高中人教B版 (2019)5.4 數(shù)列的應用精品ppt課件

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5.4 數(shù)列的應用                 本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習數(shù)列的應用學生已經(jīng)學習了等差和等比數(shù)列知識，本節(jié)內容引導學生將學習過的數(shù)列知識與生活中的還款問題“乘數(shù)”效應等問題，建立聯(lián)系。訓練學生的抽象思維能力、體驗數(shù)學內在美的很好的素材。發(fā)展學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A. 能夠將實際問題抽象為數(shù)列模型,提高分析問題和解決問題的能力.(數(shù)學建模)B.會利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式解決分期付款和政府支出的“乘數(shù)”效應等問題.(數(shù)學運算).1.數(shù)學抽象：還款中的數(shù)列模型2.數(shù)學運算：運用數(shù)列知識解決實際問題 3.數(shù)學建模：將實際問題轉化為數(shù)列模型 重點： 運用數(shù)列模型解決分期付款和政府支出的“乘數(shù)”效應等問題.難點：將實際問題轉化為對應的數(shù)列模型多媒體    教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、    情景導學1.分期還款與數(shù)列  探究1.我們知道,當償還銀行貸款時，需要將本金和利息一起償還，分期還款是一種很常見的還款方式，其本質是將本金和利息分攤到每一期償還.目前,常見的分期還款方式，有“等額本金還款法” ，“等額本息還款法” .你能根據(jù)這兩種還款方式的名稱猜出他們的不同嗎？如果向銀行貸款本金元打算分成 期償還，并且每一期的利率為，記每期還款的錢數(shù)構成的數(shù)列為, , …,你能寫出這兩種還款方法中，第期所要還的錢數(shù)的表達式嗎？     前面我們已經(jīng)看到了數(shù)列的很多應用，這一節(jié)我們再通過幾個實例來展示數(shù)列的應用。 1. 等額本金還款法：即將本金平均分配到每一期進行償還，每期還款金額＝＋(貸款本金－已還本金總額)×利率二、典例解析例1.自主創(chuàng)業(yè)的大學生張華向銀行貸款200000元租賃了一處經(jīng)營場所，因為預計前期經(jīng)營狀況會比較好，張華跟銀行的約定按照“等額本金還款法” 分10年進行還款，貸款的年利率為5%，設第年張華的還款金額為元，求出的表達式，并說出數(shù)列{}的特征。解：因為每期所還本金為 =20000（元）因此，第年以前已還本金總額為20000 元，從而有 = 可以看出, {}是一個遞減的等差數(shù)列.“等額本息還款法” 是將本金和利息平均分配到每一期進行償還，因此每一期所還的錢數(shù)相等，即      為了較快地推導出這種方式中每一期所要還的錢數(shù)，我們先介紹資金的現(xiàn)值與未來值。探究2.  假設你現(xiàn)在手中有1000元錢，而且你打算一年以后再使用這筆錢，那么一年以后這筆錢所能買到的東西價值最多只能是1000元嗎？為什么？由此你能得到什么啟發(fā)？       因為可以將這筆錢存入銀行中，而到期之后銀行會支付利息，因此一年后使用這筆錢時所能買到的東西價值是不止1000元的。例如，假設一年定期的存款利率為5%，不計利息稅，則一年后的本息和為即一年后可以買到價值1050元的東西。       換句話說現(xiàn)在的1000元相當于一年后的1050元。類似地，如果記現(xiàn)在的元相當于年后的A元，銀行存款的年利率為且每年結算一次利息（不計利息稅，下同）則
        經(jīng)濟學上，一般稱為A的現(xiàn)值，而A為的未來值?？梢钥闯觯F(xiàn)值的計算公式提供了不同時期資金換算的方法，因此日常生活中有廣泛的應用。      在前面的情境中，如果用“等額本息還款法” 進行還款，設貸款時的資金為現(xiàn)值，且每一期所還錢數(shù)為元，則第1期所還前的現(xiàn)值為元第2期所還錢的現(xiàn)值為元……第 期所還錢的現(xiàn)值為元最后還款的現(xiàn)值總和為元，因此 … =，所以由等比數(shù)列前項和公式可解得2.等額本息還款法：即將本金和利息平均分配到每一期進行償還．每期還款金額＝，其中A0為貸款時的資金，r為銀行貸款月利率，m為還款總期數(shù)(單位：月)．例2. 剛考入大學的小明準備向銀行貸款5000元購買一臺筆記本電腦，然后上學的時候通過勤工儉學來分期還款，小明與銀行約定：每個月還一次款，在12個月內還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為0.5%，試求出小明每個月所要還款的錢數(shù)（精確到0.01元）解：可以看出，小明選擇的還款方式為“等額本息還款法” ，因此 即小明每個月要還款約430.33元。 =1．本節(jié)課的重點是應用數(shù)列知識解決實際問題，難點是如何化實際問題為數(shù)學問題，轉化的關鍵是明確題設信息，利用遞推關系式方程思想建立等量關系．2．明確分期付款中的兩種常見方式：等額本金還款法和等額本息還款法，前者為等差數(shù)列模型，后者為等比數(shù)列模型． 2.政府支出的乘數(shù)效應與數(shù)列
