人教B版 (2019)選擇性必修第二冊(cè)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1 條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.2 乘法公式與全概率公式課文內(nèi)容課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

www.ks5u.com4.1.2　乘法公式與全概率公式第1課時(shí)　乘法公式學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．掌握乘法公式及其推廣．(重點(diǎn))2．會(huì)用乘法公式及全概率公式求相應(yīng)事件的概率．(難點(diǎn))1．通過乘法公式及其推廣的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助乘法公式及其推廣解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).小明在登陸電子郵箱時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位，只記得是數(shù)字0～9中的任意一個(gè)．問題：他在嘗試登陸時(shí)，第一次失敗，第二次成功的概率是多少？乘法公式及其推廣(1)乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0.(2)乘法公式的推廣：設(shè)Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，則P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時(shí)A3發(fā)生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同時(shí)發(fā)生的概率．思考：P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之間存在怎樣的等量關(guān)系？[提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0.1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)P(AB)＝P(BA)． (　　)(2)P(AB)＝P(A)P(B)． (　　)(3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)＞0，P(A2A1)＞0，P(A1A2A3)＞0. ????????????? (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，則P(AB)等于(　　)A.　　　　 B.C. D.C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故選C.]3．某人忘記了一個(gè)電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，只好去試撥，他第一次失敗、第二次成功的概率是(　　)A. B.C. D.A　[記事件A為第一次失敗，事件B為第二次成功，則P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.]4．若P(B|A)＝，則P(|A)＝________.　[P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝.]乘法公式及其應(yīng)用【例1】　一袋中裝10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回), 求兩次取到的均為黑球的概率．[解]　設(shè)Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，則A1A2表示事件“兩次取到的均為黑球”. 由題設(shè)知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根據(jù)乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.1．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．[解]　用A表示第一次取得黑球，則P(A)＝，用B表示第二次取得白球，則P(B|A)＝.故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.2．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，兩次均取得白球的概率．[解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，則B1B2表示兩次取到的均是白球．由題意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝.∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝.乘法公式給出了一種計(jì)算“積事件”概率的求法，即當(dāng)直接計(jì)算P?AB?不好計(jì)算時(shí)，可先求出P?A?及P?B|A?或先求出P?B?及P?A|B?，再利用乘法公式P?AB?＝P?A?P?B|A?＝P?B?P?A|B?求解即可.乘法公式的推廣及應(yīng)用【例2】　設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為. 試求透鏡落下三次而未打破的概率．[解]　以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，B表示事件“透鏡落下三次而未打破”，則B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝＝.該類問題在概率中被稱為“機(jī)遇問題”，求解的關(guān)鍵是分清事件之間的互相關(guān)系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解．1．在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率．(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)[解]　設(shè)Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，則B＝12A3，∴P(B)＝P(12A3)＝P(1)·P(2|1)·P(A3|12)＝××≈0.046.乘法公式的綜合應(yīng)用[探究問題]1．P(B|A)與P(|A)存在怎樣的等量關(guān)系？[提示]　P(B|A)＋P(|A)＝1.2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，則A1∪A2∪A3的對(duì)立事件與123相同嗎？[提示]　相同．【例3】　已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件廢品．但采購員不知有幾件次品，為慎重起見，他對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品．求采購員拒絕購買這批產(chǎn)品的概率．[思路點(diǎn)撥]　本題可借助對(duì)立事件及乘法公式的推廣進(jìn)行求解．[解]　設(shè)Ai＝{被抽查的第i件產(chǎn)品是廢品}，i＝1,2,3,4,5.設(shè)A＝{采購員拒絕購買}，則A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，從而＝12345，由題意，得P(1)＝，P(2|1)＝，P(3|12)＝，P(4|123)＝，P(5|1234)＝.∴P()＝P(12345)＝P(5|1234)P(4|123)P(3|12)P(2|1)P(1)＝≈0.7696.故P(A)＝1－P()≈0.2304.分解計(jì)算，代入求值，為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(gè)?或若干個(gè)?互不相容的較簡(jiǎn)單的事件之和，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.2．某種疾病能導(dǎo)致心肌受損害，若第一次患該病，則心肌受損害的概率為0.3，第一次患病心肌未受損害而第二次再患該病時(shí)，心肌受損害的概率為0.6，試求某人患病兩次心肌未受損害的概率．[解]　設(shè)A1＝“第一次患病心肌受損害”，A2＝“第二次患病心肌受損害”，則所求概率為P(12)．由題意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|1)＝0.6.又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28.1．乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)進(jìn)一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了“知二求一”的轉(zhuǎn)化化歸思想．2．該公式同時(shí)也給出了“積事件”概率的另一種求解方式，即在事件A，B不相互獨(dú)立的前提下可考慮條件概率的變形公式，即乘法公式．3．注意P(A)P(B|A)與P(B)P(A|B)的等價(jià)轉(zhuǎn)化．1．若P(B)＝，P(A|B)＝，則P(AB)為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.A　[P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝，故選A.]2．從一副不含大、小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽一張，則第2次才抽到A的概率是(　　)A. B.C. D.C　[法一：所求概率P＝＝.法二：設(shè)Ai表示第i次抽到A，i＝1,2，則P(1)＝＝，P(A2|1)＝，∴P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝×＝.故選C.]3．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率是________．0.72　[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長(zhǎng)為幼苗”為事件A∩B，則P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72.]4．4張獎(jiǎng)券中只有1張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取，若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)券，則最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)券的概率為________．　[由題意可知，最后一名同學(xué)中獎(jiǎng)的概率P＝××1＝.]5．已知6個(gè)高爾夫球中有2個(gè)不合格，每次取1個(gè)，不放回地取兩次，求兩次均取到不合格球的概率．[解]　法一：所求事件的概率P＝＝.法二：用Ai表示第i次取到不合格球，i＝1,2.則P(A1)＝，P(A2|A1)＝，∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.

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