函數(shù)及圖像與幾何問題【知識縱橫】    函數(shù)（本節(jié)主要指一次函數(shù)、反比例函數(shù)）及圖像與幾何問題，是以函數(shù)為背景探求幾何性質(zhì)，這類題很重要點是利用函數(shù)的性質(zhì)，解決幾個主要點的坐標(biāo)問題，使幾何知識和函數(shù)知識有機(jī)而自然結(jié)合起來，這樣，才能突破難點。但在解這類題目時，要注意方程的解與坐標(biāo)關(guān)系，及坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系。【典型例題】【例1】（山東濟(jì)寧）如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的⊙C與軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：=k+3。(1) 設(shè)點P的縱坐標(biāo)為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式。(2)設(shè)⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP。請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；(3)是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由。【思路點撥】（1）將P的坐標(biāo)代入=k+3即可。（2）要證△AMN∽△ABP，只要證∠ABD∠AMN即可。（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，由相似三角形△AMN和△ABP的面積比，分點P在B點上下方兩種情況求解。    【例2】（湖南懷化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數(shù)的圖象與AC邊交于點E．（1）求證：AE?AO=BF?BO；（2）若點E的坐標(biāo)為（2，4），求經(jīng)過O、E、F三點的拋物線的解析式；（3）是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出此時的OF的長：若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，即可得出AE?AO=BF?BO。（2）利用E點坐標(biāo)首先求出BF= ，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可。                       【例3】（湖南婁底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD為直徑作⊙O1，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣2，0）．（1）求C，D兩點的坐標(biāo)．（2）求證：EF為⊙O1的切線．（3）探究：如圖，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）連接DE。（2）連接O1E，可證O1E∥AB，再由EF⊥AB，證明O1E⊥EF即可。（3）過P作PM⊥軸于M，作PN⊥軸于N，再利用銳角三角函數(shù)定義求解。                  【例4】（浙江金華、麗水）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作軸垂線，分別交軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．（1）當(dāng)∠AOB=30°時，求弧AB的長度；（2）當(dāng)DE=8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）連接BC。（2）連接OD，證明△OEF∽△DEA，再利用相似比求EF。（3）當(dāng)以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當(dāng)交點E在O，C之間時，②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時三種情況，分別求出E點坐標(biāo)。                         【學(xué)力訓(xùn)練】1、（福建泉州）如圖1，在第一象限內(nèi)，直線y=mx與過點B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點．（1）當(dāng)點A的坐標(biāo)為（，p）時，①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．②如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點F，當(dāng)r=2時，試說明：以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形； （2）在圖1中，連接EQ并延長交⊙Q于點D，試探索：對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c，a的值會變化嗎？若不變，求出a的值；若變化．請說明理由。               2、（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．（1）求證：與的面積相等；（2）記，求當(dāng)為何值時，有最大值，最大值為多少？（3）請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點，使得將沿對折后，點恰好落在上？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．                        3、（浙江嘉興）如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點，點在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸于點，過點的圓的切線交軸于點．（1）求兩點的坐標(biāo)；（2）求直線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)分別是線段上的兩個動點，且平分四邊形的周長．試探究：的最大面積？                          4、（08杭州市） 在直角梯形中，，高（如圖1）。動點同時從點出發(fā)，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，兩點運動時的速度都是。而當(dāng)點到達(dá)點時，點正好到達(dá)點。設(shè)同時從點出發(fā)，經(jīng)過的時間為時，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點在邊上從到運動時，與的函數(shù)圖象是圖3中的線段。（1）分別求出梯形中的長度；（2）寫出圖3中兩點的坐標(biāo)；（3）分別寫出點在邊上和邊上運動時，與的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補(bǔ)全整個運動中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。              函數(shù)及圖像與幾何問題的參考答案【典型例題】【例1】（山東濟(jì)寧）解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，∴OA⊥AD   BD⊥AD 。 又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四邊形OADB是矩形。∵⊙C的半徑為2，∴AD=OB=4。∵點P在直線l上，∴點P的坐標(biāo)為（4，p）。又∵點P也在直線AP上，∴p=4k+3。（2）連接DN。∵AD是⊙C的直徑，∴ ∠AND=90°。∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN， ∴∠AND=∠ABD  。                    又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。∵∠MAN=∠BAP  ∴△AMN∽△ABP 。（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。∴AB=。∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB，∴DN==。 ∴AN2=AD2－DN2=。∵△AMN∽△ABP ， ∴   即 。