作，交于，，
，故
所以,故三棱錐的體積為
故答案為：
14．由曲線圍成的圖形的面積為_______________．
【答案】
【詳解】試題分析：當時，曲線 表示的圖形為
以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為
，根據(jù)對稱性，可知由曲線
圍成的圖形的面積為
【解析】本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學生分類討論思想的運用和運算求解能力.
點評：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問題.
15．2022年神舟十五號載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，神舟十四號航天員與神舟十五號航天員首次完成空中會師，現(xiàn)有航天員甲?乙?丙三個人，進入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務(wù)，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗成功任務(wù)結(jié)束，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個人，每個人只派出一次.已知甲?乙?丙10分鐘內(nèi)試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務(wù)相互獨立，該項試驗任務(wù)按照甲?乙?丙順序派出，則試驗任務(wù)成功的概率為___________.
【答案】
【分析】把試驗任務(wù)成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計算作答.
【詳解】試驗任務(wù)成功的事件是：甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成功的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以試驗任務(wù)成功的概率.
故答案為：.
16．某中學開展勞動實習，學生需測量某零件中圓弧的半徑.如圖，將三個半徑為的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左?右兩個小球與中間小球相切.利用“十”字尺測得小球的高度差為，則圓弧的半徑為___________.
【答案】120
【詳解】
如圖所示，設(shè)圓弧圓心為，半徑為，三個小球的球心自左至右分別為，，，設(shè)，
由題意可知，，
且，
即，
所以，解得，
故答案為：.
三、解答題
17．等差數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，是數(shù)列的前項和，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項公式列出方程組，解之即可求解；
（2）由（1）得，則，利用裂項相消求和法可得，即可證明.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，
由題意得，解得，
所以的通項公式為；
（2）由（1）知，，則，
，
，
，
，
18．自2022年起內(nèi)蒙古自治區(qū)將進入新一輪的高中課程改革，同時進入新高考的時代，某中學新高一開始試行走班制教學.試行階段，每位教師均有各自的教室，為調(diào)研學生對A、B兩位高一數(shù)學教師的滿意度，從在A、B兩位教師的教室中上過課的學生中隨機抽取了100人，每人分別對兩位高一數(shù)學教師的進行評分，滿分均為60分.整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分為6組：，，，，，，得到A教師的分數(shù)的頻率分布直方圖和B教師的分數(shù)的頻數(shù)分布表：
(1)在抽樣的100人中，求對A教師評分低于30的人數(shù)；
(2)從對B教師評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；
(3)如果從A、B兩位教師的教室中選擇一個教室作為今后三年上課的教室，你會選擇哪一個教室？說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求解，然后根據(jù)評分低于30的人數(shù)作出判斷；
（2）利用古典概型的概率求解；
（3）從兩個教師得分低于30分的人數(shù)所占比例來看即可.
【詳解】（1）由教師的分數(shù)頻率分布直方圖可得，對A教師評分低于30的頻率為，
所以對A教師評分低于30的人數(shù)為；
（2）從對教師評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人有 種，
2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的選法有種，
所以2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；
（3）從兩個教師得分低于30分的人數(shù)所占比例來看；
由（1）可知，抽樣的100人中，教師評分低于30的人數(shù)為20人，
所以教師得分低于30分的人數(shù)所占的比例為20%；
而教師評分低于30分的人數(shù)為，
所以教師評分低于30分的比例為，
故會選擇教師的教室上課.
19．如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，，//，，，，，分別是線段，的中點.
(1)求證：//平面；
(2)求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點，連，利用中位線定理得到線線平行，進而得到線面平行，利用面面平行的判定定理證明平面平面，進一步證明平面；
（2）在四邊形中，過作交于，利用勾股定理得到線線垂直，進而證得面面垂直，利用面面垂直求出錐體的高，代入錐體的體積計算公式即可求解.
【詳解】（1）如圖，取中點，連，
為中位線，，
又平面平面，
平面，
同理，在梯形中，，
又平面平面，
平面，
且平面平面，
平面平面，又平面，
所以平面.
