?江西省宜春市豐城拖船中學(xué)2023屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．設(shè)集合，，則（????）
A． B．
C． D．
2．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
3．已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2﹣a5+a8＝4，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝（????）
A．9 B．18 C．36 D．72
4．已知，其中為常數(shù)，若，則的值為（????）
A． B． C． D．
5．某校高一(1)班甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，他們進(jìn)球的概率分別是和，現(xiàn)甲、乙各投籃一次，至少有一人投進(jìn)球的概率是（ ??）
A． B． C． D．
6．若平面向量，，則（????）
A．1 B． C．4 D．
7．已知向量，，，若，則（????）
A．2 B．-2 C．3 D．
8．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（????）
A． B．
C． D．
9．五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，排成一個(gè)三個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中必含“徵”這個(gè)音階的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．據(jù)調(diào)查，某商品一年內(nèi)出廠價(jià)按月呈的模型波動(dòng)（x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)8千元，7月份價(jià)格最低為4千元，根據(jù)以上條件可確定f（x）的解析式為（????）
A．
B．f（x）＝9sin（）（1≤x≤12，x∈N+）
C．
D．f（x）＝2sin（）+6（1≤x≤12，x∈N+）
11．斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時(shí)，若，則（????）
A． B． C． D．
12．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，，則的取值范圍是
A．（-2，-1） B．（-1，1）
C．（1，2） D．（2，3）

二、填空題
13．設(shè)向量，，，且，則 ．
14．在的展開(kāi)式中，含有項(xiàng)的系數(shù)是 ．
15．在直三棱柱中，，是上一點(diǎn)，則的最小值為 .
16．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，過(guò)的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為 .

三、解答題
17．已知直線，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.
（1）求直線的方程；
（2）記與y軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，與相交于點(diǎn)C，求的面積.
18．某地教體局為了解該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物的情況，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，按，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值；（各組數(shù)據(jù)用該組中間值作代表）
(2)若某中學(xué)生在暑假期間閱讀課外讀物不低于6本，則稱(chēng)該中學(xué)生為閱讀達(dá)人，以樣本各組的頻率代替該組的概率，從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
19．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，， ⊥平面，⊥．

（1）證明：⊥平面；
（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)滿(mǎn)足.
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程.
21．已知函數(shù)（為無(wú)理數(shù)，）
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)，求函數(shù)在上的最小值；
（3）若為正整數(shù)，且對(duì)任意恒成立，求的最大值．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線；
(2)已知點(diǎn)，設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為、，當(dāng)時(shí)，求的值.
23．設(shè)函數(shù).
(1)解不等式；
(2)令的最小值為，正數(shù)，，滿(mǎn)足，證明：.

參考答案：
1．C
【分析】先分別化簡(jiǎn)集合,再求其并集.
【詳解】∵集合,
,
∴,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,涉及解不等式,屬于簡(jiǎn)單題.
2．D
【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得復(fù)數(shù)，根據(jù)虛部定義可得結(jié)果.
【詳解】，的虛部為.
故選：D.
3．C
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2﹣a5+a8＝a5＝4，又由，計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，a2+a8＝2a5，則a2﹣a5+a8＝a5＝4，
數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和，
故選：C．
4．D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求得的值.
【詳解】設(shè)，顯然為奇函數(shù)，而且，，則，因?yàn)?，，所?
故選：D
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.
5．D
【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式以及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式即可求出．
【詳解】設(shè)事件“甲、乙各投籃一次，至少有一人投進(jìn)球”，
所以．
故選：D．
6．D
【解析】直接根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
7．C
【分析】由可得向量的數(shù)量積等于0，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式化為，可求得答案.
【詳解】由題意可得，
即，
即，
故 ，即，
由于，故（舍去），
故選：C
8．B
【分析】由分布列的性質(zhì)得出m的值.
【詳解】由分布列的性質(zhì)得
故選：B
9．C
【分析】應(yīng)用組合數(shù)、排列數(shù)求含“徵”音階的基本事件數(shù)、五個(gè)音階中任取三個(gè)音階基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率求法求概率.
【詳解】從這五個(gè)音階中任取三個(gè)音階，排成一個(gè)三個(gè)音階的音序，基本事件總數(shù)，
其中這個(gè)音序中含“徵”這個(gè)音階的基本事件個(gè)數(shù).
則這個(gè)音序中必含“徵”這個(gè)音階的概率為.
故選：C.
10．A
【分析】由3月份最高價(jià)和7月份最低價(jià)可求得A和,由周期可求得,利用最大值或者最小值點(diǎn)可求得,進(jìn)而求得解析式.
【詳解】由題意可得:當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),,則得
解得;因?yàn)楹瘮?shù)周期T=2(7-3)=8,所以由T=,解得;
又因當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值,所以=1,則,由得,所以可得函數(shù)解析式為,.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用,理解題意并轉(zhuǎn)化題中條件求解參數(shù)是解題的關(guān)鍵,屬于一般難度的題.
11．B
【分析】由已知得，且，從而利用裂項(xiàng)相消法可得，從而得到，進(jìn)而可求解.
【詳解】由已知得，且，所以，
，
，
累加整理可得；
又因?yàn)?，即是該?shù)列的第項(xiàng)，
所以.
故選：B
12．B
【詳解】作出函數(shù)的圖象，

