www.ks5u.com4.2.3　二項(xiàng)分布與超幾何分布第1課時(shí)　n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．(重點(diǎn))2．理解二項(xiàng)分布．(難點(diǎn))3．能利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題.1．通過學(xué)習(xí)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助二項(xiàng)分布解題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).在學(xué)校組織的高二籃球比賽中，通過小組循環(huán)，甲、乙兩班順利進(jìn)入最后的決賽．在每一場比賽中，甲班取勝的概率為0.6，乙班取勝的概率是0.4，比賽既可以采用三局兩勝制，又可以采用五局三勝制．問題：如果你是甲班的一名同學(xué)，你認(rèn)為采用哪種賽制對(duì)你班更有利？1．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗(yàn)時(shí)，人們總是約定這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，此時(shí)這n次伯努利試驗(yàn)也常稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．思考：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)必須具備哪些條件？[提示]　(1)每次試驗(yàn)的條件完全相同，相同事件的概率不變；(2)各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響；(3)每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，這兩種結(jié)果是對(duì)立的．2．二項(xiàng)分布一般地，如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則X的取值范圍是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．X01…k…nPCp0qnCp1qn－1…Cpkqn－k…Cpnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，因此稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的每次試驗(yàn)結(jié)果可以有多種． (　　)(2)兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布．  (　　)(3)二項(xiàng)分布可以看作是有放回抽樣． (　　)(4)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的條件可以略有不同． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．若X～B(10,0.8)，則P(X＝8)等于(　　)A．C×0.88×0.22　　 B．C×0.82×0.28C．0.88×0.22 D．0.82×0.28A　[∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故選A.]3．一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．　[拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為，由于每次試驗(yàn)的結(jié)果不受影響，故由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可知，所求概率為P＝C＝.]4．下列說法正確的是________．(填序號(hào))①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X～B(10,0.6)；②某福彩的中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了8張，中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X～B(8，p)；③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且X～B.①②　[①②顯然滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，而③雖然是有放回地摸球，但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹?，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項(xiàng)分布的定義．]獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率【例1】　甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和，假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響．(1)求甲射擊3次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；(2)求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．[解]　(1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.(2)記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝.由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故P(A2B2)＝×＝.1．(變結(jié)論)在本例(2)的條件下，求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率．[解]　記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件A3，“乙擊中目標(biāo)1次”為事件B3，則P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，所以甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率為P(A3B3)＝×＝.2．(變結(jié)論)在本例(2)的條件下，求甲未擊中、乙擊中2次的概率．[解]　記“甲未擊中目標(biāo)”為事件A4，“乙擊中2次”為事件B4，則P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝，所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4)＝×＝.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟二項(xiàng)分布【例2】　一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列．[思路點(diǎn)撥]　(1)首先判斷ξ是否服從二項(xiàng)分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到達(dá)”的含義，并明確η的取值，再求η取各值的概率．[解]　(1)ξ～B，ξ的分布列為P(ξ＝k)＝C，k＝0,1,2,3,4,5.故ξ的分布列為ξ012345P(2)η的分布列為P(η＝k)＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈)＝·，k＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5個(gè)均為綠燈)＝.故η的分布列為η012345P1．本例屬于二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí)，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2．解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)對(duì)于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式．(2)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．1．在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ的分布列．[解]　(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”，事件B表示“乙選做14題”，則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“A∩B＋∩”，且事件A，B相互獨(dú)立．∴P(A∩B＋∩)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～B.∴P(ξ＝k)＝C＝C(k＝0,1,2,3,4)．∴隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01234P 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用[探究問題]1．王明做5道單選題，每道題都隨機(jī)選一個(gè)答案，那么他做對(duì)的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？為什么？[提示]　服從二項(xiàng)分布．因?yàn)槊康李}都是隨機(jī)選一個(gè)答案，結(jié)果只有兩個(gè)：對(duì)與錯(cuò)，并且每道題做對(duì)的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對(duì)的道數(shù)就是5次試驗(yàn)中“做對(duì)”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對(duì)的“道數(shù)”服從二項(xiàng)分布．2．王明做5道單選題，其中2道會(huì)做，其余3道均隨機(jī)選一個(gè)答案，他做對(duì)的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？如何判斷一隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布？[提示]　不服從二項(xiàng)分布．因?yàn)闀?huì)做的兩道題做對(duì)的概率與隨機(jī)選取一個(gè)答案做對(duì)的概率不同，不符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布關(guān)鍵是看它是不是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．【例3】　甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB)．[思路點(diǎn)撥]　(1)由于甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ服從二項(xiàng)分布，其中n＝3，p＝.(2)AB表示事件A，B同時(shí)發(fā)生，即甲、乙兩隊(duì)總得分之和為3且甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分．[解]　(1)由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3，且p(ξ＝0)＝C＝，P(ξ＝1)＝C＝，P(ξ＝2)＝C＝，P(ξ＝3)＝C＝.所以ξ的分布列為ξ0123P(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝C＝，P(D)＝C＝，由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝.對(duì)于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解.2．9粒種子分種在3個(gè)坑內(nèi)，每坑放3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種，若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種．假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，求需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列．[解]　因?yàn)閱蝹€(gè)坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為＝，所以單個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為1－＝.設(shè)需要補(bǔ)種的坑數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3，這是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，P(X＝0)＝C××＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝C××＝，所以需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列為X0123P1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征(1)每次試驗(yàn)都在同樣條件下進(jìn)行．(2)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果：發(fā)生與不發(fā)生．(3)各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立．(4)每次試驗(yàn)，某事件發(fā)生的概率都是一樣的．2．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式中各字母的含義1．某學(xué)生通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　)A.　　　　　　　　 B.C.   D.A　[記“恰有1次獲得通過”為事件A，則P(A)＝C·＝.故選A.]2．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第ξ次首次測到正品，則P(ξ＝3)＝(　　)A．C× B．C×C.×   D.×C　[ξ＝3表示第3次首次測到正品，而前兩次都沒有測到正品，故其概率是×.]3．有4位同學(xué)參加某項(xiàng)選拔測試，每位同學(xué)能通過測試的概率都是，假設(shè)每位同學(xué)能否通過測試是相互獨(dú)立的，則至少有一位同學(xué)通過測試的概率為________．　[所有同學(xué)都不通過的概率為，故至少有一位同學(xué)通過的概率為1－＝.]4．設(shè)X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次試驗(yàn)成功的概率p等于________．或　[P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝·，解得p＝或p＝.]5．(教材P79練習(xí)BT1改編)某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留兩位小數(shù))：(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率；(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率．[解]　(1)記“預(yù)報(bào)1次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．“恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率為1－P＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99.

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊電子課本

4.2.3 二項(xiàng)分布與超幾何分布

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊

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