?直角坐標(biāo)下通過(guò)幾何圖形列函數(shù)式問(wèn)題
【知識(shí)縱橫】
以平面直角坐標(biāo)系為背景，通過(guò)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化中兩個(gè)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步研究幾何圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。但在坐標(biāo)系中，每一個(gè)坐標(biāo)由一對(duì)的序?qū)崝?shù)對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)的正負(fù)之分，而線(xiàn)段長(zhǎng)度值均為正的，注意這一點(diǎn)，就可類(lèi)似于講座一的方法解決。所列函數(shù)式有：反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。
【典型例題】
【例1】（浙江溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，）（＞0）．P是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PC⊥軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（點(diǎn)P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
（1）當(dāng)=3時(shí)，
①求直線(xiàn)AB的解析式；
②若點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣1，），求的值；
（2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線(xiàn)AB與P′C的交點(diǎn)為D．當(dāng)P′D：DC=1：3時(shí)，求的值；
（3）是否同時(shí)存在，，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）①利用待定系數(shù)法考慮。②把（﹣1，）代入函數(shù)解析式即可。（2）證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比成比例求解。（3）分P在第一，二，三象限，三種情況進(jìn)行討論。




【例2】（浙江舟山、嘉興）已知直線(xiàn)（＜0）分別交軸、軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度
同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
① 直接寫(xiě)出＝1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
② 若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求的值．
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的另一交點(diǎn)為D
（如圖2），
① 求CD的長(zhǎng)；
② 設(shè)△COD的OC邊上的高為，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？







【思路點(diǎn)撥】（1）②分兩種情形討論。（2）①過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，證明△DEC∽△AOB。
②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，在比例線(xiàn)段中求出t值為多少時(shí)，h最大。









【例3】（江蘇常州、鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸平行，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸平行，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P。點(diǎn)E為直線(xiàn)上一點(diǎn)，反比例函數(shù)（＞0）的圖像過(guò)點(diǎn)E與直線(xiàn)相交于點(diǎn)F。
⑴若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求的值；
⑵連接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑶是否存在點(diǎn)E及軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
【思路點(diǎn)撥】（2）先利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，用K表示相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)并表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，再利用相似三角形OEF 面積是PEF面積2倍的關(guān)系求出K。（3）先由全等得到相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，用K表示相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)并表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出K。點(diǎn)P、E、F三點(diǎn)位置分K＜2和K＞2兩種情況討論。
















【例4】（浙江義烏）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線(xiàn) =2上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線(xiàn)段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MN∥軸，交PB于點(diǎn)N. 將△PMN沿直線(xiàn)MN對(duì)折，得到△P1MN. 在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.
【思路點(diǎn)撥】（1）利用對(duì)稱(chēng)軸公式，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求、、的值即可。
（2）由（1）可求直線(xiàn)PB解析式為，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形。（3）分0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形討論。















【學(xué)力訓(xùn)練】
1、（浙江湖州）如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在、軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P(0，m)是線(xiàn)段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外)，直線(xiàn)PM交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
(2)當(dāng)△ADP是等腰三角形時(shí)，求m的值；
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)P、M、B的拋物線(xiàn)與軸的正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)ME的垂線(xiàn)，垂足為H(如圖)
2)．當(dāng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(不寫(xiě)解答過(guò)程)．

















2、（廣西北海）如圖，拋物線(xiàn)：與軸交于點(diǎn)A(－2，0)和B(4，0)、與軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線(xiàn)的解析式；
(2)T是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸同時(shí)出發(fā)相向而行．當(dāng)點(diǎn)M到原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P．求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．


















3、（江蘇鹽城）如圖，已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與
軸交于點(diǎn)B.
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l∥軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線(xiàn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線(xiàn)l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線(xiàn)l交軸于點(diǎn)R，交線(xiàn)段BA或線(xiàn)段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線(xiàn)l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。