由圖象可知，若方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則．
設(shè)，則，
由圖象可知．
所以.選B．
點(diǎn)睛：函數(shù)圖象在函數(shù)與方程中的應(yīng)用
（1）研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；
（2）確定方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
13．7
【分析】利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，則，
而，則，
所以.
故答案為：7
14．
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由的展開(kāi)式中，
可得項(xiàng)的系數(shù)
.
故答案為：.
15．
【分析】連，沿將展開(kāi)與在同一個(gè)平面內(nèi)，連，則的長(zhǎng)度就是所求的最小值，利用直棱柱的性質(zhì)，由余弦定理可得結(jié)果.
【詳解】

??????????圖1
連，沿將展開(kāi)與在同一個(gè)平面內(nèi)，
如圖1所示，連，則的長(zhǎng)度就是所求的最小值，
由直棱柱性質(zhì)可得，由得，
所以，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?br /> 所以,又因?yàn)槭堑妊苯侨切危裕?br /> 由此得，又
所以由余弦定理可求得，
，故答案為 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、余弦定理的應(yīng)用以及空間想象能力，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解答問(wèn)題的能力，屬于難題.
16．
【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相切關(guān)系分析得到的直線方程，由此表示出的坐標(biāo)并表示出的面積，再根據(jù)在橢圓上結(jié)合基本不等式求解出面積的最小值.
【詳解】設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br /> 所以化簡(jiǎn)可得，所以是方程的兩個(gè)解，
所以直線的方程為，所以且，
所以的面積，且，
所以，所以，取等號(hào)時(shí)，即或，
綜上可知：面積的最小值為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：和圓的切線有關(guān)的結(jié)論如下：
（1）過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為；
（2）過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為.
17．（1）（2）9
【解析】（1）根據(jù)，得到的斜率，結(jié)合過(guò)點(diǎn)，得到答案；（2）根據(jù)題意求出，，坐標(biāo)，從而得到的面積.
【詳解】（1）由直線知，
又因，所以；
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則直線的方程為，
即
（2）由（1）可得與y軸相交于點(diǎn)，
與y軸相交于點(diǎn)，
且與相交于點(diǎn)，
故的面積.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線垂直關(guān)系求直線方程，求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，屬于簡(jiǎn)單題.
18．(1)；平均值為4.6；
(2)分布列見(jiàn)解析；.

【分析】（1）先由頻率分布直方圖的頻率公式及頻率之和為1求得m，再利用頻率分布直方圖的平均值求法求得平均值；
（2）先根據(jù)頻率分布直方圖求得抽取到閱讀達(dá)人的概率，再利用二項(xiàng)分布概率公式和數(shù)學(xué)期望公式求得X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，
則可以估計(jì)該地中學(xué)生暑假期間閱讀課外讀物數(shù)量的平均值為：.
（2）由頻率分布直方圖可知從該地中學(xué)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人是閱讀達(dá)人的頻率為，
所以從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記抽取到的中學(xué)生為閱讀達(dá)人的人數(shù)為X，則，
故.
所以，，，，，
X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
P





X的數(shù)學(xué)期型.
19．（1）見(jiàn)解析（2）
【分析】（1）通過(guò)⊥，⊥來(lái)證明；（2）根據(jù)等體積法求解.
【詳解】（1）證明：∵⊥平面，平面，
∴⊥.
又⊥， ，平面，平面，
∴⊥平面.
（2）由已知得，所以????
且由（1）可知，由勾股定理得??
∵平面
∴=，
且???
∴，
由，
得 ∴??
即點(diǎn)到平面的距離為
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直與點(diǎn)到平面的距離. 線面垂直的證明要轉(zhuǎn)化為線線垂直；點(diǎn)到平面的距離常規(guī)方法是作出垂線段求解，此題根據(jù)等體積法能簡(jiǎn)化計(jì)算.
20．（1）（2）
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上及，即可求得得值，從而可求出拋物線的方程；（2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，由，可得，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出，從而可求出直線的方程.
試題解析：（1）由條件易知在拋物線上，，??????????????????????????????????????????
故，即拋物線的方程為；???????????????????????????????????
（2）易知直線斜率必存在，設(shè)，，，????
①，?????????????????????????????????????????
聯(lián)立得即，??????????
由得，且②， ③，?????????????????????????????????????
由①②③得，即直線.??
21．（1）；
（2）當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.
（3）3.
【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，由點(diǎn)斜式求出切線方程；
（2）研究函數(shù)在上的單調(diào)性即可求出在上的最小值；
（3）由題意分離變量對(duì)任意恒成立，即即可，構(gòu)造函數(shù)，研究的性質(zhì)，求出其最小值即可.
【詳解】解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)橛郑?br /> 故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）∵，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，得.
故當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.
（3）對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，
令，則，
令，則，所以在上單調(diào)遞增．
∵，則，
∴所以存在唯一零點(diǎn)，即．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
∴在時(shí)單調(diào)遞減；在時(shí)，單調(diào)遞增；
∴
由題意，，
又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為3.
22．(1)；橢圓；
(2).

【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求出的直角坐標(biāo)方程，再由方程確定曲線作答.
（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，利用幾何意義計(jì)算作答.
【詳解】（1）把代入得：，即，
所以曲線的直角坐標(biāo)方程是，它是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.
（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，
設(shè)點(diǎn)、所對(duì)參數(shù)分別為，于是得，，
由直線參數(shù)方程的幾何意義知：
，
解得，而，于是得，
所以的值是.
23．(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（2）分，，三種情況討論，去絕對(duì)值符號(hào)，從而可得答案；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式求出的最小值，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換結(jié)合基本不等式即可得證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上所述，不等式的解集為；
（2）由題，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“等號(hào)”，
故的最小值，即，
則，
,
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào),
所以．

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