第十六章  二次根式16.1  二次根式第1課時  二次根式的概念學(xué)習(xí)目標：1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意義的條件；3.會利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題.重點：理解二次根式的概念及有意義的條件.難點：利用二次根式的有意義的條件及其非負性解題.一、知識鏈接1.什么叫做平方根？  2.什么叫做算術(shù)平方根？什么數(shù)有算術(shù)平方根？  二、新知預(yù)習(xí)1. 用帶根號的式子填空:(1)如圖①的海報為正方形，若面積為2m2,則邊長為     m；若面積為S m2，則邊長為______ m．          (2)如圖②的海報為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t為_____．2.自主歸納：（1）二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式. “____”稱為二次根號.（2）二次根式的雙重非負性：二次根式的被開方數(shù)為________數(shù),二次根式的值為_________數(shù). 三、自學(xué)自測1.下列各式中是二次根式的是（　?。?/span>A.             B.        C.       D.2.二次根式有意義的條件是_____________.   四、我的疑惑____________________________________________________________     一、要點探究探究點1：二次根式的意義及有意義的條件問題1  分別表示什么意義？ 問題2   這些式子有什么共同特征？  要點歸納：一般地，我們把形如的式子叫作二次根式. “”稱為_______.典例精析例1  下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？  方法總結(jié):判斷二次根式是，抓住二次根式兩個必備特征：①外貌特征：含有“”；②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a≥0. 例2 當 x 是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?  變式題1 當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？   方法總結(jié):要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應(yīng)同時考慮分母不為零. 【變式題】當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？  方法總結(jié):被開方數(shù)是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論. 針對訓(xùn)練下列各式:一定是二次根式的有(    ) A.3個          B.4個          C.5個          D.6個 (1)若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________;  (2)若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________. 探究點2：二次根式的雙重非負性問題1：當x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？呢？ 問題2：二次根式的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？ 要點歸納：二次根式的實質(zhì)是表示一個非負數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a____0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知_____0.       典例精析例3   若，求a-b+c的值.  方法總結(jié):多個非負數(shù)的和為零，則可得每個非負數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.例4  已知y=,求3x+2y的算術(shù)平方根.     【變式題】已知a，b為等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足，求此三角形的周長．   方法總結(jié):若，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.針對訓(xùn)練已知|3x-y-1|和 互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．   二、課堂小結(jié)   下列式子中，不屬于二次根式的是（    ）式子有意義的條件是      （    ）x＞2       B.x≥2     C.x＜2         D.x≤23.當x=____時，二次根式取最小值，其最小值為______．  4. 當a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？   (1)若二次根式有意義，求m的取值范圍． (2)無論x取任何實數(shù)，代數(shù)式都有意義，求m的取值范圍．  6.若x，y是實數(shù)，且y＜ ,求的值.  拓展提升7.先閱讀，后回答問題：當x為何值時，有意義？解：由題意得x(x-1)≥0，由乘法法則得解得x≥1 或x≤0.即當x≥1 或x≤0時，有意義.體會解題思想后，試著解答：當x為何值時，有意義？ 參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接問題1: 一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.問題2:如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 稱為 a 的算術(shù)平方根. 用 表示.非負數(shù).  二、新知預(yù)習(xí)(1)          (2)     (3)2.自主歸納：(1) ≥    (2)非負數(shù)，非負數(shù)三、自學(xué)自測1.B   2. x≤5合作探究一、要點探究探究點1：二次根式的概念及有意義的條件問題1: 分別表示 2，S，3， 的算術(shù)平方根問題2: ①根指數(shù)都為 2;  ②被開方數(shù)為非負數(shù). 歸納總結(jié)：二次根式例1：解：(1)(4)(6) 均是二次根式，其中 a2+1 屬于“非負數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零. (2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.例2：解：由 x - 2≥0，得x≥2.【變式題1】（1）解：由題意得 x-1＞0，∴ x＞1.（2）解：∵ 被開方數(shù)需大于或等于零，∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3.∵ 分母不能等于零，∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.  ∴ x≥-3 且 x ≠ 1.【變式題2】解：(1) ∵ 無論 x 為何實數(shù)，- x2 - 2x - 3 =  -(x-1)2≤0，∴ 當 x = 1 時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2) ∵ 無論 x 為何實數(shù)，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴ 無論 x 為何實數(shù)， 在實數(shù)范圍內(nèi)都無意義.練一練：1.B  2. (1) x≥1  (2) x≥0 且 x≠2   探究點1：二次根式的概念及有意義的條件問題1 : 前者 x 為全體實數(shù)；后者 x 為非負數(shù). 問題2：當 a＞0 時，表示 a 的算術(shù)平方根，因此 ＞0； 當 a = 0 時，表示 0 的算術(shù)平方根，因此= 0. 這就是說，當 a≥0 時，≥0.歸納總結(jié)：(1) ≥;    (2)≥. 例3：解：由題意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，          解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.例4：解：由題意得   ∴ x = 3.   ∴ y = 8.∴ 3x + 2y = 25.   ∵ 25 的算術(shù)平方根為 5， ∴ 3x + 2y 的算術(shù)平方根為 5． 【變式題】解：由題意得    ∴ a = 3.    ∴ b = 4.當 a 為腰長時，三角形的周長為 3 + 3 + 4 = 10；當 b 為腰長時，三角形的周長為 4 + 4 + 3 = 11．練一練：解：由題意得 3x - y - 1 = 0 且 2x + y - 4 = 0．解得 x = 1，y = 2．∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9.  ∴ x + 4y 的平方根為 ±3. 當堂檢測1. C     2. A   3. -1; 04. (1) ∵ a - 1≥0,   ∴ a≥1.   (2) ∵ 2a + 3≥0,   ∴ a≥(3) ∵ - a≥0,   ∴ a≤0.   (4) ∵5 - a＞0,   ∴ a＜5. 5.  (1) 解：由題意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，解得 m≥2 且 m ≠ -2，m ≠ 2，∴ m＞2．(2)解：由題意得 x2 + 6x + m≥0，即 (x + 3 )2 + m- 9≥0.∵ (x + 3)2≥0，∴ m-9≥0，即 m≥9. 解：根據(jù)題意得    ∴ x = 1.∵ y＜ ，∴ y＜ ∴                 解：由題意得 則 解得 x≥2 或 x＜，即當 x≥2 或 x＜時，有意義． 

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16.1 二次根式

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