第2課時　等比數(shù)列習(xí)題課關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一　等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例】1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,滿足a3a11=6a7;數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且b7=a7,則S13=????????????? (　　)A.13  B.48  C.78  D.1562.由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,則S6= (　　)A.62  B.124  C.126  D.154【思維·引】1.利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出b7,即a7,同時求S13;2.利用等差條件求出q,再求S6.【解析】1.選C.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,滿足a3a11=6a7,所以=6a7,解得a7=6,因?yàn)閿?shù)列{bn}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且b7=a7,所以b7=a7=6,所以S13==13b7=13×6=78.2.選C.因?yàn)閿?shù)列{an}是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.則S6==126.【內(nèi)化·悟】本例2中的等差條件的作用是什么?提示:利用等差中項(xiàng)構(gòu)造方程求公比.【類題·通】等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)等比、等差的條件可以分別利用等比、等差中項(xiàng)構(gòu)造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,一定要先分清求哪種數(shù)列的和,再明確該數(shù)列的基本量,然后計(jì)算.【習(xí)練·破】(2020·江蘇高考)設(shè)是公差為d的等差數(shù)列,是公比為q的等比數(shù)列,已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1,則d+q的值是______. 【解析】設(shè)數(shù)列{an},{bn}的首項(xiàng)分別為a1,b1,前n項(xiàng)和分別為An,Bn,則An=n2+n,Bn=qn+,結(jié)合Sn=n2-n+2n-1,得解得所以d+q=4.答案:4【加練·固】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差都不為0,a1,a2,a4成等比數(shù)列,則=(　　)A.2　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7【解析】選C.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差d都不為0,a1,a2,a4成等比數(shù)列可得=a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化為a1=d,則===5.類型二　錯位相減法求和 【典例】已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【思維·引】(1)利用a2a3=a1a4計(jì)算a4,進(jìn)而計(jì)算a6,a1,q求通項(xiàng).(2)利用錯位相減法求前n項(xiàng)和.【解析】(1)因?yàn)閍2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差數(shù)列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2==4,q>0,所以q=2,所以an=8·2n-4=2n-1.(2) bn===n·,Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n··Tn=1·+2·+3·+…+(n-1)·+n·兩式相減得:·Tn=+++…+-n·,·Tn=-n·,所以Tn=8-(n+2)·.【內(nèi)化·悟】本例在錯位相減法求和時,兩式相減后會得到一個等比數(shù)列,這個等比數(shù)列的基本量有哪些?利用哪個求和公式較為方便?提示:可以得到這個等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比,利用公式Sn=.【類題·通】關(guān)于錯位相減法求和(1)適用范圍:{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列(q≠1),形如cn=anbn的數(shù)列適合利用錯位相減法求和;(2)求和步驟①對求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要寫出倒數(shù)第二項(xiàng)cn-1;②式子的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q,寫成qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位書寫,(i)(ii)式形成錯位;③(i)式-(ii)式,左邊=(1-q)Sn,右邊考查除了最后一項(xiàng)外的其他項(xiàng),利用等比數(shù)列求和公式求和、整理;④兩邊同除以1-q,整理得Sn.【習(xí)練·破】已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知條件可得解得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.(2)Sn=+++…++,所以Sn=++…++,兩式相減得Sn=---…--,所以Sn=--=-+-+=,所以Sn=.【加練·固】已知遞減的等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),滿足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)由等比數(shù)列性質(zhì)可知a1 ·a2 ·a3 = = 8,所以a2=2,a1·a3=4.由a1+1,a2+1,a3構(gòu)成等差數(shù)列,可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.聯(lián)立 ,解得 或 .由等比數(shù)列{an}遞減可知 ,于是q=.所以an=a1·qn-1=4×=.(2)由(1)可知bn=n·an=n·,于是Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,兩式相減得Sn=1×+1×+1×+1×+…+1×-n×=-n×=8-(n+2)×,故Sn=16-(n+2).類型三　等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系角度1　求Sn與an的關(guān)系【典例】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,則Sn與an的關(guān)系是????????????? (　　)A.Sn=2an-1   B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3     D.Sn=4an-1【思維·引】分別表示出Sn與an,再確定關(guān)系.【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),由a1=1,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.所以Sn=,則Sn=2an-1.【素養(yǎng)·探】在確定Sn與an的過程中,常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過對Sn計(jì)算公式尋求二者之間的關(guān)系.本例中的等比數(shù)列{an},若已知an=3n-1,則Sn與an的關(guān)系是什么?提示:Sn==an-.角度2　Sn與an的關(guān)系的應(yīng)用【典例】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對任意正整數(shù)n,an+1=3Sn,則下列關(guān)于{an}的論斷中正確的是????????????? (　　)A.一定是等差數(shù)列B.可能是等差數(shù)列,但不會是等比數(shù)列C.一定是等比數(shù)列D.可能是等比數(shù)列,但不會是等差數(shù)列【思維·引】由Sn與an的關(guān)系,推導(dǎo)出an+1與an的關(guān)系,結(jié)合a1的取值進(jìn)行判斷.【解析】選B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1時,a2=3S1=3a1,可知該數(shù)列不是等比數(shù)列.當(dāng)an=0時,數(shù)列an為等差數(shù)列.故本題正確答案為B.【類題·通】　關(guān)于等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系(1)Sn與an的關(guān)系可以由Sn=得到,一般已知a1,q即可得到二者之間的關(guān)系,也可以通過特殊項(xiàng)驗(yàn)證判斷;(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn與an之間的內(nèi)在聯(lián)系,既可以推出項(xiàng)an-1,an,an+1之間的關(guān)系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之間的關(guān)系,體現(xiàn)了Sn與an關(guān)系的本質(zhì).【習(xí)練·破】已知等比數(shù)列{an}的公比q>0且q≠1,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2a3與S3a2的大小關(guān)系為 (　　)A.S2a3>S3a2   B.S2a3<S3a2C.S2a3=S3a2   D.不能確定【解析】選B.S3a2-S2a3=a1(1+q+q2)·a1q-a1(1+q)·a1q2=q>0,所以S2a3<S3a2.【加練·固】設(shè)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則 (　　)A.Sn=2an-1   B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an   D.Sn=3-2an【解析】選D.Sn===3-2an.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且,2,成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.15  B.  C.6  D.3【解析】選C.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,且,2,成等比數(shù)列,可得4=·=,可得a1+a6=2,即有{an}前6項(xiàng)的和為×6(a1+a6)=6.2.等比數(shù)列{an}中,滿足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為(　　)A.1  B.2  C.-2  D.4【解析】選B.等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q,滿足a1=2,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,可得2(a2+1)=a1+a3,即為2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若2S1,S3,S2成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為________. 【解析】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q,由2S1,S3,S2成等差數(shù)列,可得2S3=2S1+S2,即為2(a1+a1q+a1q2)=2a1+a1+a1q,即有2q2+q-1=0,解得q=(q=-1不合題意,舍去).答案:4.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=,則=________. 【解析】根據(jù)題意,在等比數(shù)列{an}中,=,顯然q≠1,故===,變形可得q5=3,故==.答案:【新情境·新思維】對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若{an}的“差數(shù)列”是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,若a1=1,則a2 020=________. 【解析】根據(jù)題意,an+1-an=,則a2 020=(a2 020-a2 019)+(a2 019-a2 018)+…+(a2-a1)+a1=++……++1=2-.答案:2-

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

5.3.1 等比數(shù)列

版本： 人教B版 (2019)

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