人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊4.2.4《離散型隨機變量的均值》（第1課時）（課件+教案）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

www.ks5u.com4.2.4　隨機變量的數(shù)字特征第1課時　離散型隨機變量的均值學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．(重點)2．掌握兩點分布、二項分布、超幾何分布的均值．(重點)3．會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題．(難點)1．通過學(xué)習(xí)離散型隨機變量的均值，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助數(shù)學(xué)期望公式解決問題，提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).某商場要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的三種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？1．均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義：一般地，如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望)．(2)意義：它刻畫了X的平均取值．(3)性質(zhì)：若X與Y都是隨機變量，且Y＝ax＋b(a≠0)，則E(Y)＝aE(x)＋b.拓展：隨機變量的均值公式與加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系加權(quán)平均數(shù)，假設(shè)隨機試驗進行了n次，根據(jù)X的概率分布，在n次試驗中，x1出現(xiàn)了p1n次，x2出現(xiàn)了p2n次，…，xn出現(xiàn)了pnn次，故在n次試驗中，X出現(xiàn)的總次數(shù)為p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次試驗中，X出現(xiàn)的平均值等于＝E(X)．故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.2．兩點分布、二項分布及超幾何分布的均值(1)若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則E(X)＝p.(2)若X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np；(3)若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X～H(N，n，M)，則E(X)＝.1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量，其隨X的變化而變化． (　　)(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平． (　　)(3)若隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4. (　　)(4)隨機變量X的均值E(X)＝. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．若隨機變量X的分布列為X－101P則E(X)＝(　　)A．0　　　　　 B．－1C．－ D．－C　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－.故選C.]3．設(shè)E(X)＝10，則E(3X＋5)＝________.35　[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]4．(一題兩空)若隨機變量X服從二項分布B，則E(X)的值為________；若隨機變量Y～H(10,3,5)，則E(Y)＝________.　　[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝.]求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望【例1】　(1)設(shè)口袋中有黑球、白球共7個，從中任取2個球，已知取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為，則口袋中白球的個數(shù)為(　　)A．3　　　 B．4　　　C．5 D．2(2)(一題兩空)某運動員投籃命中率為p＝0.6，則①投籃1次時命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為________；②重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望為________．(1)A　(2)①0.6　②3　[(1)設(shè)白球x個，則取出的2個球中所含白球個數(shù)為ξ～H(7,2，x), E(ξ)＝＝，∴x＝3.故選A.(2)①投籃1次，命中次數(shù)X的分布列如下表：X01P0.40.6則E(X)＝0.6.②由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(5,0.6)，則E(Y)＝np＝5×0.6＝3.]常見的三種分布的均值1．設(shè)p為一次試驗中成功的概率，則(1)兩點分布E(X)＝p；(2)二項分布E(X)＝np.2．超幾何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)．熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量，提高解題速度．1．(1)籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率為0.8，則罰球一次得分X的期望是________．(2)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝C·· (k＝0,1,2，…，300)，則E(X)＝________.(1)0.8　(2)100　[(1)因為P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.(2)由P(X＝k)＝C··，可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.]離散型隨機變量均值的性質(zhì)【例2】　已知隨機變量X的分布列為X－2－1012Pm若Y＝－2X，則E(Y)＝________.　[由隨機變量分布列的性質(zhì)，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×＝.](變結(jié)論)本例條件不變，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．[解]　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.若給出的隨機變量ξ與X的關(guān)系為ξ＝aX＋b，a，b為常數(shù).一般思路是先求出E?X?，再利用公式E?aX＋b?＝aE?X?＋b求E?ξ?.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，關(guān)鍵由X的取值計算ξ的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E?ξ?.2．已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，則m的值為(　　)ξ1234PmnA.　　　 B. C.　　　 D.A　[因為η＝12ξ＋7，則E(η)＝12E(ξ)＋7，即E(η)＝12＋7＝34.所以2m＋3n＝，①又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②由①②可解得m＝.]求離散型隨機變量的均值【例3】　在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序(序號為1,2，…，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個數(shù)ξ的分布列與均值．[思路點撥]　(1)可先求“甲乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)”的對立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每個取值的概率，然后求其分布列和均值．[解]　只考慮甲、乙兩單位的相對位置，故可用組合計算基本事件數(shù)．(1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號至少有一個為奇數(shù)”，則表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計算公式得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.(2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.從而知ξ的分布列為ξ01234P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.求離散型隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望的步驟(1)根據(jù)ξ的實際意義，寫出ξ的全部取值．(2)求出ξ的每個值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)利用定義求出數(shù)學(xué)期望．其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識．3．盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池，其中混有兩節(jié)廢電池．現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[解]　X可取的值為1,2,3，則P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.抽取次數(shù)X的分布列為X123PE(X)＝1×＋2×＋3×＝. 離散型隨機變量的均值實際應(yīng)用[探究問題]1．如果某籃球運動員的罰球命中率為0.7，則其罰球10次大約能命中幾個球？[提示]　10×0.7＝7個球．2．在實際問題中，為什么用樣本均值來估計總體均值？[提示]　隨機變量總體的均值是一個常量，而樣本均值是一個變量，它常隨樣本的不同而變化，但當(dāng)樣本容量趨于無窮大時，樣本均值就越來越接近于總體的均值，故我們常用樣本均值估計總體均值．【例4】　隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：元)為X.(1)求X的分布列；(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%，如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？[思路點撥]　→→→[解]　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.故X的分布列為X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依題意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多為3%.1．實際問題中的期望問題均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對體育比賽的成績預(yù)測、消費預(yù)測、工程方案的預(yù)測、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機變量的期望來進行估計．2．概率模型的三個解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些．(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的期望．(3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論．4．甲、乙兩射擊運動員進行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運動員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)．將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示．(1)根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率P(X乙＝8)，以及甲擊中9環(huán)以上(包括9環(huán))的概率；(2)根據(jù)這次比賽的成績估計甲、乙誰的水平更高(即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大)．[解]　(1)由圖乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35，所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.(2)因為E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，則有E(X甲)>E(X乙)，所以估計甲的水平更高．1．求離散型隨機變量均值的步驟：(1)確定離散型隨機變量X的取值；(2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式寫出均值．2．對于aX＋b型的隨機變量，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便．3．若隨機變量X～B(n，p)，則E(X)＝np，若隨機變量Y～H(N，n，M)，則E(Y)＝.1．一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨立射擊3次中靶的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是(　　)A．0.83　　　 B．0.8　　　C．2.4 D．3C　[E(X)＝3×0.8＝2.4.]2．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是(　　)A．n　 B．(n－1)C. D．(n＋1)C　[∵抽到的次品數(shù)X～H(N，n，M)，∴抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值E(X)＝.]3．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為________．0.4　[依題意得即解得y＝0.4.]4．已知E(X)＝，且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，則a＝________.－3　[∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，∴a＝－3.]5．根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨立．(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的均值．[解]　設(shè)該車主購買乙種保險的概率為p，由題意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.(1)設(shè)所求概率為P1，則P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率為0.8.(2)每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.∴X的均值是20.