www.ks5u.com第2課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的方差學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．(重點(diǎn))2．掌握方差的性質(zhì)以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差．(重點(diǎn))3．會(huì)用方差解決一些實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助方差的性質(zhì)及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差解題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).山東省要從甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員中選出一人參加第十四屆全運(yùn)會(huì)，根據(jù)以往數(shù)據(jù)，這兩名運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)分布列如下所示．甲的環(huán)數(shù)8910P0.20.60.2 乙的環(huán)數(shù)8910P0.30.40.3問(wèn)題：如果從平均水平和發(fā)揮穩(wěn)定性角度分析，你認(rèn)為派誰(shuí)參加全運(yùn)會(huì)更好一些？1．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，稱為離散型隨機(jī)變量X的方差；稱為離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)意義：方差和標(biāo)準(zhǔn)差均刻畫一個(gè)離散型隨機(jī)變量的離散程度(或波動(dòng)大小)．(3)性質(zhì)：若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則D(Y)＝a2D(X)．2．兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的方差(1)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(2)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．思考：兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差間存在怎樣的聯(lián)系．[提示]　由于兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布，故兩者之間是特殊與一般的關(guān)系．即若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，取n＝1，則D(X)＝p(1－p)就是兩點(diǎn)分布的方差．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值．  (　　)(2)離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．  (　　)(3)離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的波動(dòng)水平．  (　　)(4)離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的波動(dòng)水平．  (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)＝1，則D(2ξ＋1)的值為(　　)A．2　　　 B．3　　　C．4 D．5C　[因?yàn)?/span>D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故選C.]3．若隨機(jī)變量ξ～B，則D(ξ)＝________.1　[∵ξ～B，∴D(ξ)＝4××＝1.]4．已知隨機(jī)變量X的分布列為X135P0.40.10.5則X的標(biāo)準(zhǔn)差為________．　[E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.∴X的標(biāo)準(zhǔn)差為＝＝.]離散型隨機(jī)變量的方差【例1】　袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．[思路點(diǎn)撥]　(1)根據(jù)題意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)運(yùn)用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b.[解]　(1)X的分布列為X01234P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴或即為所求．1．求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟↓↓↓↓2．對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過(guò)程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．1．(1)已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.5xy若E(X)＝，則D(X)等于(　　)A.　　　　　 B.C.   D.(2)已知X的分布列如下．X－101Pa①求X2的分布列；②計(jì)算X的方差；③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．(1)B　[由分布列的性質(zhì)得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝×＋×＋×＝.](2)[解]　①由分布列的性質(zhì)，知＋＋a＝1，故a＝，從而X2的分布列為X201P②由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.③E(Y)＝4E(X)＋3＝4×＋3＝2，D(Y)＝16D(X)＝11.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差【例2】　某出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中需經(jīng)過(guò)六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率是.(1)求這位司機(jī)遇到紅燈次數(shù)X的均值與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間Y的均值與方差．[解]　 (1)由題意知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，且X～B，∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.1．如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p為成功概率)．2．如果隨機(jī)變量C服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，計(jì)算時(shí)直接代入求解，從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程．2．(1)設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和，且P(A)＝m，令隨機(jī)變量ξ＝則ξ的方差D(ξ)等于(　　)A．m　　　　　 B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)(2)若隨機(jī)變量X～B(3，p)，D(X)＝，則p＝________.(1)D　(2)或　[(1)隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．(2)∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝，得p＝或p＝.]期望、方差的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表．A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2)．[提示]　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]　不能．因?yàn)?/span>E(X1)＝E(X2)．3．在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？[提示]　利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】　甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[思路點(diǎn)撥]　(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值．[解]　(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因?yàn)橐疑渲?/span>10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列如下表所示．ξ10987P0.50.30.10.1 η10987P0.30.30.20.2 (2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1．比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問(wèn)題中，需先計(jì)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高．2．在均值相等的情況下計(jì)算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．通過(guò)計(jì)算方差，分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．3．甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．[解]　甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)?/span>E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理水平較高.1．求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布)：直接利用定義求解，具體如下，①求均值；②求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布型：直接套用公式求解，具體如下，①若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后求方差．(4)對(duì)于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．2．解答離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)分析題目背景，根據(jù)實(shí)際情況抽象出概率模型，特別注意隨機(jī)變量的取值及其實(shí)際意義．(2)弄清實(shí)際問(wèn)題是求均值還是方差，在實(shí)際決策問(wèn)題中，需先計(jì)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高，然后再計(jì)算方差，分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．因此，在利用均值和方差的意義去分析解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，兩者都要分析．1．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計(jì)(　　)A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較B　[∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．]2．設(shè)二項(xiàng)分布B(n，p)的隨機(jī)變量X的均值與方差分別是2.4和1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為(　　)A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1B　[由題意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.]3．已知隨機(jī)變量X，且D(10X)＝，則X的標(biāo)準(zhǔn)差為________．　[由題意可知D(10X)＝，即100D(X)＝，∴D(X)＝，∴＝.即X的標(biāo)準(zhǔn)差為.]4．一批產(chǎn)品中，次品率為，現(xiàn)連續(xù)抽取4次，其次品數(shù)記為X，則D(X)的值為________．　[由題意知X～B，所以D(X)＝4××＝.]5．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表．X－1012Pabc若E(X)＝0，D(X)＝1，求a，b，c的值．[解]　由題意，解得a＝，b＝c＝.

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

本節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 同課精品
  • 所屬專輯26份
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部