高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)1.2.3 直線與平面的夾角完整版ppt課件

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1.2.3　直線與平面的夾角學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．理解斜線與平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性．2．會(huì)求直線與平面的夾角．(重點(diǎn)、難點(diǎn))　通過學(xué)習(xí)空間線面角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．賽艇比賽，是2022年第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)主要賽事之一．劃桿與水平面所成角的大小，直接關(guān)系到賽艇的速度．如何確定劃桿與水平面所成角，正是我們這一節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容．知識(shí)點(diǎn)1　直線與平面所成的角直線與平面所成的角1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線與平面的夾角不是銳角就是直角． (　　)(2)斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角． (　　)(3)斜線與平面的夾角為[0，90°]． (　　)(4)直線與平面的夾角為[0，90°]． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√[提示]　(1)×　錯(cuò)誤，角的度數(shù)還可以是零度．(2)√　根據(jù)斜線與平面所成的角的定義知正確．(3)×　斜線與平面的夾角為(0，90°)．(4)√　正確．知識(shí)點(diǎn)2　最小角定理1．一平面的斜線在平面內(nèi)的射影是一條線段還是直線？它是唯一的嗎？[提示]　是一條直線，斜線在平面內(nèi)的射影是唯一的．2．已知∠APB在平面α內(nèi)，大小為60°，射線PC與PA，PB所成的角均為135°，則PC與平面α所成角的余弦值是(　　)A．－　　　B．　　　C．　　　D．－B　[設(shè)PC與平面α所成的角為θ，則cos 45°＝cos θ·cos 30°，所以cos θ＝．]知識(shí)點(diǎn)3　用空間向量求直線與平面的夾角如果v是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的法向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ，則θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特別地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．2．直線l的方向向量s與平面的法向量n的夾角一定是直線和平面的夾角嗎？[提示]　不是．直線和平面的夾角為．3．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于(　　)A．120°　　　　 B．60°C．30° D．以上均錯(cuò)C　[設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．] 類型1　公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的應(yīng)用【例1】　∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA與平面α所成的角．[解]　法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a．又∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2．∴△ABC為等腰直角三角形．同理△BOC也為等腰直角三角形．取BC中點(diǎn)為H，連接AH，OH，∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2．∴△AHO為等腰直角三角形．∴AH⊥OH．又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH⊥平面α．∴OH為AO在平面α內(nèi)的射影，∠AOH為OA與平面α所成的角．在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝．∴∠AOH＝45°．∴OA與平面α所成的角為45°．法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，∴OA在α內(nèi)的射影為∠BOC的平分線，作∠BOC的角平分線OH交BC于H．又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°．故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，得cos∠AOH＝＝，∴OA與平面α所成的角為45°．求線面角的關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進(jìn)而證明AH⊥平面α，從而證明H是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求線面角，也是常用的方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ．[解]　由題意得∠CBD＝45°，∠PBD即為直線PB與平面ABCD所成的角θ．∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°． 類型2　用定義法解決直線與平面的夾角問題【例2】　如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若D為PB的中點(diǎn)，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．1．用定義法求直線與平面夾角的關(guān)鍵是什么？[提示]　尋找直線與平面的夾角，即準(zhǔn)確確定直線在平面內(nèi)的射影．2．定義法求直線與平面夾角的基本思路是什么？[提示]　①若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則直線與平面的夾角為0°；②若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為；③若直線與平面相交但不垂直，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為O，在直線上任取異于O點(diǎn)的另一點(diǎn)P，過P作平面的垂線PA，A為垂足，則OA即為直線在平面內(nèi)的射影，∠AOP即為直線與平面的夾角，然后通過解三角形求出直線與平面夾角的大小．[解]　(1)證明：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．(2)取PC的中點(diǎn)E，連接DE．因?yàn)?/span>D為PB的中點(diǎn)，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．連接AE，則AE是AD在平面PAC內(nèi)的射影，所以∠DAE是直線AD與平面PAC的夾角．設(shè)PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．因?yàn)?/span>∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝，DE＝，在直角三角形ABP中，AD＝a，所以sin∠DAE＝＝＝．即AD與平面PAC夾角的正弦值為．1．(變問法)若本例條件不變，問題(2)改為：D為PB上的一點(diǎn)，且BD＝PB，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．[解]　由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，過PB的三等分點(diǎn)D作DE∥BC，則DE⊥平面PAC，連接AE，AD，則∠DAE為AD與平面PAC的夾角，不妨設(shè)PA＝AB＝1，因?yàn)?