當(dāng)點P在B點上方時，∵AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(PB－BD)2 =42＋(4k＋3－3)2 =16(k2＋1)，或AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(BD－PB)2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1)，S△ABP= PB·AD= (4k＋3)×4=2(4k＋3)，∴。整理得k2－4k－2=0 ，  解得k1 =2＋ ， k2=2－ 。當(dāng)點P在B 點下方時，∵AP2=AD2＋PD2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1) ，S△ABP= PB·AD= [－(4k＋3)]×4=－2(4k＋3)，∴。             整理得k2+1=－（4k＋3），   解得k=－2。             綜合以上所得，當(dāng)k=2±或k=－2時，△AMN的面積等于。【例2】（湖南懷化）解：（1）證明：∵E，F點都在反比例函數(shù)圖象上，∴根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，，∴AE?AO=BF?BO。（2）設(shè)經(jīng)過O、E、F三點的拋物線的解析式為，∵點E的坐標(biāo)為（2，4），∴AE?AO=BF?BO=8。∵BO=6，∴BF=，∴F（6，），把O、E、F三點的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式得：，解得：。∴經(jīng)過O、E、F三點的拋物線的解析式為。（3）如果設(shè)折疊之后C點在OB上的對稱點為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點G，則根據(jù)折疊性質(zhì)、相似三角形、勾股定理有：設(shè)BC'=，BF=，則C'F=CF=．∴點的坐標(biāo)F（6，），E（1.5，4）。EC'=EC=，∴在Rt△C'BF中， ①。∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（）：（）=4：=（）： ②。解得：，∴F點的坐標(biāo)為（6，）。∴OF= 。【例3】（湖南婁底）解：（1）連接DE，∵CD是⊙O1的直徑，∴DE⊥BC。∴四邊形ADEO為矩形．∴OE=AD=2，DE=AO=2。∵在等腰梯形ABCD中，DC=AB，∴CE=BO=2，CO=4。∴C（4，0），D（2，2）。（2）連接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1CE。在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，∴O1E∥AB。又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF。∵E在AB上，∴EF為⊙O1的切線。（3）存在滿足條件的點P．如圖，過P作PM⊥軸于M，作PN⊥軸于N，依題意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，設(shè)ON=，則PM=PC=，CN=4－，在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=，∴∠ABO=60°，∴∠PCN=∠ABO=60°。在Rt△PCN中，cos∠PCN=，即，∴。∴PN=CN?tan∠PCN=。∴滿足條件的P點的坐標(biāo)為（）。【例4】（浙江金華、麗水）解：（1）連接BC，∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。∴弧AB的長=。（2）連接OD，∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA=90°。又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線。∴OD=OA=10。在Rt△ODE中，OE=。∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。∴，即，∴EF=3。（3）設(shè)OE=，①當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，∴E1（，0）。當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5﹣，AE=10﹣，∴CF∥AB，有CF=AB。∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E2（，0）。②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。連接BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。∴CF∥BE。∴。∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去，∴E3（，0）。③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。連接BE，得BE=AD =AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA。∴CF∥BE。∴。又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去， 又∵點E在軸負(fù)半軸上，∴E4（，0）。綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標(biāo)為：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。 【學(xué)力訓(xùn)練】1、（福建泉州）解：（1） 1，，60°。（2）如圖，連接TM，ME，EN，QN，QM ，∵OE和OP是⊙Q的切線，∴QE⊥x軸，QT⊥OT，即∠QTA=90°。而l∥x軸，∴QE⊥MN。∴MF=NF。又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。∴四邊形QNEM為平行四邊形，即QN∥ME。∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN為等邊三角                    形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。∴T、Q、N三點共線，即TN為直徑。∴∠TMN=90°。∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。∴以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形。（3）對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c，a的值不會變化。理由如下：如圖，連DM，ME，∵DM為直徑，∴∠DME=90°。而DM垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。∴MF2=EF?FD。設(shè)D（h，k），（h＞0，k=2r），則過M、D、N三點的拋物線的解析式為：y=a（x-h）2+k。又∵M、N的縱坐標(biāo)都為1，當(dāng)y=1時，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。∴MN=2。∴MF=MN=。∴。∴ 。∴a=－1。∴對m、r的不同取值，經(jīng)過M、D、N三點的拋物線y=ax2+bx+c，a的值會變化，a=－1。2、（浙江湖州）（1）證明：設(shè)，，與的面積分別為，，由題意得，．，．，即與的面積相等．（2）由題意知：兩點坐標(biāo)分別為，，，．當(dāng)時，有最大值．．（3）解：設(shè)存在這樣的點，將沿對折后，點恰好落在邊上的點，過點作，垂足為．由題意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合條件的點，它的坐標(biāo)為．3、（浙江嘉興）（1），．作于，為正三角形，，．．連，，，．． （2），是圓的直徑，又是圓的切線，．，．．設(shè)直線的函數(shù)解析式為，則，解得．直線的函數(shù)解析式為．（3），，，，四邊形的周長．設(shè)，的面積為，則，．．當(dāng)時，．點分別在線段上，，解得．滿足，的最大面積為．4、（杭州市）（1）設(shè)動點出發(fā)秒后，點到達(dá)點且點正好到達(dá)點時，，則（秒）則；（2）可得坐標(biāo)為（3）當(dāng)點在上時，；當(dāng)點在上時，圖象略      

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