2022-2023學(xué)年廣西玉林市北流市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列命題正確的是（    ）①直線傾斜角的范圍是；②若直線的斜率為k，則；③任何一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角；④任何一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率．A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】利用直線傾斜角、斜率的意義及其關(guān)系逐一判斷各個(gè)命題作答.【詳解】直線傾斜角的范圍是，①正確；直線傾斜角為，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>，因此，②正確；因?yàn)閮A斜角為的直線沒(méi)有斜率，因此任何一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，③不正確，④正確，所以給定命題正確的有①②④.故選：C2．已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（    ）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】向量，不共線，且，，，，則有，而有公共點(diǎn)B，有A，B，D共線，A是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A3．已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為（    ）A．3 B．-3 C．- D．【答案】B【分析】根據(jù)投影的定義可得，將數(shù)據(jù)代入計(jì)算，即可得到答案；【詳解】由,得,,于是,因此在方向上的投影為.故選：B4．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)滿足，則（    ）A． B． C．6 D．【答案】C【分析】把也用表示，后求數(shù)量積．【詳解】∵是菱形，∴＝，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題時(shí)選取為基底，其他向量用基底表示后再參與運(yùn)算．5．設(shè)a、b是平面外的任意兩條線段，則“a、b的長(zhǎng)相等”是“a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等”的（    ）A．非充分條件也非必要條件 B．充分必要條件C．必要條件而非充分條件 D．充分條件而非必要條件【答案】A【分析】結(jié)合圖象分析線段長(zhǎng)度相等與它們的投影長(zhǎng)相等的關(guān)系，由此判斷結(jié)論.【詳解】如圖多面體為正方體，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧上的不同的兩點(diǎn)，，取平面為平面，線段為線段，線段為線段，則線段，線段在平面內(nèi)的投影線段都為線段，所以a、b在平面內(nèi)的投影長(zhǎng)相等，但a、b的長(zhǎng)不相等，所以“a、b的長(zhǎng)相等”不是“a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等”必要條件，取平面為平面，線段為線段，線段為線段，則線段在平面內(nèi)的投影線段為線段，線段在平面內(nèi)的投影線段都為線段，所以a、b的長(zhǎng)相等，但a、b在平面內(nèi)的投影長(zhǎng)不相等，所以“a、b的長(zhǎng)相等”不是“a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等”充分條件，所以“a、b的長(zhǎng)相等”是“a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等”的非充分條件也非必要條件，故選：A.6．設(shè)直線2x－y－＝0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x＋1)2＋y2＝25的直徑分為兩段，則這兩段之比為(　　)A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】求出直線與y軸的交點(diǎn)，然后利用直線過(guò)P和圓心，求出P和圓心的距離，則可求出其分直徑成的兩條線段的長(zhǎng)度.【詳解】由題意知P(0，－)．P到圓心(－1,0)的距離為2，∴P分直徑所得兩段為5－2和5＋2，即3和7．所以兩條線段之比為或.選A．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)分線段所成比例，解題關(guān)鍵是求出P與圓心的距離，根據(jù)直徑的長(zhǎng)度求出兩條線段的長(zhǎng)度.7．如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB與CD所成角為，點(diǎn)E，F分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線AB與EF所成角為（    ）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】取線段BD中點(diǎn)O，利用幾何法確定異面直線所成的角，再分情況計(jì)算作答.【詳解】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)EO、FO，在空間四邊形ABCD中，AB與CD所成角為，點(diǎn)E，F分別為BC，AD的中點(diǎn)，則，，因此是AB與CD所成角（或其補(bǔ)角），是直線AB與EF所成角（或其補(bǔ)角），于是得或，而AB＝CD，即有，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線AB與EF所成角為或．故選：A8．設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由，得，即，即，橢圓的離心率為，故答案為C. 二、多選題9．曲線與曲線，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（    ）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．離心率相等【答案】ABD【分析】根據(jù)曲線方程可確定兩橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距和離心率，由此可得結(jié)果.【詳解】曲線表示的橢圓焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為；曲線表示的橢圓焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為；兩曲線的焦距相等，但長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率都不相等.故選：ABD.10．已知直線l的方向向量為，為直線l上一點(diǎn)，若點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，則P到直線l上任意一點(diǎn)Q的距離可能為（    ）A．2 B． C． D．1【答案】ABC【分析】利用空間向量求出點(diǎn)P到直線l的距離，即可判斷作答【詳解】依題意，，，而直線l的方向向量為，，，因此點(diǎn)P到直線l的距離為，即PQ的最小值為，所以選項(xiàng)A，B，C可能，選項(xiàng)D不可能.故選：ABC11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件，求得，由圓上存在點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩圓相交或相切，列出不等式即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，即，整理得：，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，滿足，所以兩圓相交或相切，所以，即，所以，所以選項(xiàng)B、C、D正確，故選：BCD.12．在平行六面體中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，，則有（    ）A． B．C．面 D．面【答案】BCD【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接AC交BD與點(diǎn)O，則點(diǎn)、O分別是、BD的中點(diǎn)，連接MQ、、PQ、，利用異面直線的概念和線面平行的判定定理判斷選項(xiàng)A、C；利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)判斷選項(xiàng)B、D.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接AC交BD與點(diǎn)O，則點(diǎn)、O分別是、BD的中點(diǎn)，連接MQ，，A：由題意知，，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，又，所以與異面，故A錯(cuò)誤；B、D：因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，所以，，又，所以，有，連接，則，又，所以平面，連接PQ，則，所以平面，故D正確；又平面，所以，故B正確；C：因?yàn)?