      經(jīng)濟學家凱恩斯在解釋政府財政政策時支出，如果政府的支出增加，那么就會產(chǎn)生“乘數(shù)” 效應.
      例如，政府如果增加道路維修費用300億元，那么這筆費用將會使部分居民收入增加，假設這些居民將收入增加量的75%用于國內消費，25%用于存儲或國外消費，那么國內消費的金額將會產(chǎn)生第2輪影響，其也會使份部分居民收入增加。收入增加了的居民又將一定比例的收入增加量用于國內消費，因此又會產(chǎn)生新一輪的影響……假設每一個受影響的居民消費理念都一樣，那么經(jīng)過30輪影響之后，最后國內消費總額將會是300億元的倍數(shù)(最初政府支出也算是國內消費)，也就是說有了“乘數(shù)” 效應。事實上，在這個例子中，如果設第輪消費的金額為元，則：第1輪居民用于消費的金額為=300×75%（億元）；第2輪居民用于消費的金額為= ×75% =300× （億元）；……第30輪居民用于消費的金額為= ×75% =300× （億元）因此,經(jīng)過30輪后，國內消費總額是300+300×75%+300× +…+300×        政府的初始支出為300億元，而國內消費最后約為1200億元，因此國內消費越是初始支出的4倍。例3.假設政府增加某項支出100億元，每個受惠的居民會將80%的額外收入用于國內消費，求經(jīng)過30輪影響之后，最后的國內消費總額（最初政府支出也算是國內消費，結果精確到1億元）。解：依題意可知，經(jīng)過30輪影響之后，最后國內消費總額為100+100×80%+100× +…+100× 例4.某些食物中含有一定量的微量元素，當人體攝入微量元素之后，微量元素會隨著尿液、汗液等部分排出。假設某人每天吃進微量元素10 mg，該微量元素每天以10%的比率排出，則30天后在此人體中積累了多少該微量元素？（設一開始某人體內該微量元素為0，計算結果精確到0.1mg）解：設第天時此人體內有微量元素mg，則:第1天此人身體內的微量元素為=10×(1 %)   (mg)第2天，此人身體內的微量元素為=+10) ×(1 %)=10 ×(1 %)+10×   (mg)第3天，此人身體內的微量元素為=+10) ×(1 %)=10 ×(1 %)+10× +10×   (mg)第30天，此人身體內的微量元素為=+10) ×(1 %)=10 ×(1 %)+10× +…+10× (mg)即30天后在此人身體中積累了約86.2mg的該微量元素。例5.某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金1000萬元，已知每年可獲利25%，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，設經(jīng)過年之后，該項目的資金為萬元（1）寫出的值以及數(shù)列的遞推公式;（2）證明：為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（3）求出至少要經(jīng)過多少年，該項目的資金才可以達到或超過翻兩番（即為原來的4倍）的目標。解：(1)由題意知=1000×(1 %) 而且=×(1 %) .(2)由(1)可知， = 又因為 所以可知 ，從而可知為等比數(shù)列，因此 所以 +800 (3)令 可得 ,因此(.(，所以( 因此即至少要經(jīng)過12年,項目的資金才可以達到或超過三兩番的目標.求解此類問題的關鍵是依據(jù)題設條件，巧借an及an－1即抓住數(shù)列前后兩項(幾項)的數(shù)量關系，建立遞推關系an＝pan－1＋q，在此基礎上借助數(shù)列知識給予解答，常用的方法便是待定系數(shù)法和構造等比數(shù)列法.     通過生活中的還款問題，引出數(shù)列在實際生活中的應用，激發(fā)學生學習興趣。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                    通過典例分析，幫助學生通過尋找問題中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，提升解決問題的能力。