?拋物線與幾何問題
【知識縱橫】
拋物線的解析式有下列三種形式：1、一般式：(a≠0)；2、頂點式：y =a(x—h) 2＋k；3、交點式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，這里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的兩個實根。
解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點的坐標，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計算相結合是解題的關鍵。
【典型例題】
【例1】（浙江寧波）如圖，平面直角坐標系中，點A的坐標為（－2，2）,點B的坐標為（6，6），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連結OA、OB、AB，線段AB交軸于點E．
（1） 求點E的坐標；
（2） 求拋物線的函數(shù)解析式；
（3） 點F為線段OB上的一個動
點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在軸右側），連結ON、BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON 面積的最大值，并求出此時點N的坐標；
（4） 連結AN，當△BON面積最大時，在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似（點
B、O、P分別與點O、A、N對應）的點P的坐標．
【思路點撥】（1）根據(jù)A、B兩點坐標求直線AB的解析式，令=0，即可求E點坐標。（2）列方程組求、的值。（3）依題意，設N，求出△BON面積關于的函數(shù)表達式，用二次函數(shù)的最值原理，可求N點的坐標。（4）根據(jù)三角形相似的性質得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根據(jù)勾股定理即可求出點P的坐標。

【例2】（天津）已知拋物線：．點F(1，1)．
(Ⅰ) 求拋物線的頂點坐標；
(Ⅱ) ①若拋物線與軸的交點為A．連接AF，并延長交拋物線于點B，求證：
②拋物線上任意一點P（）)（）．連接PF．并延長交拋物線于點Q（），試判斷是否成立？請說明理由；
(Ⅲ) 將拋物線作適當?shù)钠揭疲脪佄锞€：，若時．恒成立，求m的最大值．
【思路點撥】(I) 只要把二次函數(shù)變形為的形式即可。 (II) ①求出AF和BF即可證明。②應用勾股定理和相似三角形的判定和性質求出PF和QF即可。(Ⅲ) 應用圖象平移和拋物線的性質來證明。















【例3】（浙江?。┤鐖D，在直角坐標系中，拋物線與軸交與點A（－1,0）、B（3,0）兩點，拋物線交軸于點C（0,3），點D為拋物線的頂點．直線交拋物線于點M、N兩點，過線段MN上一點P作軸的平行線交拋物線于點Q．
(1)求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)問點P在何處時，線段PQ最長，最長為多少？
(3)設E為線段OC上的三等分點，連接EP，EQ，若EP=EQ，求點P的坐標．
【思路點撥】（1）由待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，化為頂點式可求頂點坐標。（2）把線段PQ用含P(, －1) ，Q (, )來表示，用二次函數(shù)的最值原理可求。













【例4】（四川成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在軸上，頂點C在軸的負半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線）經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設E是軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于軸于點G，再過點E作EH垂直于軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1） 由已知設，根據(jù)題意求的值。（2）設E點坐標為，拋物線對稱軸為=2，根據(jù)，列方程求解。（3）利用直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求M點的坐標。





















【學力訓練】
1、（浙江紹興）拋物線與軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與軸交于點C．
（1）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；
（2）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一?個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數(shù)解析式；
②若含30．角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．





















2、（浙江衢州）已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當兩直線同時相交于正半軸的點C時，恰好有l(wèi)1⊥l2，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l2交于點K，如圖所示．
（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關系？請說明理由；
（3）當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．
















3、（廣西桂林）已知二次函數(shù)的圖象如圖．
（1）求它的對稱軸與軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與軸，軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由．





















4、（山東日照）如圖，拋物線與雙曲線相交于點A，B．已知點B的坐標為（－2，－2），點A在第一象限內，且tan∠AOX＝4．過點A作直線AC∥軸，交拋物線于另一點C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計算△ABC的面積；
（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD的面積等于△ABC的面積．若存在，請你寫出點D的坐標；若不存在，請你說明理由．

























5、（湖北黃岡）如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1?x2的值．
（3）分別過M，N作直線l：y=﹣1的垂線，垂足分別是 M1和N1．判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結論．
（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線 m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．






















拋物線與幾何問題的參考答案
【典型例題】
【例1】（浙江寧波）
解：（1）設，將點A（－2，2）,點B 6，6）代入得
得。 ∴。
當時，。 ∴點E的坐標（0，3）。
（2）設拋物線的函數(shù)解析式為，
將A（－2，2）,點B 6，6）代入得
解得?！鄴佄锞€的解析式為。
（3）過點N作軸的垂線NG，垂足為G，交OB于點Q，過B作BH⊥軸于H，
設N，則Q（，）

。
∴當時，△BON 面積最大，最大值為。 此時點N的坐標為（3，）。
（4）過點A作AS⊥GQ于S
∵A（－2，2）, B（6，6）， N（3，），
∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=，NS=，AS=5。
∴在Rt△SAN和Rt△NOG中，tan∠SAN=tan∠NOG=?！唷蟂AN=∠ NOG。
∴∠OAS －∠SAN=∠BOG －∠NOG?！唷螼AN=∠BON 。
∴ON的延長線上存在一點P，使△BOP∽△OAN。
∵A（－2，2）, N（3，），
∴在Rt△ASN中， AN=。
當△BOP∽△OAN時，，即，得OP=。
過點P作PT⊥x軸于點T，
∴△OPT∽△ONG 。∴。
設P（），∴，解得， （舍）。
∴點P的坐標為將△OPT沿直線OB翻折，可得出另一個滿足條件的點P′ 。
∴由以上推理可知，當點P的坐標為或時，△BOP與△OAN相似。
【例2】（天津）
解： (I)∵，∴拋物線的頂點坐標為()．
(II)①根據(jù)題意，可得點A(0，1)，
∵F(1，1)．∴AB∥軸．得
AF=BF=1，
②成立．理由如下：
如圖，過點P（）作PM⊥AB于點M，則
FM=，PM=（）。
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得
又點P（）在拋物線上，得，
即
∴，即。
過點Q（）作QN⊥AB，與AB的延長線交于點N，
同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF。
∴，這里，。
∴，即。
(Ⅲ) 令，設其圖象與拋物線交點的橫坐標為，，且

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