/span>∠ABC＝60°，所以BC＝，DE＝×＝，PB＝，BD＝．在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，所以AD＝，所以sin∠DAE＝＝＝．即AD與平面PAC夾角的正弦值為．2．(變問法)若本例的題(2)條件不變，求AD與平面PBC的夾角的正弦值．[解]　由例題(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC．過A作AE⊥PC．所以AE⊥平面PBC．連接ED，則∠ADE為AD與平面PBC的夾角．設(shè)PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a．故AD＝a．在△APC中，AP＝2a，AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，所以PC＝＝a，設(shè)∠ACP＝θ，則AE＝AC·sin θ＝AC×＝a×＝a＝a，所以sin∠ADE＝＝＝．即AD與平面PBC夾角的正弦值為．用定義法求直線與平面所成角的關(guān)注點(diǎn)(1)關(guān)鍵：尋找直線與平面的夾角，即準(zhǔn)確確定直線在平面內(nèi)的射影．(2)三種情況：①若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則直線與平面的夾角為0；②若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為；③若是斜線與平面，作出斜線與平面所成的角，通過解三角形求出直線與平面夾角的大?。?/span>[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CB1與平面AA1C1C所成角的大小為________．30°　[如圖，連接B1D1交A1C1于O，連接OC，因?yàn)閹缀误w是正方體，所以OB1⊥平面AA1C1C，所以∠B1CO是CB1與平面AA1C1C所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，則OB1＝，CB1＝，sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．即CB1與平面AA1C1C所成角的大小為30°．] 類型3　用向量求直線與平面所成的角【例3】　(對(duì)接教材人教B版P45例2)如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)H為D′B′上一點(diǎn)，且D′H＝D′B′，DH與BD′交于點(diǎn)P，求DP與平面AA′D′D所成角的大?。?/span>[解]　如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C(0，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)，∴＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)．∵D′H＝D′B′，∴＝＝，∴＝＋＝(0，0，1)＋＝．∵平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0，1，0)，∴cos〈，〉＝＝＝．設(shè)DP與平面AA′D′D所成角為θ，則sin θ＝|cos〈，〉|＝，∴θ＝30°，即DP與平面AA′D′D所成的角為30°．用向量法求線面角的步驟是什么？[提示]　(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sin θ＝．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面AC1M；(2)求AA1與平面AC1M所成角的正弦值．[解]　(1)證明：在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)．以C為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，M，＝(0，－1，－2)，＝(－1，0，2)，＝，設(shè)平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，則取z＝1，得n＝(2，－2，1)，∴·n＝0，又B1C?平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M．(2)＝(0，0，2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2，1)，設(shè)AA1與平面AC1M所成的角為θ，則AA1與平面AC1M所成角的正弦值sin θ＝＝＝，所以AA1與平面AC1M所成角的正弦值為．1．若直線l與平面α所成角為，直線a在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是(　　)A．　　　　　 B．C． D．D　[由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為，又l，a為異面直線，則所成角的最大值為．]    2．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為(　　)A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．C　[連接A1C1交B1D1于O點(diǎn)，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，連接BO，則BO為BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即為所求．C1O＝×＝2，BC1＝＝2，∴sin∠C1BO＝＝＝．]3．已知正四棱錐O-ABCD中，OA＝AB，則OA與底面ABCD所成角的正弦值等于(　　)A．　　B．　　C．　　D．C　[設(shè)O在底面ABCD內(nèi)的射影為O′，則O′為底面ABCD的中心，O′A＝AB．∵OA＝AB，∴OO′＝AB，∴OA與底面ABCD所成角∠OAO′的正弦值為．]4．若平面α的一個(gè)法向量為(1，1，1)，直線l的方向向量為(0，3，4)，則l與α所成角的正弦值為________．　[設(shè)l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝＝＝．]5．在正三棱錐P-ABC中，PA＝4，AB＝，則側(cè)棱PA與底面ABC所成角的正弦值為________．　[如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA＝4，AB＝，設(shè)P在底面上的射影為O，則O為△ABC的中心，由已知求得AO＝1，又PA＝4，∴PO＝＝．∴sin∠PAO＝＝．即側(cè)棱PA與底面ABC所成角的正弦值為．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題：1．你是怎樣理解公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的？[提示]　由0≤cos θ2≤1，∴cos θ≤cos θ1，從而θ1≤θ．在公式中，令θ2＝90°，則cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0．∴θ＝90°，此即三垂線定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即為三垂線定理的逆定理，即三垂線定理及逆定理可看成此公式的特例．2．利用向量法求直線與平面夾角的優(yōu)點(diǎn)是什么？需要注意什么問題？[提示]　(1)利用向量法求直線與平面的夾角的優(yōu)點(diǎn)在于不需要作出角，只需建立空間直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出平面的法向量，再利用公式sin θ＝|cos〈v，n〉|求解．(2)利用法向量求直線和平面所成的角時(shí)要注意兩點(diǎn)：①不要認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量的夾角就是直線與平面所成的角；②直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值可正可負(fù)，要注意直線和平面所成角的范圍是．