www.ks5u.com4.3　統(tǒng)計(jì)模型4.3.1　一元線性回歸模型第1課時(shí)　相關(guān)關(guān)系與回歸直線方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．了解變量間的相關(guān)關(guān)系．(易混點(diǎn))2．會(huì)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷數(shù)據(jù)是否具有相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn))3．了解最小二乘法的思想，會(huì)求回歸直線方程，掌握回歸方程的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過回歸直線方程及相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模與直觀想象的素養(yǎng)．2．借助回歸直線方程的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).你知道“名師出高徒”的意思嗎？——高明的師傅一定能教出技藝高的徒弟，比喻學(xué)識(shí)豐富的人對(duì)于培養(yǎng)人才的重要．也就是說，高水平的老師往往能教出高水平的學(xué)生．問題：那么老師的水平與學(xué)生的水平之間具有怎樣的關(guān)系呢？這種關(guān)系是確定的嗎？該關(guān)系與函數(shù)關(guān)系相同嗎？1．相關(guān)關(guān)系如果兩個(gè)變量之間確實(shí)有一定的關(guān)系，但沒有達(dá)到可以互相決定的程度，它們之間的關(guān)系帶有一定的隨機(jī)性，像這樣兩個(gè)變量之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)上都稱為相關(guān)關(guān)系．思考1：函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系嗎？[提示]　不是．函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量之間是一種確定關(guān)系．2．線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖一般地，如果收集到了變量x和變量y的n對(duì)數(shù)據(jù)(簡(jiǎn)稱為成對(duì)數(shù)據(jù))，如下表所示．序號(hào)i123…n變量xx1x2x3…xn變量yy1y2y3…yn則在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出點(diǎn)(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到這n對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．(2)線性相關(guān)：如果由變量的成對(duì)數(shù)據(jù)、散點(diǎn)圖或直觀經(jīng)驗(yàn)可知，變量x與變量y之間的關(guān)系可以近似地用一次函數(shù)來刻畫，則稱x與y線性相關(guān)．(3)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)若x與y線性相關(guān)，如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上也增大，則稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量增大，另一個(gè)變量大體上減少，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．3．回歸直線方程(1)一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n.任意給定一個(gè)一次函數(shù)y＝bx＋a，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值i＝bxi＋a，如果一次函數(shù)＝x＋能使取得最小值，則＝x＋稱為y關(guān)于x的回歸直線方程(對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線)．因?yàn)槭鞘沟?/span>平方和最小，所以其中涉及的方法稱為最小二乘法．其中，回歸系數(shù)＝＝，＝－.＝(x1＋x2＋…＋xn)＝xi；＝(y1＋y2＋…＋yn)＝yi.4．回歸直線方程：＝x＋的性質(zhì)(1)回歸直線一定過點(diǎn)(，)．(2)回歸系數(shù)的實(shí)際意義①是回歸方程的斜率；②當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)，增大個(gè)單位．思考2：y與x正負(fù)相關(guān)的充要條件分別是什么？[提示]　當(dāng)＞0時(shí)，y與x正相關(guān)，反之也成立，同理＜0是y與x負(fù)相關(guān)的充要條件．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的一種確定的關(guān)系. ． (　　)(2)回歸直線方程一定過樣本中心點(diǎn)． (　　)(3)選取一組數(shù)據(jù)的部分點(diǎn)得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同．  (　　)(4)根據(jù)回歸直線方程得到的結(jié)論一定是可靠的． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．下列兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系的是(　　)A．正方形的面積與邊長(zhǎng)B．吸煙與健康C．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)D．汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程C　[正方形的面積與邊長(zhǎng)是函數(shù)關(guān)系，A錯(cuò)誤；吸煙與健康具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，B錯(cuò)誤；汽車越重，每消耗1 L汽油所行駛的平均路程越短，所以汽車的重量與汽車每消耗1 L汽油所行駛的平均路程具有負(fù)相關(guān)關(guān)系，D錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)胶茫锢沓煽?jī)也會(huì)越好，所以數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有正相關(guān)關(guān)系，C正確．]3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)．x0123y1357若y與x線性相關(guān)，則y與x的回歸直線＝x＋必過點(diǎn)(　　)A．(2,2)　　　 B．(1.5,0)C．(1,2)　 D．(1.5,4)D　[∵＝＝1.5，＝＝4，∴回歸直線必過點(diǎn)(1.5,4)．故選D.]4．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，且過定點(diǎn)(4,5)，則線性回歸方程是________．＝1.23x＋0.08　[回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23，即＝1.23，又回歸直線過定點(diǎn)(4,5)，∴＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08.]變量間相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】　(1)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號(hào))①扇形的半徑與面積之間的關(guān)系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③出租車費(fèi)與行駛的里程；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．(2)某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)．x24568y3040605070①畫出散點(diǎn)圖；②從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？(1)②④　[在①中，扇形的半徑與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在②中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；③為確定的函數(shù)關(guān)系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．](2)[解]　①以x對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如圖所示．