第11講  最值問題之構(gòu)造與轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化是數(shù)學解題中的常用方法，一般可分為兩類，一類是具體的轉(zhuǎn)化，即通過定理或者性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化和結(jié)論轉(zhuǎn)化；另一類是思維轉(zhuǎn)化，這類一般對學生思維要求較高！ 【例題講解】例題1、求的最小值為______________.【解析】      將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題如圖1，線段AB=4，ACAB，BDAB，AC=2，BD=1轉(zhuǎn)化為求CP+PD的最小值當C、P、D共線時最小，即為線段CD的長度 例題2、如圖，在邊長為8的正方形CDEF中，A、B分別在邊EF和CF上，點A為EF的中點，FB=3，連接AB，點P為AB上一動點，過點P分別作ED和DC的垂線，垂足分別為M、N，求四邊形PMDN面積的最大值.【解析】   將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題思考用一個未知數(shù)來表示出PM和PN的長度可以選擇設(shè)PG=x，則FH=x，PN=8-x，BH=3-x利用△BHP∽△BFA，易得PH==4-x所以PM=4+x，所以=（8-x）（4+x）=（0≤x≤3），所以當x=時，四邊形PMDN面積取得最大值為.  例題3、如圖，點O在線段AB上，OA=1，OB=3，以O為圓心、OA長為半徑作⊙O，點M在⊙0上運動，連接MB，以MB為腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三點為逆時針順序，連接AC，則AC長的取值范圍是__________________.【解析】基本方法為：利用構(gòu)造雙子型將CA轉(zhuǎn)化以AB為邊向下作等腰Rt△ABD，連接DM△MBC與△DBA均為等腰直角三角形MB=BC，BD=AB，∠MBC=∠DBA=90°∠MBC+∠ABM=∠DBA+∠ABM∠MBD=∠CBA△ABC≌△MBD AC=MD點M在圓上運動，DM的最小值為OD-r；DM的最大值為OD+r在Rt△OBD中，可計算出OD=5所以DM的最小值為4，DM的最大值為64≤AC≤6 例題4、如圖，已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，點P為AB邊上一動點，連接CP，過點P作PMCP，交BC于點M，則BM的最大值為____________. 【分析】要求BM的最大值，發(fā)現(xiàn)點M隨著點P的運動而運動，反過來思考，一個點P對應(yīng)一個點M，那么也可以由點M來確定點P，所以本題的問題就轉(zhuǎn)化為“在BC邊上找一點P，使得∠MPC=90°，接下去利用圓的知識解決，只需考慮臨界情況，即以MC為直徑的圓恰好與AB相切時，CM最小，即BM最大。【解析】如圖，設(shè)PO=OC=r，BO=5-r在Rt△BOP中，sin∠PBO=sin∠ABC=  ，解得r=  MC= 2r =，BM=  例題5、如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB經(jīng)過點A（-4，0）、B（0，4），⊙0的半徑為1（O為坐標原點），點P在直線AB上，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為_________.
 【提示】P、Q兩點均為動點，連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理的轉(zhuǎn)化，PQ的最小值轉(zhuǎn)化為OP的最小值。   例題6、如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙0上一個定點，∠ABC=30°，動點P從A點出發(fā)沿半圓弧向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側(cè)），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為________________.【提示】利用三角函數(shù)用CP來表示CD的長，于是問題轉(zhuǎn)化為求CP的取值范圍.  例題7、問題提出：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結(jié)AP、BP，求AP+BP的最小值.嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，則有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為            .自主探索：在“問題提出”的條件不變的情況下，AP+BP的最小值為           .拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，求2PA+PB的最小值.答案：(1)如圖1，連結(jié)AD，∵AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴AD=，AP+BP的最小值為,故答案為；(2)如圖2，連接CP,在CA上取點D,使CD=，∴CD：CP=CP：CA=1：3，∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD：AP=1：3，∴PD=AP，∴AP+BP=BP+PD，∴同(1)的方法得出AP+BP的最小值為BD=.故答案為：；(3)如圖3，延長OA到點E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，連接PE、OP，∵OA=3，∴OA：OP=OP：OE=1：2，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴AP：EP=1：2，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴當E. P、B三點共線時,取得最小值為：BE=.例題8、如圖，己知y=x2+x+2與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于C點，現(xiàn)一直線經(jīng)過B、C兩點，點P為BC上方的拋物線上一動點，過點P作PQ⊥BC，求PQ的最大值.【解析】問題為求點P到線段BC距離最大值，連接PC、PB，即為求△PBC內(nèi)BC邊上的高的最大值，B、C兩點為定點，所以線段BC長度不變，所以只需使得△PBA面積最大即可！
【鞏固練習】1、如圖，⊙O的半徑為3，點O到直線l的距離為4，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為                 。2、如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，則線段EF長度的最小值為         。   3、在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），若直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為        。   4、如圖，在直角坐標系中，己知點A（4，0），點B為y軸正半軸上一動點，連接AB，以AB為一邊向下做等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值為           。   5、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），OA的半徑為2，點P是⊙A上一動點，以OP為邊作等腰Rt△OPQ（Q點在第二象限），則AQ的最小值為         。  6、如圖1，拋物線y=ax2+(a+3)x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0<m<4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M.（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為（0°<<90°），連接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值.
答案：答案：答案：24答案：7.2答案：解答：(1)令y=0,則ax2+(a+3)x+3=0，∴(x+1)(ax+3)=0，∴x=?1或，∵拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)與x軸交于點A(4,0)，∴?3a=4，∴a=.∵A(4,0),B(0,3)，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,則b=3，4k+b=0，解得k=，b=3，∴直線AB解析式為y=x+3. (2)如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴PN：AN=6：5， ∵NE∥OB，∴AN：AB=AE：OA，∴AN=(4?m)，∵拋物線解析式為y=x2+x+3，∴PN=m2+m+3?(m+3)= m2+3m，∴m=2. (3)如圖2中,在y軸上取一點M使得OM=，∵OE′=2,OM?OB=×3=4，∴OE′2=OM?OB，∴OE′：OM=OB：OE′,∵∠BOE′=∠MOE′，∴△MOE′∽△E′OB，∴ME′：BE′=OE′：OB=2：3，∴ME′=BE′，∴AE′+BE′=AE′+E′M=AM′，此時AE′+BE′最小,最小值=AM=.      

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