數(shù)學5.5 數(shù)學歸納法優(yōu)秀課件ppt

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5.5 數(shù)學歸納法                  本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習數(shù)學歸納法前面學生已經通過數(shù)列一章內容和其它相關內容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹?shù)目茖W的論證方法——數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法亮點就在于，通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數(shù)的情形，這也是無限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。并且，本節(jié)內容是培養(yǎng)學生嚴謹?shù)耐评砟芰?、訓練學生的抽象思維能力、體驗數(shù)學內在美的很好的素材。發(fā)展學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.了解數(shù)學歸納法的原理.B.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.1.數(shù)學抽象：數(shù)學歸納法的原理2.邏輯推理：運用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題 3.直觀想象：運用多米諾骨牌建立數(shù)學歸納法概念 重點：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題 難點：數(shù)學歸納法的原理.多媒體     教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、    情景導學探究1. 已知數(shù)列{}中， 且 = , 求出這個數(shù)列的第2、3、4、5項，你能由此猜出數(shù)列的通項公式并給出證明嗎？由已知可得，= = =3，= = =5，=7，=9，這就是說，數(shù)列{}的前5項分別為1，3，5，7，9，因此，可以猜測{}是一個等差數(shù)列，且通向公式為怎樣才能證明這一點呢？我們已經知道前面5項都是滿足，所以原則上需要對后面的每一項都進行驗證，但因為后面有無數(shù)項，所以一一驗證是不可能的，不過用下述方法可以給出后面的每一項也滿足的嚴格證明。假設n=k時， 成立, 即 ,根據(jù)已知條件和假設可知, = == 1,即， 成立 這就說明對任意的正整數(shù)都成立了.                     數(shù)學歸納法的定義    一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基→（1）證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→（2）以當“n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立”為條件,
推出“當n=k+1時命題也成立”  只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.        有人認為可以借助多米諾骨牌來理解數(shù)學歸納法，如圖所示，一列排好的多米諾骨牌，如果推倒第1張，而且后續(xù)的每一張倒下時能夠導致下一張也倒下，則所有的骨牌都能倒下，你覺得這種理解方式怎么樣？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.問題1：多米諾骨牌都倒下的關鍵點是什么？問題2：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學語言來描述它？可以看出，條件（2）給出一個遞推根據(jù)（關系），當?shù)?/span>k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下，可類比數(shù)學歸納法。二、典例解析例1. 用數(shù)學歸納法證明，對任意的正整數(shù)，都有 =證明：（1）當時，左邊，右邊 ==1,所以此時等式成立.（2）假設當()時， 等式成立，即 =則 ===所以，此時也成立由（1）（2）可知， ①式對任何都成立 用數(shù)學歸納法證明恒等式時,應關注以下三點:(1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;(3)證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.跟蹤訓練1求證:1-+…++…+(n∈N*).證明:①當n=1時,左邊=1-,右邊=,所以等式成立.②假設n=k(k∈N*)時,1-+…++…+成立.那么當n=k+1時,1-+…++…+=+…++[]=+…+,所以n=k+1時,等式也成立.綜上所述,對于任何n∈N*,等式都成立. 探究2.以下是某人給出的關于 +       ②對所有正整數(shù)都成立的證明，這個證明有問題嗎？由此你能得到什么啟發(fā)?證明：假設當時， ②式成立，即 + k + k + +1所以，此時也成立②式對任何都成立.顯然②式是不成立的，因為當時， ②式左邊，右邊
此時②式是不成立的，事實上嘗試與發(fā)現(xiàn)中給出的證明，只是數(shù)學歸納法證明中的第（2）部分，這就說明數(shù)學歸納法證明是（1）與（2）缺一不可，事實上，（1）是（2）的基礎，只有確定了題成立，后續(xù)的推導才會有意義。 例2.求證：平面上 個圓把平面最多分成個區(qū)域.證明： （1）顯然，一個圓將平面分成2個區(qū)域，當時，所以當結論成立.（2）假設當時,結論成立,即個圓，最多把平面分成 個區(qū)域.     在此基礎上增加一個圓,為使區(qū)域最多，應使新增加的圓與前個圓都相交于兩點，如圖所示，于是新增了個交點，這個交點將新元分成 段弧，這段弧將所經過的區(qū)域一分為二，因此新增了個區(qū)域，這樣最多把平面分成 個區(qū)域，即當N時結論也成立，所以結論對任何正整數(shù)都成立. 用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k增加到k＋1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k＋1之間的遞推關系. 跟蹤訓練2．平面內有n(n∈N*，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求證：交點的個數(shù)f(n)＝.證明：　(1)當n＝2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，∴當n＝2時，命題成立．(2)假設當n＝k(k∈N*，k≥2)時命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)＝k(k－1)，那么，當n＝k＋1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)＝k(k－1)，l與其他k條直線的交點個數(shù)為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，∴當n＝k＋1時，命題成立．由(1)(2)可知，對任意n∈N*(n≥2)命題都成立.例3.求證：當是大于或等于5的正整數(shù)時，.證明： （1）當時，=25，.顯然，所以此時命題成立.（2）假設)時命題成立，即因為所以 因此所以，此時也成立由（1）（2）可知， 對任何大于或等于5的正整數(shù)都成立.       利用數(shù)學歸納法比較大小,關鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關系,猜測出證明的方向,再用數(shù)學歸納法證明結論成立.跟蹤訓練3. 設Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.解:(1)當n=1,2時,Pn=Qn.(2)當n≥3時(以下再對x進行分類),①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn;②若x=0,則Pn=Qn;③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.假設Pk<Qk(k≥3),則Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk=1+kx++x+kx2+=1+(k+1)x+x2+x3=Qk+1+x3<Qk+1,即當n=k+1時,不等式成立.所以當n≥3,且x∈(-1,0)時,Pn<Qn.       通過具體問題的思考和分析，提出關于正整數(shù)數(shù)學命題的證明問題。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                  由多米諾骨牌幫助學生加深對數(shù)學歸納法原理的理解，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                            通過典型例題，加深學生對數(shù)學歸納法的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素                                   三、達標檢測1.用數(shù)學歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在驗證n=1成立時,左邊計算所得的項是(　　)A.1 B.1+a     C.1+a+a2  D.1+a+a2+a3解析:當n=1時,左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(　　)A.(2k+1)+(2k+2)                     B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)                      D.(2k+2)+(2k+4)解析:當n=k時,左邊是共有2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推測,當n>2時,有　　　　　. 答案:f(2n)>4.用數(shù)學歸納法證明:+…+.假設n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　.  解析:從不等式結構看,左邊n=k+1時,最后一項為,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時,式子為,即目標不等式為+…+.答案:+…+5.用數(shù)學歸納法證明:當n≥2,n∈N*時,(1-)…(1-)=.證明:(1)當n=2時,左邊=1-,右邊=,∴n=2時等式成立.(2)假設當n=k(k≥2,k∈N*)時等式成立,即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,那么當n=k+1時, (1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]=·[1-]=. ∴當n=k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對任意n≥2,n∈N*,等式都成立. 通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。    四、小結五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力。      由于教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。所以我采用“問題情景---建立模型---求解---解釋---應用”的教學模式，啟發(fā)引導學生通過對問題的親身動手探求、體驗，獲得不僅是知識，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識的方法。這是“教師教給學生尋找水的方法或給學生一杯水，使學生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學內容生動、形象、鮮明地得到展示。