www.ks5u.com第2課時　超幾何分布學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1．理解超幾何分布的概念．(重點)2．理解超幾何分布與二項分布的關(guān)系．(難點、易錯點)3．會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題．(重點)1．通過學習超幾何分布，體會數(shù)學抽象的素養(yǎng)．2．借助超幾何分布解題，提高數(shù)學運算素養(yǎng).在新型肺炎期間，青島市招募的100名醫(yī)學服務志愿者中，男同志有45人，現(xiàn)要選派20人去市南區(qū)協(xié)助做好社區(qū)人員排查登記，其中男同志不少于10人的概率是多少？超幾何分布(1)定義：一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M＜N)，從所有物品中隨機取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N－M)時取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，這里的X稱為服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布．(2)記法：X～H(N，n，M)．(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布列如下表所示．X01…k…sP……拓展：對超幾何分布的理解(1)在形式上適合超幾何分布的模型常有較明顯的兩部分組成，如“男生，女生”“正品，次品”“優(yōu)，劣”等；(2)在產(chǎn)品抽樣中，一般為不放回抽樣；(3)其概率計算可結(jié)合古典概型求得．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣． (　　)(2)超幾何分布的總體里可以有兩類或三類特點． (　　)(3)超幾何分布中的參數(shù)是N，n，M. (　　)(4)超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為(　　)A．N＝15，M＝7，n＝10B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7，n＝10A　[根據(jù)超幾何分布概率模型知，A正確．]3．設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則表示(　　)A．5件產(chǎn)品中有3件次品的概率B．5件產(chǎn)品中有2件次品的概率C．5件產(chǎn)品中有2件正品的概率D．5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率B　[根據(jù)超幾何分布的定義可知C表示從3件次品中任選2件，C表示從7件正品中任選3件，故選B.]4．(教材P80練習BT2改編)高二·一班共有50名學生，其中有15名學生戴眼鏡，從班級中隨機抽取5人，設(shè)抽到戴眼鏡的人數(shù)為X, 則X～________.H(50,5,15)　[由超幾何分布的定義可知，X～H(50,5,15)．]超幾何分布的辨析【例1】　下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗，把試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；(5)現(xiàn)有100臺MP3播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結(jié)果為不合格的MP3播放器的個數(shù)記為X，求X的概率分布．[解]　(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復試驗問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機變量X表示抽取n件樣本中某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒有給出不合格品數(shù)，無法計算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布，應看三點：?1?總體是否可分為兩類明確的對象；?2?是否為不放回抽樣；?3?隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).1．下列隨機變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號)①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)；③一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的數(shù)為隨機變量X.①②　[根據(jù)超幾何分布模型定義可知①中隨機變量X服從超幾何分布．②中隨機變量X服從超幾何分布．而③中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布．]超幾何分布的概率及其分布列【例2】　袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機抽取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．[思路點撥]　→→[解]　(1)從袋中任取4個球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.故所求分布列為X5678P(2)根據(jù)隨機變量的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.求超幾何分布的分布列的步驟2．現(xiàn)有10張獎券，其中8張1元，2張5元，從中同時任取3張，求所得金額的分布列．[解]　設(shè)所得金額為X，X的可能取值為3,7,11.P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝11)＝＝.故X的分布列為X3711P 超幾何分布與二項分布間的聯(lián)系[探究問題]1．超幾何分布適合解決什么樣的概率問題？[提示]　超幾何分布適合解決一個總體(共有N個個體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個)、B(N—M個)，任取n個，其中恰有X個A的概率分布問題．2．在實際應用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗，可以看作獨立重復試驗嗎？[提示]　獨立重復試驗的實際原型是有放回地抽樣檢驗問題，但在實際應用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗，可以近似地看作此類型．【例3】　某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．[思路點撥]　(1)結(jié)合頻率分布直方圖求解(1)；(2)結(jié)合超幾何分布及古典概型求X的分布列；(3)先分析Y服從什么分布，再選擇相應公式求解．[解]　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．(2)重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，且X～H(40,2,12)．∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列為X012P(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為＝.從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試驗，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，P(Y＝k)＝C，所以P(Y＝0)＝C·＝，P(Y＝1)＝C··＝，P(Y＝2)＝C·＝.∴Y的分布列為Y012P在n次試驗中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布．區(qū)別①當這n次試驗是獨立重復試驗時(如有放回摸球)，X服從二項分布；②當n次試驗不是獨立重復試驗時(如不放回摸球)，X服從超幾何分布聯(lián)系在不放回n次試驗中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗次數(shù)n很小，此時超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項分布，如本例(2)3．100件產(chǎn)品中有10件次品，從中有放回地任取5件，求其中次品數(shù)ξ的分布列．[解]　任取一件得到次品的概率為＝0.1，有放回的取出5件，相當于5次獨立重復試驗，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列為ξ012345P0.590 490.328 050.072 90.008 10.000 450.000 011．解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．2．注意超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量試驗時，超幾何分布可與二項分布互化．1．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20%，從中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[由題意知10件產(chǎn)品中有2件次品，故所求概率為P(X＝1)＝＝.]2．盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則恰好取出2個紅球的概率是(　　)A.     B.     C.     D.C　[設(shè)取出紅球的個數(shù)為X，易知X～H(9,3,5)．∴P(X＝2)＝＝，故選C.]3．在含有5件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到的次品數(shù)X的分布列為P(X＝r)＝________.，r＝0,1,2,3,4　[P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.]4．(一題兩空)已知某批產(chǎn)品共100件，其中二等品有20件．從中任意抽取2件，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，試填寫下列關(guān)于ξ的分布列．ξ＝k012P(ξ＝k)________________　　　[由題意可知ξ～H(100,2,20)．則P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝.]5．某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問．求：(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列．[解]　(1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會法語，則P(A)＝＝.(2)依題意知，X～H(7,3,3)．∴P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴X的分布列為X0123P 

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高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2.3 二項分布與超幾何分布

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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