（2）如圖，在四邊形中，過作交于，
在中，易得，
則，得，
，
又由已知條件平面，
故平面，
又平面，
平面平面.
又是邊長為2的正三角形，連接，因為為的中點，
所以，因為平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，
因為是邊長為2的正三角形，所以的高為，
四棱錐是以直角梯形為底，以為高的錐體，
.
20．法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日是19世紀著名的幾何學家，他創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間解析幾何學的獨立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定橢圓：，則稱圓心在原點，半徑是的圓為“橢圓的伴隨圓”，已知橢圓的一個焦點為，其短軸的一個端點到焦點的距離為.
(1)若點為橢圓的“伴隨圓”與軸正半軸的交點，，是橢圓的兩相異點，且軸，求的取值范圍.
(2)在橢圓的“伴隨圓”上任取一點，過點作直線，，使得，與橢圓都只有一個交點，試判斷，是否垂直？并說明理由.
【答案】(1)
(2)對于橢圓上的任意點，都有，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得、，求出b即可求出橢圓的方程，進而求出“伴隨圓”方程，得出點A坐標，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標表示可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）設(shè)，易知時成立；當時設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去y，由得，則的斜率是方程的兩個根，根據(jù)韋達定理計算化簡可得，即可求解.
【詳解】（1）由題意知，由短軸的一個端點到焦點的距離為，
知，則，
故橢圓的方程為，其“伴隨圓”方程為.
由題意，可設(shè)，
則有，又A，
故，
故，
又二次函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為，
由，得，
所以的取值范圍是；
（2）對于橢圓C上的任意點P，都有，證明如下：
設(shè)，則.
當時，，
則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有.
當時，設(shè)過且與橢圓有一個公共點的直線的斜率為，
則的方程為，
代入橢圓方程可得，
即，
由，
可得，其中，
設(shè)的斜率分別為，則是上述方程的兩個根，
故，即.
綜上可知，對于橢圓上的任意點，都有.
21．已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)若，且，證明：．
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)見解析
【分析】（1）由導數(shù)得出單調(diào)性進而得出極值；
（2）由導數(shù)得出在上單調(diào)遞增，討論①，②兩種情況，利用導數(shù)證明即可.
【詳解】（1）
；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的極小值為，無極大值.
（2）
；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增
不妨設(shè)，則①，②
對于①，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
所以
對于②，由得，，故
，由知，
設(shè)，則
而，所以，即函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)
，故，即
綜上，當時，.
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于②，在證明時，關(guān)鍵是利用將雙變量變?yōu)閱巫兞繂栴}，再利用導數(shù)證明不等式.
22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）寫出曲線的普通方程及直線的極坐標方程；
（2）直線與曲線和直線分別交于，（，均異于點）兩點，求的取值范圍．
【答案】（1）曲線，直線；（2）.
【分析】（1）根據(jù)消參法，將曲線C的方程化為普通方程，由直角坐標與極坐標關(guān)系，將直線普通方程化為極坐標方程即可.
（2）由（1）知：，，即可求的范圍．
【詳解】（1）由參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，
∴曲線的普通方程為．
由普通方程為，而，
∴直線的極坐標方程為，即.
（2）∵曲線的極坐標方程為，
∴直線的極坐標方程為，即，
∴，，則的取值范圍為．
23．已知函數(shù).
（1）當時，解不等式；
（2）若關(guān)于的不等式的解集包含，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】（I）當，不等式為，分類討論，即可求解不等式的解集.
（II）由題意的解集包含，轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，即，再利用絕對值的定義，即可求解.
【詳解】解：（I）當時，，
由解得，綜合得；
當時，，
由解得，綜合得；
當時，，
由解得，綜合得.
所以的解集是.
（II）∵的解集包含，
∴當時，恒成立
原式可變?yōu)?，即?br>∴即在上恒成立，
顯然當時，取得最小值10，
即的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．同時注意絕對值不等式有時與函數(shù)以及不等式恒成立等知識點相互交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．
B教師分數(shù)頻數(shù)分布表
分數(shù)區(qū)間
頻數(shù)
2
3
5
15
40
35

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