注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上.
2.回答選擇題前，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)全集，集合或，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
3.非零向量滿足與的夾角為，則在上的投影為（ ）
A.1 B. C.-1 D.
4.已知實數(shù)滿足約束條件則的最大值是（ ）
A.3 B. C. D.
5.從棱長為2的正方體內(nèi)隨機取一點，則取到的點到中心的距離不小于1的概率為（ ）
A. B. C. D.
6.若則（ ）
A. B.
C. D.
7.在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)，公式和定理，若正整數(shù)只有1為公約數(shù)，則稱互質(zhì)，對于正整數(shù)是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，.記為數(shù)列的前項和，則（ ）
A. B. C. D.
8.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)圖象重合，下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱
B.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
C.函數(shù)在單調(diào)遞減
D.函數(shù)最小正周期為
9.在Rt中，.以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（ ）
A. B. C. D.
10.如圖，是雙曲線的左右焦點，點，分別在兩條漸近線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C.2 D.
11.已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和，對任意不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函數(shù)，且，則的最大值為（ ）
A.1 B. C. D.
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知，則到點的距離為2的點的坐標可以是__________.（寫出一個滿足條件的點就可以）
14.已知點，若圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值的范圍是__________.
15.已知某線路公交車從6：30首發(fā)，每5分鐘一班，甲?乙兩同學(xué)都從起點站坐車去學(xué)校，若甲每天到起點站的時間是在6：30-7：00任意時刻隨機到達，乙每天到起點站的時間是在6：45-7：15任意時刻隨機到達，那么甲?乙兩人搭乘同一輛公交車的概率是__________.
16.如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點，為棱上的動點，有下列結(jié)論：
①當為的中點時，平面；
②存在點，使得；
③直線與所成角的余弦值的最小值為；
④三棱錐的外接球的表面積為.
其中正確的結(jié)論序號為__________.（填寫所有正確結(jié)論的序號）
三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17.（12分）
在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求證：；
（2）求的最小值.
18.（12分）
如圖1，在直角梯形中，，點，分別是邊的中點，現(xiàn)將沿邊折起，使點到達點的位置（如圖2所示），且.
（1）求證：平面平面；
（2）求點到平面的距離.
19.（12分）
為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量.某地車牌競價的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人不知曉其他人的報價，也不知道參與當期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2023年5月份的車牌競拍，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）：
（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)（萬人）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程：，并預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù).
（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2023年5月份車牌競拍人員的報價進行抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：
（i）求這200位競拍人員報價的平均數(shù)和樣本方差（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點值代替）；
（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及方差估值.若2023年5月份實際發(fā)放車牌數(shù)是5000，請你合理預(yù)測（需說明理由）競拍的最低成交價.
附：，若，則，.
20.（12分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若方程有兩個不同的實數(shù)根且，證明：.
21.（12分）
在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別是，以為圓心，6為半徑的圓與以為圓心，2為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過橢圓的右焦點的直線的斜率分別為，且，直線交橢圓于兩點，直線交橢圓于兩點，線段的中點分別為，直線與橢圓交于兩點，是橢圓的左?右頂點，記與的面積分別為，證明：為定值.
（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標系xy中，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程.
（1）求曲線的普通方程；
（2）若直線與曲線有兩個不同公共點，求的取值范圍.
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值為，正實數(shù)滿足，求證：.
宜春市2023屆高三年級模擬考試數(shù)學(xué)（文）答案
一?選擇題.
二?填空題.
13.上的任意一點都可以 14. 15. 16.①④
三?解答題.
17.（1）證明：在中，，
由正弦定理得，
又，
因為
所以
所以又
所以，且
所以，故.
（2）由（1）得，
所以，
因為
所以
當且僅當即
且當且僅當時等號成立，
所以當時，的最小值為.
18.（1）證明：由題意，連接，因為，
是邊的中點，所以，則
又是邊的中點，則，在折起中.
又，所以，
又平面平面，
故平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）中取的中點，連接，
由（1）可知，平面，所以，
而，
所以，
同理，
所以
所以是等腰三角形，
所以，
又，即，
所以
即點到平面的距離為.
19.（1），
，
，
關(guān)于的線性回歸方程
2023年5月份對應(yīng)，所以
所以預(yù)測2023年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人.
（2）（i）由題意可得：
（ii）2023年5月份實際發(fā)放車牌數(shù)是5000，設(shè)預(yù)測競拍的最低成交價為萬元，
根據(jù)競價規(guī)則，報價在最低成交價以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為
根據(jù)假設(shè)報價可視為服從正態(tài)分布，
令，由于，
，所以得
所以預(yù)測競拍的最低成交價為4.943萬元.
20.解：（1）由題意可知：函數(shù)的定義域為：.
則，令，解得.
當，函數(shù)單調(diào)遞減；
當，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以為極小值點，且.
所以函數(shù)的最小值為-1.
（2）根據(jù)題意可知：，根據(jù)（1）設(shè)，
構(gòu)造函數(shù).
，所以在上單調(diào)遞減.
則有，也即.
因為，所以，也即
因為，由（1）可知在上單調(diào)遞增，
所以，也即.由已知，所以.
21.（1）解：依題意得
則
則所以橢圓的方程為
（2）直線
設(shè)
則
則中點同理可算
①當直線斜率存在時，設(shè)直線點在直線上
則
易知為方程的兩個根，
則得
所以直線則直線恒過點
②當直線的斜率不存在時，由對稱性可知由
不妨設(shè)所以
直線過根據(jù)①②可知，
直線恒過點
因為的面積
的面積
所以.
22.（1）因為
則曲線的普通方程為
（2）則由
得得
有兩個不等正根
則
23.解：（1）則
或則
或則
所以原不等式解集為
（2）
所以
因為
所以成立
月份
2022.12
2023.1
2023.2
2023.3
2023.4
月份編號
1
2
3
4
5
競拍人數(shù)（萬人）
1.7
2.1
2.5
2.8
3.4
報價區(qū)間（萬元）
頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
A
A
D
C
C
A
C
B

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