高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修第二冊4.3.1 一元線性回歸模型多媒體教學ppt課件-課件下載-教習網(wǎng)

www.ks5u.com第2課時　相關(guān)系數(shù)與非線性回歸學習目標核心素養(yǎng)1．了解兩個變量間的線性相關(guān)系數(shù)r，并能利用公式求相關(guān)系數(shù)r.(重點)2．能利用相關(guān)系數(shù)r判斷兩個變量線性相關(guān)程度的大小，從而判斷回歸直線方程擬合的效果．(重點)3．掌握非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸的方法，會求非線性回歸方程，并作出預測．(難點)1．通過學習相關(guān)系數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學運算的素養(yǎng)．2．借助非線性回歸方程的學習，提升數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模的素養(yǎng).據(jù)隆眾資訊數(shù)據(jù)統(tǒng)計，2017～2019年截止到10月底的數(shù)據(jù)顯示，聚丙烯期貨價格及現(xiàn)貨價格二者相關(guān)系數(shù)為88.70%，其中2017年二者相關(guān)系數(shù)高達90.86%,2018年降至83.97%,2019年截止到10月底二者相關(guān)系數(shù)為65.23%.問題：什么是相關(guān)系數(shù)，如何計算，它有什么作用？1．相關(guān)系數(shù)(1)定義：統(tǒng)計學里一般用r＝＝來衡量y與x的線性相關(guān)性強弱，這里的r稱為線性相關(guān)系數(shù)(簡稱為相關(guān)系數(shù))．(2)性質(zhì)①|r|≤1，且y與x正相關(guān)的充要條件是r＞0，y與x負相關(guān)的充要條件是r＜0；②|r|越小，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱，也就是得出的回歸直線方程越?jīng)]有價值，即方程越不能反映真實的情況；|r|越大，說明兩個變量之間的線性相關(guān)性越強，也就是得出的回歸直線方程越有價值；③|r|＝1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上．2．非線性回歸方程如果具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量x，y不是線性相關(guān)關(guān)系，那么稱為非線性相關(guān)關(guān)系，所得到的方程稱為非線性回歸方程(也簡稱為回歸方程)．思考：如何猜測非線性回歸方程的類型？[提示]　可以通過作出散點圖，結(jié)合已學的函數(shù)模型進行猜測．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若相關(guān)系數(shù)為0，則說明兩變量x，y之間沒任何關(guān)系． (　　)(2)兩個變量相關(guān)系數(shù)越大，說明它們的相關(guān)性越強． (　　)(3)求回歸方程時，最好用相關(guān)系數(shù)判斷一下，兩變量相關(guān)性的強弱． (　　)(4)非線性回歸方程可借助線性回歸方程求得． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性(　　)A．甲　　　　 B．乙C．丙　　 D．丁D　[r的絕對值越接近1，相關(guān)性越強，故選D.]3．在一項調(diào)查中有兩個變量x和y，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點圖，那么適宜作為y關(guān)于x的回歸方程的函數(shù)類型是(　　)A．y＝a＋bx B．y＝c＋dC．y＝m＋nx2 D．y＝p＋qcx(q＞0)B　[散點圖呈曲線，排除A選項，且增長速度變慢，排除選項C、D，故選B.]4．在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，則y與x的相關(guān)系數(shù)為________．－1　[法一：＝1.5，＝1，x＝22，y＝56，xiyi＝－20，相關(guān)系數(shù)r＝＝－1.法二：觀察四個點，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的直線上，故y與x的相關(guān)系數(shù)為－1.]相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)【例1】　(1)在一組數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，則所有的樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是(　　)A．y＝－x＋1　　 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2(2)設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線方程的回歸系數(shù)為，回歸截距是，那么必有(　　)A.與r的符號相同 B.與r的符號相同C.與r的符號相反　　 D.與r的符號相同(1)A　(2)A　[(1)∵這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，∴這一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)線性相關(guān)，且是負相關(guān)，∴可排除D，B，C，故選A.(2)由公式可知與r的符號相同．]線性相關(guān)強弱的判斷方法：1．散點圖(越接近直線，相關(guān)性越強)；2．相關(guān)系數(shù)(絕對值越大，相關(guān)性越強)．1．如圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖和回歸直線，若去掉一個點使得余下的5個點所對應的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大，則應當去掉的點是(　　)A．D B．E C．F　 D．AB　[因為相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，越接近1，則說明兩個變量的相關(guān)性越強．因為點E到直線的距離最遠，所以去掉點E，余下的5個點所對應的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大．]