（2021年23題，）
題型解讀
二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題屬于開(kāi)放探究題，考查學(xué)生的綜合探究、幾何直觀和運(yùn)算能力，在求解這類綜合題時(shí)，結(jié)合“分類討論思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從數(shù)與形不同的角度尋找解題策略。
二、解題策略
1.【基本概念】
菱形作為一種特殊的平行四邊形，可以從以下幾種方式得到：
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四邊都相等的四邊形是菱形
2.【基本題型】
因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：
（1）2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)
（2）1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)
3.【解題思路】
解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種：
思路1：先平四，再菱形
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD為對(duì)角線），再結(jié)合一組鄰邊相等，得到方程組．
思路2：先等腰，再菱形
在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，平移再確定第4個(gè)點(diǎn)．
類型一、兩定兩動(dòng)：坐標(biāo)軸+平面
例1-1、如圖，拋物線 y=ax2+bx+3交x軸于 A3，0，B?1，0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上.
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及 △PBC的周長(zhǎng)；
(3)若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) y=?x2+2x+3；(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)， ΔBCP的周長(zhǎng)最小值為 10+32；(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4， 17)或(4， ?17)或( ?2，3+14)或( ?2，3?14)
【解析】解：(1)將 A3，0，B?1，0代入二次函數(shù)表達(dá)式中，
∴ 0=9a+3b+30=a?b+3，解得 a=?1b=2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為： y=?x2+2x+3；
(2)連接BP、CP、AP，如下圖所示：
由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
CΔBCP=BP+CP+BC=PA+CP+BC
BC為定直線，當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)， PA+CP有最小值為 AC，
此時(shí) ΔBCP的周長(zhǎng)也最小，
設(shè)直線AC的解析式為： y=kx+m，代入 A3，0，C(0，3)，
∴ 0=3k+m3=0+m，解得 k=?1m=3，
∴直線AC的解析式為： y=?x+3，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=?b2a=1，代入 y=?x+3，得到 y=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，
此時(shí) ΔBCP的周長(zhǎng)最小值= BC+AC=12+32+32+32=10+32；
(3) A3，0，C(0，3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，t)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，
分類討論：
情況一：AC為菱形對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為PQ，
此時(shí)由菱形對(duì)角互相平分知：AC的中點(diǎn)也必定是PQ的中點(diǎn)，
由菱形對(duì)角線互相垂直知： kAC?kPQ=?1，
∴ 3+0=1+m0+3=t+n?1?n?tm?1=?1，解得 m=2n=2t=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)；
情況二：AP為菱形對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為CQ，
同理有： 3+1=0+m0+t=3+nt?0?2?n?3m=?1，解得 m=4n=17t=3+17或m=4n=?17t=3?17，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 3+17)或(1， 3?17)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4， 17)或(4， ?17)；
情況三：AQ為菱形對(duì)角線時(shí)，另一對(duì)角線為CP，
A3，0，C(0，3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，t)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，
同理有： 3+m=0+10+n=3+tn?0m?3?t?31=?1，解得 m=?2n=3+14t=14或m=?2n=3?14t=?14，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 14)或(1， ?14)，對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(?2， 3+14)或(?2， 3?14)；
縱上所示，Q點(diǎn)坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4， 17)或(4， ?17)或( ?2，3+14)或( ?2，3?14).
針對(duì)練習(xí)1
1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．、的長(zhǎng)是不等式組的整數(shù)解，點(diǎn)在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式及的值；
（2）軸上的點(diǎn)使和的值最小，則 ；
（3）將拋物線向上平移，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．當(dāng)時(shí)，拋物線向上平移了 個(gè)單位；
（4）點(diǎn)在在軸上，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）-4（2）2（3）9（4）、、、．
【詳解】：（1）所給不等式組的解集為，其整數(shù)解為2，3，
、的長(zhǎng)是所給不等式組的整數(shù)解，且，
，，則，，
點(diǎn)、在拋物線上，
，
解得，
所求的拋物線的解析式為，
點(diǎn)在拋物線上，
；
（2）如圖1所示，連接交軸于點(diǎn)，則此時(shí)最小，
設(shè)直線的解析式為，
點(diǎn)，在直線上，
，
解得，
直線的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即．，
，
故答案為：2；
（3）如圖1，
，
，
，
，
，
，
，
，
拋物線向上平移9個(gè)單位，
故答案為：9；
（4）以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直且平分，
由，
與不能作為一組對(duì)角線，
分兩種情況：
①以與為對(duì)角線時(shí)，如圖2①和圖2②，
如圖2①，，
四邊形是菱形，
軸，，
在中，，
，
，
如圖2②，同理可得：，
②以與為對(duì)角線時(shí)，如圖2③和圖2④，
如圖2③，菱形的邊長(zhǎng)仍為5，軸，
，
，
，
如圖2④，同理可得：，
綜上所述，①②兩種情況，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：
、、、．
類型二、兩定兩動(dòng)：對(duì)稱軸+平面
例2-1．如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，，，.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、O重合），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N，使以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案：（1）
（2）
（3），，
解析：（1）將，，代入，
得：，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，
將，代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，則，，
，，
，
，
解得或（舍），
將代入，得：，
；
（3）存在，理由如下：
當(dāng)以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，是等腰三角形，
，，
，，
,
對(duì)稱軸為：直線，
在中，由勾股定理得，
①當(dāng)是邊時(shí)，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離為，
此時(shí)點(diǎn)M不存在；
當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)菱形為或，
過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，
則，，
在中，由勾股定理得，
或，
，，
當(dāng)點(diǎn)時(shí)，由得，，
即，，
解得，，
，
同理，可得；
②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，，此時(shí)菱形為，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，
，
，
設(shè)，則，
解得，
，點(diǎn)在x軸上，
則，
解得，，
，
綜上：，，.