直角坐標(biāo)下通過(guò)幾何圖形列函數(shù)式問(wèn)題的參考答案

【典型例題】
【例1】（浙江溫州）
解：（1）①∵點(diǎn)B在直線(xiàn)AB上，∴設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為，
把=﹣4，y=0代入得：﹣4+3=0，∴，
∴直線(xiàn)的解析式是：。
②由已知得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，），且點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，得。
（2）∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD。
∴，即，∴。
（3）分三種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1），過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥軸于點(diǎn)H。
∴PP′=CH=AH=P′H=AC，即。∴。
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB。
∴，即。∴。
2）若∠P′AC=90°（如圖2），P′A=CA，則PP′=AC，即?！?。
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB∴，即?！?。
3）若∠P′CA=90°，則點(diǎn)P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾。
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形。
③當(dāng)P在第三象限時(shí)，∠P′CA為鈍角（如圖4），此時(shí)△P′CA不可能是等腰直角三角形。
綜上所述，所有滿(mǎn)足條件的，的值為和。


【例2】（浙江舟山、嘉興）
解：（1）①C(1 , 2)、Q(2 , 0)。
②由題意得：P（t, 0),C(t, - t +3),Q(3-t , 0)。
分兩種情形討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA。
∵CP⊥OA，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，即。
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形。 ∴△ACQ也是等腰直角三角形。
∵CP⊥OA，∴AQ=2CP，即。
∴滿(mǎn)足條件的t的值是1.5秒或2秒。
（2）①由題意得：，
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式是。
由，解得。
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB。
∴△DEC∽△AOB?！?。
∵AO=4，AB=5，DE=。
② ∵，CD邊上的高=。
∴為定值。
要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短。
∵當(dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為，∠BCO=90°，
又∵∠AOB=90°，∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA。
又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB。
∴，即。
∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大。

【例3】（江蘇常州、鎮(zhèn)江）
解：（1）∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（1，0）且與軸平行，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B（0。2）且與軸平行，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P（1，2）。
若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，則k＝1×2＝2。
（2）當(dāng)k＞2時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過(guò)E作x軸的垂線(xiàn)EC，垂足為C，過(guò)F作y軸的垂線(xiàn)FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形
∵PE⊥PF，
∴
∴S△PEF＝
∴四邊形PFGE是矩形， ∴S△PEF＝S△GFE，
∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE
＝

∵S△OEF＝2S△PEF， ∴，
解得k＝6或k＝2，
∵k＝2時(shí)，E、F重合，舍去。 ∴k＝6，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2）。
（3）存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得△MEF≌△PEF
①當(dāng)k＜2時(shí)，如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H
∵△FHM∽△MBE， ∴
∵FH＝1，EM＝PE＝1－ ，F(xiàn)M＝PF＝2－k，
∴。
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，
∴（1－ ）2＝（ ）2＋（）2
解得k＝ ，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2）。
②當(dāng)k＞2時(shí)，如圖3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得， 。
∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，F(xiàn)M＝PE＝ －1，
∴ ＝ ，BM＝2
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2
∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝ 或0，但k＝0不符合題意， ∴k＝ ．
此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2）
∴符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2）（ ，2）．

【例4】（浙江義烏）
解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
由題意得 ， 解得。
∴二次函數(shù)的解析式為。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）。
（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：
當(dāng)=0時(shí)，， ∴1=2 ， 2=6。
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）。
設(shè)直線(xiàn)BP的解析式為，
則 ， 解得。
∴直線(xiàn)BP的解析式為。
∴直線(xiàn)OD∥BP 。
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4， －4），∴ OP=4。
設(shè)D(，2) 則BD2=（2）2+(6－)2
當(dāng)BD=OP時(shí)，（2）2+(6－)2=（4）2
解得：1=， 2=2
當(dāng)2=2時(shí)，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去
∴當(dāng)=時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形 。
∴當(dāng)D(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形。
（3）① 當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
則MP=t ， ∴PH=t，MH=t，HN=t 。 ∴MN=t。
∴S=t·t·=t2
② 當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P1G=2t－4，P1H=t
∵M(jìn)N∥OB， ∴△P1EF∽△P1MN 。
∴ ，∴ 。
∴ =3t2－12t+12
∴S=t2－(3t2－12t+12)= －t2+12t－12
∴S= 。