②從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系．兩個(gè)變量是否相關(guān)的兩種判斷方法1．根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．2．利用散點(diǎn)圖：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．1. 在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是(　　)(1)　　　　(2)　　　(3)　　　　(4)A．(1)(2)　　　　 B．(1)(3)C．(2)(4)　 D．(2)(3)D　[圖(1)的兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系；圖(2)(3)的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系；圖(4)的兩個(gè)變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系．]求回歸直線方程【例2】　下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)[解]　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖．(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得： x＝86，＝＝4.5，＝＝3.5，已知xiyi＝66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為＝＝＝0.7，＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．求回歸方程的一般步驟(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)．(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(3)計(jì)算，，x，xiyi.(4)代入公式計(jì)算，，公式為(5)寫出回歸方程＝ x＋.2．已知變量x，y有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．x1234y1345(1)作出散點(diǎn)圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的回歸方程．[解]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)＝＝，＝＝，xiyi＝1＋6＋12＋20＝39, x＝1＋4＋9＋16＝30，＝＝，＝－×＝0，所以＝x即為所求的回歸方程.回歸直線方程的性質(zhì)及應(yīng)用[探究問題]假設(shè)y與x具有相關(guān)關(guān)系，而且回歸直線方程為＝x＋.1．回歸直線方程的單調(diào)性由哪個(gè)參數(shù)決定？[提示]　.2．該方程必過哪個(gè)定點(diǎn)？[提示]　(，)．【例3】　(多選題)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)中心(，)C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kgD．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kgABC　[當(dāng)x＝170時(shí)，＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg，故D錯(cuò)誤，ABC均正確．]1．相關(guān)關(guān)系的正、負(fù)相關(guān)類同于函數(shù)的增、減性，與其斜率有關(guān)，必要時(shí)可畫散點(diǎn)圖以增強(qiáng)直觀性．2．由回歸方程得出的函數(shù)值不一定是準(zhǔn)確值，只是個(gè)估計(jì)值．3．(1)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為＝x＋，則(　　)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.＞0，＞0　　 B.＞0，＜0C.＜0，＞0   D.＜0，＜0(2)某單位為了了解用電量y度與氣溫x ℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表．氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程＝x＋中＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4 ℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為________度．(1)B　(2)68　[(1)畫出散點(diǎn)圖，知＞0，＜0.(2)＝10，＝40，回歸方程過點(diǎn)(，)，∴40＝－2×10＋.∴＝60.∴＝－2x＋60.令x＝－4，∴＝(－2)×(－4)＋60＝68.]1．相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)(1)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．2．判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．3．回歸方程必過點(diǎn)(，)．利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，若回歸方程為＝x＋，則在x＝x0處的估計(jì)值為0＝x0＋.1．以下四個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是(　　)①　　　　②　　　　③　　　④A．①②　　　 B．①③　　　C．②③ D．③④B　[①③中的點(diǎn)分布在一條直線附近，適合線性回歸模型．]2．由變量x與y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的線性回歸方程為＝2x＋45，則＝(　　)A．135　 B．90  C．67　 　 D．63D　[∵＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，∴＝2×9＋45＝63，故選D.]3．工人工資y(元)與勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的回歸方程為＝50＋80x，下列判斷正確的是(　　)A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1 000元時(shí)，工人工資為130元B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高80元C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為250元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2 000元B　[因?yàn)榛貧w直線的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工人工資平均提高80元．]4．某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計(jì)是________億元．12.1　[將x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1.]5．由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費(fèi)yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，x＝90，xiyi＝112，xi＝20，yi＝25.(1)求所支出的維修費(fèi)y對(duì)使用年限x的線性回歸方程＝x＋；(2)①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；②當(dāng)使用年限為8年時(shí)，試估計(jì)支出的維修費(fèi)是多少？[解]　(1)∵xi＝20，yi＝25，∴＝xi＝4，＝yi＝5，∴＝＝＝1.2，＝－＝5－1.2×4＝0.2.∴線性回歸方程為＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知＝1.2＞0，∴變量x與y之間是正相關(guān)．②由(1)知，當(dāng)x＝8時(shí)，＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限為8年時(shí)，支出的維修費(fèi)約是9.8萬元．

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