例2-2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案：（1）
（2）或或或
（3）存在，，或，或，或，或，
解析：（1）（1），兩點(diǎn)在拋物線上，
解得，，
拋物線的解析式為：；
（2）令，，
，
由為等腰三角形，如圖甲，
當(dāng)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，
；
當(dāng)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，
，
；
當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí)，
點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或.
（3）存在，理由如下：
拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
設(shè)，，
，，
則，
，
，
以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
分三種情況：以為對(duì)角線或以為對(duì)角線或以為對(duì)角線，
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖1，
，
解得：，
或
四邊形是菱形，
與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，
，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，
，，
解得：，，
，
以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖2，
，
解得：，
，
四邊形是菱形，
與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，
，
解得：，，
；
當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，則，如圖3，
，
解得：，
，，
四邊形是菱形，
與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
，，
解得：，
，，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為：，或，或，或，或，.
針對(duì)練習(xí)2
3．綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)D是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形面積S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，試探究，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案：(1)，，
(2)當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，四邊形面積S的最大值為
(3)存在，P的坐標(biāo)為
解析：（1）對(duì)于，令，得：，
.
令，得，
解得：，，
，.
（2）連接OD，如圖：
點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，
，
，
，
，
.
，
當(dāng)時(shí)，S取最大值，最大值為，
∴，
此時(shí)，
綜上可知當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，四邊形面積S的最大值為；
（3）存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形.
理由：由可得拋物線對(duì)稱軸為直線，
可設(shè)，.
以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，
的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，且，
，，
，.
，，
，
，
，即.
聯(lián)立，解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為對(duì)角線的菱形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），再用待定系數(shù)法即可求解；
（2）以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E，則Q（F）向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；
（3）由題意拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B′（﹣1，0），將點(diǎn)B′向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B″（﹣2，0），連接B″E，交函數(shù)的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥y軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)EM+MP+PB為最小，進(jìn)而求解．
【解析】（1）由點(diǎn)D的縱坐標(biāo)知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，
則OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
則，解得，
故拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵點(diǎn)D、E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，5），
由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，故設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，m），
由點(diǎn)B、E的坐標(biāo)得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（s，t），
∵以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形，
故點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)E，則Q（F）向右平移1個(gè)單位向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
則或，
解得或，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，5+）或（﹣1，5﹣）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
（3）存在，理由：
由題意拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B′（﹣1，0），將點(diǎn)B′向左平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B″（﹣2，0），
連接B″E，交函數(shù)的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥y軸，則點(diǎn)P、M為所求點(diǎn)，此時(shí)EM+MP+PB為最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四邊形B″B′PM為平行四邊形，則B″M＝B′P＝BP，
則EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E+1為最小，
由點(diǎn)B″、E的坐標(biāo)得，直線B″E的表達(dá)式為y＝（x+2），
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝（x+2）＝，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，），
則EM+MP+PB的最小值B″E+1＝1+＝+1．
類型三、兩定兩動(dòng)：斜線+拋物線
例3-1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交點(diǎn)C，拋物線過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.
（1）求拋物線的解析式.
（2）在直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接，與直線相交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo).
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
答案：（1）
（2），
（3）M的坐標(biāo)為或)或或或
解析：（1）在中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
、，
拋物線的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）令，解得，，
，
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t，則，
如圖，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則，
，
，
，
，
，
點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，
，
，
，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，，
（3）拋物線的解析式為，
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸方程為，
在（2）的條件下，
點(diǎn)E位于對(duì)稱軸左側(cè)，
，
點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，
設(shè)，
，，
，，，
①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，，即，
，
，
或；
②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，即，
，
解得，
；
③當(dāng)，即，
，
或，
或；
綜上所述，M的坐標(biāo)為或)或或或.
例3-2．如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線 與直線l 交于A,B 兩點(diǎn), 其中，.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P,Q 為直線 l下方拋物線上任意兩點(diǎn), 且點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為m, 點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為, 過(guò)點(diǎn)P 和 點(diǎn)Q 分別作y 軸的平行線交直l線 于點(diǎn)C 和點(diǎn)D, 連接PQ, 求四邊形PQDC 面積的最大值;
(3)在 (2) 的條件下, 將拋物線 沿射線AB 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度, 得到新拋物線, 點(diǎn)E 為 點(diǎn)P 平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn), 點(diǎn) F為新拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn), 點(diǎn) G為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn), 當(dāng) 以點(diǎn) B,E,F,G為頂點(diǎn)、以 EF為邊的四邊形是菱形時(shí), 直接寫出所有符合條件的點(diǎn)G 的坐標(biāo), 并 把其中一個(gè)點(diǎn)G 的坐標(biāo)的求解過(guò)程寫出來(lái).