/span>，平面，所以平面，故C正確；故選：BCD 三、填空題13．已知，，且ABCD是平行四邊形，則點(diǎn)D坐標(biāo)為______．【答案】【分析】由，即可求【詳解】，又，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，∴．故答案為：14．若橢圓的離心率為，則m的值為______．【答案】或3【分析】分情況討論焦點(diǎn)在y軸和x軸，根據(jù)離心率公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)，，從而，解得；當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，此時(shí)，，從而，解得．故答案為：或3.15．已知在直線：上，點(diǎn)，則的最小值為_______.【答案】 【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)得解得則點(diǎn)睛：判定兩點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，要求最小值，先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)的求法根據(jù)其中點(diǎn)在已知直線上，斜率乘積得，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求得最小值．16．高為的四棱錐-的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)、、、、均在半徑為1的同一球面上，則底面的中心與頂點(diǎn)之間的距離為__________________．【答案】【詳解】, 四、解答題17．已知的頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)若邊所在直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和是9，求邊所在直線的方程．【答案】(1)5x－4y－9＝0．(2)或． 【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)式方程寫出直線方程;(2)先設(shè)截距式方程,再根據(jù)條件列式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>邊上的中線就是，所以由兩點(diǎn)式方程：，得：5x－4y－9＝0．（2）設(shè)直線的方程為，則有或，所以直線的方程為：或．18．已知點(diǎn)，，滿足．(1)求m的值；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）首先表示出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)計(jì)算及二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得解；【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，即，即，所以，解得；（2）解：因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>所以所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即；19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD．又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則即可取.設(shè)是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.20．如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面所成的角為45°．(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求二面角A－BD－C的正切值；(3)求點(diǎn)C到平面ABD的距離．【答案】(1)(2)3(3) 【分析】（1）取BC中點(diǎn)E，連接AE，推出，進(jìn)而推出側(cè)面．連接ED，則直線AD與側(cè)面所成的角為∠ADE=45°，由此能求出正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；（2）過(guò)E作于F，連接AF，可得∠AFE為二面角A－BD－C的平面角，由此能求出二面角A－BD－C的平面角的正切．（3）由平面AEF，知平面平面ABD，且交線為AF，過(guò)E作于G，則平面ABD．由此能求出點(diǎn)C到平面ABD的距離．【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為x，取BC中點(diǎn)E，連接AE，∵是正三角形，∴，又底面側(cè)面，且兩平面交線為BC，∴側(cè)面．連接ED，則∠ADE為直線AD與側(cè)面所成的角，∴∠ADE＝45°，在中，，解得，∴此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．（2）過(guò)E作于F，連接AF，∵側(cè)面，∴，可知，∴∠AFE為二面角A－BD－C的平面角．在中，，又BE＝1，，∴．又，∴在中，．（3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交線為AF．過(guò)E作于G，則平面ABD．∴EG的長(zhǎng)為點(diǎn)E到平面ABD的距離．在中，．∵E為BC中點(diǎn)，∴點(diǎn)C到平面ABD的距離為．21．已知圓C的圓心在曲線上，與x軸交于O，A兩點(diǎn)，與y軸交于O，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求證：的面積為定值；(2)設(shè)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且，求圓C的方程．【答案】(1)證明見解析；(2)． 【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，并求出圓的方程，再求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)即可推理作答.（2）由（1）結(jié)合已知，求出圓心C的坐標(biāo)，再驗(yàn)證判斷作答.【詳解】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，而圓過(guò)原點(diǎn)O，則圓的半徑有：，圓方程為，令x＝0得點(diǎn)B縱坐標(biāo)，令y＝0得點(diǎn)A橫坐標(biāo)，所以的面積為定值．（2）因?yàn)?/span>，而，因此OC垂直平分線段MN，直線的斜率為，則直線OC斜率為，直線OC的方程是，從而，解得或，當(dāng)時(shí)，圓C的方程為，點(diǎn)到直線距離，直線與圓C相交，符合題意，當(dāng)時(shí)，圓C的方程為，點(diǎn)到直線距離，直線與圓C相離，不符合題意，所以圓C的方程為.22．對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的焦點(diǎn)為，，在上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，則當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）直線的方程為：或【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為 ，由橢圓的定義求，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，.由題意將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，又，，的斜率依次成等比數(shù)列，解得，由，到直線的距離， ，解得，得直線方程【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為 ，由題意可得，又由，得，故，橢圓的方程為；（2）設(shè)，.由題意直線的方程為：，聯(lián)立得， ，化簡(jiǎn)，得①②，③直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，，，化簡(jiǎn)，得，，又，，且由①知. 原點(diǎn)到直線的距離. ，解得（負(fù)舍）或（負(fù)舍）.直線的方程為：或.【點(diǎn)睛】對(duì)題目涉及的變量巧妙地引進(jìn)參數(shù)（如設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程等），利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到設(shè)而不求的效果 

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