【學(xué)力訓(xùn)練】
1、（浙江湖州）
解：（1）由題意得CM＝BM，
∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB（ASA）?！郉B＝PC。
∴DB＝2－m，AD＝4－m?！帱c(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4－m)。
（2）分三種情況：
①若AP＝AD，則4＋m2＝(4－m)2，解得。
②若PD＝PA
過(guò)P作PF⊥AB于點(diǎn)F(如圖)，
則AF＝FD＝AD＝ (4－m)，
又OP＝AF，∴即。
③若PD＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴PM＝PD＝AD＝ (4－m)。
∵PC2＋CM2＝PM2，∴，解得(舍去)。
綜上所述，當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，m的值為或或。
（3）點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為。
2、（廣西北海）
解：（1）把A（－2，0）、B(4，0)代入，得
，解得。
∴拋物線(xiàn)的解析式為：。
（2）由，得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，
直線(xiàn)交軸于點(diǎn)D，設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)T(1，)，
作CE⊥直線(xiàn)，垂足為E，
由C(0，4)得點(diǎn)E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，
由TA＝TC得，
解得，∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，1).
（3）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，△AMP∽△AOC ，
∴，。
∴
∵當(dāng)時(shí)，S隨的增加而增加，
∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為8。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，作PF⊥y軸于F，
有△COB∽△CFP，
又CO＝OB，
∴FP＝FC＝，

∴
∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為。
綜上所述，S的最大值為。
3、（江蘇鹽城）
解：（1）根據(jù)題意，得，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4) 。
令，得?！帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0）。
（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4。
由S△APR＝S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，得
(3＋7)×4－×3×(4－t)－ t(7－t)－ t×4＝8
整理，得t2－8t＋12＝0, 解之得t1＝2，t2＝6（舍去）。
當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t＜7。
由S△APR＝ ×(7－t) ×4＝8，得t＝3（舍去）。
∴當(dāng)t＝2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8。
②當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4.，此時(shí)直線(xiàn)l交AB于Q。
∴AP＝，AQ＝t，PQ＝7－t。
當(dāng)AP ＝AQ時(shí)，（4－t）2＋32＝2(4－t)2，整理得，t2－8t＋7＝0，解之得t＝1，t＝7(舍去) 。
當(dāng)AP＝PQ時(shí)，（4－t）2＋32＝(7－t)2，整理得，6t=24.，∴t＝4(舍去) 。
當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，2（4－t）2＝(7－t)2，整理得，t2－2t－17＝0 解之得t=1±3 (舍去)。
當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4≤t＜7，此時(shí)直線(xiàn)l交AO于Q。
過(guò)A作AD⊥OB于D，則AD＝BD＝4。
設(shè)直線(xiàn)l交AC于E，則QE⊥AC，AE＝RD＝t－4，AP＝7－t.。
由cos∠OAC＝ ＝ ，得AQ ＝ (t－4)。
當(dāng)AP＝AQ時(shí)，7－t ＝ (t－4)，解得t ＝ 。
當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，AE＝PE，即AE＝ AP，
得t－4＝ (7－t)，解得t ＝5。
當(dāng)AP＝PQ時(shí)，過(guò)P作PF⊥AQ于F
AF＝ AQ ＝ ×(t－4)。
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP，
即 ×(t－4) ＝ ×(7－t)，解得t＝ 。
∴綜上所述，t＝1或 或5或 秒時(shí)，△APQ是等腰三角形。



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這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題07平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)概念a含解析答案，共11頁(yè)。試卷主要包含了已知點(diǎn)A，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A，已知A等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專(zhuān)題 08 平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與幾何圖形初步-2023年中考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）：

這是一份專(zhuān)題 08 平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)與幾何圖形初步-2023年中考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用），共39頁(yè)。試卷主要包含了在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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