相關(guān)系數(shù)的計算及應用【例2】　假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知x＝90，y≈140.8，xiyi＝112.3，≈8.9，≈1.4.(1)計算y與x之間的相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)，并求出回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸方程，預測假設(shè)使用年限為10年時，維修費用約是多少萬元？[解]　(1)∵＝＝4，＝＝5.xiyi－5＝112.3－5×4×5＝12.3，x－52＝90－5×42＝10，y－52＝140.8－125＝15.8，所以r＝＝＝≈≈0.987.又＝＝＝1.23.＝－＝5－1.23×4＝0.08.所以回歸直線方程為＝1.23x＋0.08.(2)當x＝10時，＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即假設(shè)使用10年時，維修費用約為12.38萬元．2．某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應關(guān)系：x2468y30405070(1)計算x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并求其回歸直線方程；(2)若實際銷售額不少于80百萬元，則原料耗費應該不少于多少？[解]　(1)畫出(x，y)的散點圖如圖所示，由圖可知x，y有線性關(guān)系．＝5，＝47.5，x＝120，y＝9 900，xiyi＝1 080，故相關(guān)系數(shù)r＝＝≈0.982 7.＝＝＝6.5，＝－＝47.5－6.5×5＝15.故回歸直線方程為＝6.5x＋15.(2)由回歸直線方程知，當≥80，即6.5x＋15≥80時，x≥10.故原料耗費應不少于10百萬元．非線性回歸方程[探究問題]已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個函數(shù)中，哪一個作為回歸模型最好？x123y35.9912.01①y＝3×2x－1；②y＝log2x；③y＝4x；④y＝x2.[提示]　作出散點圖(圖略)，觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律可判斷樣本點分布在曲線y＝3×2x－1附近．①作為回歸模型最好．【例3】　某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成．每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖．觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型y＝a＋和指數(shù)函數(shù)模型y＝cedx分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合．已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為＝96.54e－0.2x，ln y與x的相關(guān)系數(shù)r1＝－0.94.參考數(shù)據(jù)：uiyi2uyiye－2183.40.340.1151.5336022 385.561.40.135(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；(3)該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出)．根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)(2)的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應選擇100元還是90元，請說明理由．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，υ1)，(u2，υ2)，…，(un，υn)，其回歸直線υ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：＝，＝－，相關(guān)系數(shù)r＝[思路點撥]　(1)首先可令u＝并將y＝a＋轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，然后根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以及線性回歸方程的相關(guān)公式計算出以及，即可得出結(jié)果；(2)計算出反比例函數(shù)模型的相關(guān)系數(shù)r并通過對比即可得出結(jié)果；(3)可分別計算出單價為100元和90元時產(chǎn)品的利潤，通過對比即可得出結(jié)果．[解]　(1)令u＝，則y＝a＋可轉(zhuǎn)化為y＝a＋bu，因為＝＝45，所以＝＝＝＝100，則＝－＝45－100×0.34＝11，所以＝11＋100u，所以y關(guān)于x的回歸方程為＝11＋.(2)y與的相關(guān)系數(shù)為：r2＝＝≈0.99.因為|r1|＜|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，當x＝10時，y＝＋11＝21(元)，所以當產(chǎn)量為10千件時，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元．(3)①當產(chǎn)品單價為100元，設(shè)訂單數(shù)為x千件，因為簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2，所以E(x)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2，所以企業(yè)利潤為100×9.2－9.2×＝626.8(千元)．②當產(chǎn)品單價為90元，設(shè)訂單數(shù)為y千件，因為簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7，所以E(y)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，所以企業(yè)利潤為90×10.7－10.7×＝638.3(千元)．故企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應選擇90元．非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：3．