答案： (1)
(2)
(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，或
解析： (1) 把 ，分別代入,
得 解得
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為.
(2)設(shè)直線AB 的函數(shù)表達(dá)式為, 將, 分別代入,
得 解得
直線AB 的函數(shù)表達(dá)式為.
點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為, 點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為,
，
，,
，
四邊形PQDC 的面積為
.,
當(dāng) 時(shí), 四邊形 PQDC的面積有最大值, 最大值為.
(3)由 (2) 知,
將拋物線 沿射線AB 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線, 即將拋物線先向右平移 4 個(gè)單位長(zhǎng) 度, 再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線,
點(diǎn)E 的坐標(biāo)為, 即,
新 拋物線的解析式為
新拋物線的對(duì)稱軸為直線.
設(shè).
由題意, 分以下兩種情況討論.
①當(dāng)BE 是以點(diǎn)B,E,F,G 為頂點(diǎn), 以EF 為邊的菱形的 一邊時(shí), 如圖(1),
解得 或,
點(diǎn)F 的坐標(biāo)為 或
又 將 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度, 再向上平 移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，, 易得點(diǎn)G 的坐標(biāo)為 或.
②當(dāng)BE 是以點(diǎn)B,E,F,G 為頂點(diǎn), 以EF 為邊的菱形的 對(duì)角線時(shí), 如圖 (2), 則,
同(1)中方法可求得.
將 先向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度, 再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，，, 點(diǎn),
易得.
(2)，，,
直線BC 的表達(dá)式為 ，，，
設(shè)點(diǎn),
令,
點(diǎn)H 的橫坐標(biāo)為,
,
當(dāng) 時(shí), PH取得最大值,.
當(dāng) 時(shí), ,
.
設(shè) 的周長(zhǎng)為 ，的周長(zhǎng)為l,
，,
針對(duì)練習(xí)3
3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P滿足（2）中的條件，且位于對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)， N為直線上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得由構(gòu)成的四邊形是以為邊的菱形？若能，求出菱形的邊長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由.
答案：解:(1)令,解得
點(diǎn),令,得,
.
設(shè)直線的解析式為，
（2）過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E交于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)，
，
，解得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
（3）點(diǎn)P位于對(duì)稱軸右側(cè)，
點(diǎn)P坐標(biāo)為.
點(diǎn),
軸.
以構(gòu)成的四邊形是以為邊的菱形，
軸，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入，解得，
∴直線的解析式為.
設(shè)點(diǎn).
四邊形是菱形，
，
點(diǎn)，
，整埋得.
，
，
整理得，
，
解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足題意；
，
存在在對(duì)稱軸右側(cè)，使得由構(gòu)成的四邊形是以為邊的菱形，
,
菱形邊長(zhǎng)是.
2.綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．
（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．
①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM的長(zhǎng)．
【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐標(biāo)，令x＝0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
②設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直線l∥BC可設(shè)直線BC的解析式為y＝3k+b，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得b＝﹣4m﹣6，則M（﹣2，﹣4m﹣12），根據(jù)AC的函數(shù)表達(dá)式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根據(jù)S△DMN＝S△AOC可求得m，求出點(diǎn)D，點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得DM的長(zhǎng)．
【解析】（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6；
（2）①存在：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴當(dāng)DE＝BC時(shí)，以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
分兩種情況：
如圖，當(dāng)BD＝BC時(shí)，四邊形BDEC為菱形，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），
∵點(diǎn)D向左移動(dòng)2各單位長(zhǎng)度，向下移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）；
如圖，當(dāng)CD＝CB時(shí)，四邊形CBED為菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2﹣6），
∵點(diǎn)D向右移動(dòng)2各單位長(zhǎng)度，向上移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)E，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣2，2）；
綜上，存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6，直線l∥BC，
∴設(shè)直線l的解析式為y＝3x+b，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，﹣1），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，8），
∴DM＝＝3，
答：DM的長(zhǎng)為3．
總結(jié)：菱形作為特殊的平行四邊形其存在性問(wèn)題亦是分類討論中的一大難點(diǎn)．此類題目多以直角坐標(biāo)平面為背景．題干中一般會(huì)給出兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)在某個(gè)可求的函數(shù)圖像上，在另一個(gè)函數(shù)的圖像上或直角坐標(biāo)平面內(nèi)，求能與之前的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成菱形的第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．此類題目的一大難度在于如何合理分類的問(wèn)題．若題干中已知兩定點(diǎn)的話，可以把這兩定點(diǎn)連成的線段是菱形的一邊或者對(duì)角線進(jìn)行分類討論，再利用菱形的性質(zhì)確定出其他的頂點(diǎn)的位置

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