www.ks5u.com第2課時　全概率公式、貝葉斯公式學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1．理解并掌握全概率公式．(重點)2．了解貝葉斯公式．(難點)3．會用全概率公式及貝葉斯公式解題．(易錯點)1．通過學習全概率公式及貝葉斯公式，體會邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)．2．借助全概率公式及貝葉斯公式解題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng).有三個罐子，1號裝有2紅1黑球，2號裝有3紅1黑球，3號裝有2紅2黑球．某人從中隨機取一罐，再從中任意取出一球，求取得紅球的概率．問題：如何求取得紅球的概率？1．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；(2)定理1　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝.思考：全概率公式體現(xiàn)了哪種數(shù)學思想？[提示]　全概率公式體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，即采用化整為零的方式，把各塊的概率分別求出，再相加求和即可．2．貝葉斯公式(1)一般地，當0＜P(A)＜1且P(B)＞0時，有P(A|B)＝＝.(2)定理2　若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝.拓展：貝葉斯公式充分體現(xiàn)了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之間的轉化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之間的內在聯(lián)系．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　)(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　)(3)P(A|B)＝＝.  (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，則P(B)等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故選C.]3．一袋中裝有大小、形狀均相同的5個球，其中2個黑球，3個白球，從中先后不放回地任取一球，則第二次取到的是黑球的概率為________．　[設事件A，B分別表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝.則P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.]4．對以往數(shù)據(jù)分析結果表明， 當機器調整得良好時， 產(chǎn)品的合格率為98%, 而當機器發(fā)生某種故障時， 其合格率為55%. 每天早上機器開動時， 機器調整良好的概率為95%.則已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時， 機器調整得良好的概率約是________．0.97　[設A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機器調整良好”．P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05，所求的概率為P(B|A)＝≈0.97.]全概率公式及其應用【例1】　甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品．(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．[解]　(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為C＝＝28，這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為C＝3.∴這2個產(chǎn)品都是次品的概率為.(2)設事件A為“從乙箱中取出的一個產(chǎn)品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.通過本例我們發(fā)現(xiàn)，當直接求事件A發(fā)生的概率不好求時，可以采用化整為零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.1．1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？[解]　記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球．P(B)＝＝，P()＝1－＝.(1)P(A|B)＝＝.(2)∵P(A|)＝＝， ∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.貝葉斯公式及其應用【例2】　一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾?。诨加写朔N疾病的人群中，通過化驗有95%的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應．某地區(qū)此種病的患者僅占人口的0.5%.若某人化驗結果為陽性，問此人確實患有此病的概率是多大？[解]　設A＝“呈陽性反應”，B＝“患有此種疾病”，則P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()·P(A|)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.所以P(B|A)＝＝＝32.3%.利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；第二步：計算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步：代入P(B|A)＝求解．2．某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%、35%，又這四條流水線的不合格品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02，現(xiàn)在從該廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？該不合格品是由第四條流水線上生產(chǎn)的概率為多少？[解]　設Ai＝第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35.∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315.(2)P(A4|B)＝≈0.222 2.全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用[探究問題]　貝葉斯公式的實質是什么？[提示]　貝葉斯公式實質上是條件概率公式P(Bi|A)＝，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)的綜合應用．【例3】　假定具有癥狀S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三種，現(xiàn)從20 000份患有疾病d1，d2，d3的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字：疾病人數(shù)出現(xiàn)S癥狀人數(shù)d17 7507 500d25 2504 200d37 0003 500試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？[解]　以A表示事件“患有出現(xiàn)S中的某些癥狀”，D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于該問題觀察的個數(shù)很多，用事件的頻率作為概率的近似是合適的，由統(tǒng)計數(shù)字可知P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7，P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5.從而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.由貝葉斯公式得P(D1|A)＝＝≈0.493 4，P(D2|A)＝＝≈0.276 3，P(D3|A)＝＝≈0.230 3，從而推測病人患有疾病d1較為合理．若隨機試驗可以看成分兩個階段進行，且第一階段的各試驗結果具體結果怎樣未知，那么：?1?如果要求的是第二階段某一個結果發(fā)生的概率，則用全概率公式；?2?如果第二個階段的某一個結果是已知的，要求的是此結果為第一階段某一個結果所引起的概率，一般用貝葉斯公式，類似于求條件概率，熟記這個特征，在遇到相關的題目時，可以準確地選擇方法進行計算，保證解題的正確高效.3．同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應．由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5，將三家產(chǎn)品混合在一起．(1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？[解]　設事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品” ，B1，B2，B3分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.(1)由全概率公式得：P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)＝＝≈0.220 9，P(B2|A)＝＝≈0.314 0，P(B3|A)＝＝≈0.465 1.由以上3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大．1．全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)在解題中體現(xiàn)了化整為零的轉化化歸思想．2．貝葉斯概率公式反映了條件概率P(B|A)＝，全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之間的關系．即P(Bj|A)＝＝＝.1．有朋自遠方來，乘火車、船、汽車、飛機來的概率分別為0.3，0.2,0.1,0.4，遲到的概率分別為0.25,0.3,0.1,0.則他遲到的概率為(　　)A．0.65　　　　 B．0.075C．0.145 D．0C　[設A1＝他乘火車來，A2＝他乘船來，A3＝他乘汽車來，A4＝他乘飛機來，B＝他遲到．易見：A1，A2，A3，A4構成一個完備事件組，由全概率公式得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.]2．兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為(　　)A．0.21 B．0.06C．0.94 D．0.95D　[令B＝取到的零件為合格品，Ai＝零件為第i臺機床的產(chǎn)品，i＝1,2.由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95.故選D.]3．某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別有2、6、9、3名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，則該小組在比賽中射中目標的概率為________．0.527 5　[設B＝{該小組在比賽中射中目標}，Ai＝{選i級射手參加比賽}，(i＝1,2,3,4)．由全概率公式，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32＝0.527 5.]4．袋中有10個黑球，5個白球．現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球．若已知取出的球全是白球，則擲出3點的概率為________．0.04835　[設B＝{取出的球全是白球}，Ai＝{擲出i點}(i＝1,2，…，6)，則由貝葉斯公式，得P(A3|B)＝＝＝0.048 35.]5．設甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分別為，，.現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．[解]　設Ai＝第i個地區(qū)，i＝1,2,3；B＝感染此病∴P(A1)＝；P(A2)＝；P(A3)＝.∴P(B|A1)＝；P(B|A2)＝；P(B|A3)＝.(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝≈0.198，(2)P(A2|B)＝＝≈0.337.

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