二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A型號二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數(shù)據(jù)：使用年數(shù)x234567售價y201286.44.43z＝ln y3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)求y關(guān)于x的回歸方程并預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約為多少？ (b，a小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7 118元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年？參考數(shù)據(jù)：xiyi＝187.4，xizi＝47.64，x＝139，≈4.18，＝13.96，＝1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.參考公式：回歸直線方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝＝，＝－.r＝，，為樣本平均值．[解]　(1)由題意，計算＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，且xizi＝47.64，≈4.18，＝1.53，所以r＝＝＝－≈－0.99.所以z與x的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，說明z與x的線性相關(guān)程度很高．(2)利用最小二乘估計公式計算＝＝＝－≈－0.36，所以＝－＝2＋0.36×4.5＝3.62，所以z關(guān)于x的線性回歸方程是＝－0.36x＋3.62，又z＝ln y，所以y關(guān)于x的回歸方程是＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，解得y＝e－0.36×9＋3.62≈1.46，即預測某輛A型號二手車當使用年數(shù)為9年時售價約1.46萬元．(3)當y≥0.711 8時，e－0.36x＋3.62≥0.711 8＝eln 0.711 8＝e－0.34，所以－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11年．1．判斷變量的相關(guān)性通常有兩種方式：一是散點圖，二是相關(guān)系數(shù)r，前者只能粗略的說明變量間具有相關(guān)性，而后者從定量的角度分析變量相關(guān)性的強弱．2．只有當兩變量間呈線性相關(guān)關(guān)系時，才可以求回歸系數(shù)，得到回歸直線方程＝x＋；若兩變量間的關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，應觀察分析其散點圖，找出擬合函數(shù)，通過變量代換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題．1．兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低，其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值(　　)A．越接近于－1　　　　 B．越接近于0C．越接近于1 D．越小B　[由相關(guān)系數(shù)的含義可得：兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低，其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值越接近于0.故選B.]2．如圖所示，給出了樣本容量均為7的A，B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r1，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2，則(　　)A．r1＝r2 B．r1＜r2C．r1＞r2 D．無法判定C　[根據(jù)A，B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點圖知，A組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為r1應最接近1，B組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為r2，滿足r2<r1，即r1>r2，故選C.]3．對于線性相關(guān)系數(shù)r，敘述正確的是(　　)A．r∈(－∞，＋∞)，且r越大，相關(guān)程度越大B．r∈(－∞，＋∞)，且|r|越大，相關(guān)程度越大C．r∈[－1,1]，且r越大，相關(guān)程度越大D．r∈[－1,1]，且|r|越大，相關(guān)程度越大D　[相關(guān)系數(shù)r是來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度的，線性相關(guān)系數(shù)是一個絕對值小于等于1的量，并且它的絕對值越大就說明相關(guān)程度越大．故選D.]4．若回歸直線方程中的回歸系數(shù)＝0，則相關(guān)系數(shù)r＝________.0　[相關(guān)系數(shù)r＝與＝的分子相同，故r＝0.]5．根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示．(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)；(2)求y關(guān)于x的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式r＝＝，參考數(shù)據(jù)：≈0.55，≈0.95.回歸方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝＝，＝－.[解]　(1)由已知數(shù)據(jù)可得＝＝5，＝＝4.所以 (xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6，＝＝2，＝＝，所以相關(guān)系數(shù)r＝＝＝≈0.95.因為r＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(2)＝＝＝0.3.那么＝4－5×0.3＝2.5.所以回歸方程為＝0.3x＋2.5.當x＝12時，＝0.3×12＋2.5＝6.1，即當液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為6.1百千克．

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