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                                                                    通過典例分析，幫助學生通過尋找問題中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，提升解決問題的能力。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。 三、達標檢測1.遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問塔尖幾盞燈?”源自明代數(shù)學家吳敬所著的《九章算法比類大全》,通過計算得到的答案是(　　)A.2      B.3            C.4          D.5解析:由題意,設塔尖有a盞燈,根據(jù)題意,由上往下數(shù)第n層有2n-1a盞燈,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381,∴a=3.答案:B2.我國古代數(shù)學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,它在世界數(shù)學史上具有光輝的一頁,堪稱數(shù)學史上名垂百世的成就,而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題,其數(shù)學思想在近代數(shù)學、當代密碼學研究及日常生活中都有著廣泛應用,為世界數(shù)學的發(fā)展做出了巨大貢獻.現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1到2 019這2 019個整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構成數(shù)列{an},那么此數(shù)列的項數(shù)為(　　)A.58      B.59       C.60                      D.61解析:能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35除余2的數(shù),故an=2+(n-1)35=35n-33.由an=35n-33≤2 019,得n≤58+  ,n∈N+,故此數(shù)列的項數(shù)為58.答案:A3.某工廠去年12月份的月產(chǎn)量為a,若該廠產(chǎn)量月平均增長率為p,則今年12月份的月產(chǎn)量比去年同期增加的比率為(　　)A.(1+p)12 B.(1+p)12-1C.(1+p)11 D.12p解析:由題意,今年12月份的月產(chǎn)量為a(1+p)12,則增加的比率為=(1+p)12-1.答案:B 4.我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤.問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48ai=5M,則i=(　　)A.6 B.5   C.4           D.7解析:由題意,知由細到粗每段的重量成等差數(shù)列,記為{an},設公差為d,則解得a1=,d=,∴該金杖的總重量M=10×=15.∵48ai=5M,∴48[+(i-1)×]=75,即39+6i=75,解得i=6.答案:A 5.如圖所示,是畢達哥拉斯的生長程序:正方形上連接著一個等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù).若一共能得到1 023個正方形,設初始正方形的邊長為,則最小正方形的邊長為　　　　.  解析:記初始正方形的邊長為a1,經(jīng)過n-1次生長后的正方形的邊長為an,經(jīng)過n-1次生長后正方形的個數(shù)為bn,由題可知,數(shù)列{an}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,∴an=)n-1=.由題意可知,bn=1+2+22+…+2n-1==2n-1,令bn=2n-1=1 023,解得n=10,∴最小正方形的邊長為a10=.答案:  通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。    四、小結五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。      由于教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應用”的教學模式，啟發(fā)引導學生通過對問題的親身動手探求、體驗，獲得不僅是知識，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識的方法。這是“教師教給學生尋找水的方法或給學生一杯水，使學生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學內容生動、形象、鮮明地得到展示。